浙江省衢州市第五高级中学2022年高三数学文联考试卷含解析

浙江省衢州市第五高级中学2022年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f（x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2．若f（x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则（）A．x1＞﹣1B．x2＜0C．x2＞0D．x3＞2参考答案：C考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f（x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．解答：解：∵函数f（x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x2﹣4．令f′（x）=0可得x=．∵当x＜﹣时，f′（x）＞0；在（﹣，）上，f′（x）＜0；在（，+∞）上，f′（x）＞0．故函数在（∞，﹣）上是增函数，在（﹣，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．故f（﹣）是极大值，f（）是极小值．再由f（x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，可得x1＜﹣，﹣＜x2＜，x3＞．根据f（0）=a＞0，且f（）=a﹣＜0，可得＞x2＞0．故选C．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．2.下列三个数：a=ln，b=lnπ﹣π，c=ln3﹣3，大小顺序正确的是（）A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．b＞c＞aD．b＞a＞c参考答案：A考点：对数值大小的比较．

专题：导数的综合应用．分析：令f（x）=lnx﹣x，利用导数研究其单调性即可得出．解答：解：令f（x）=lnx﹣x，则f′（x）==，当x＞1时，f′（x）＜0，∴当x＞1时，函数f（x）单调递减．∵，a=ln，b=lnπ﹣π，c=ln3﹣3，∴a＞c＞b．故选：A．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题．3.已知函数（表示不超过实数x的最大整数），若函数的零点为，则（

）A. B.-2 C. D.参考答案：B【分析】先对函数求导，判断函数单调性，再根据函数零点存在性定理，确定的大致范围，求出，进而可得出结果.【详解】因为，所以在上恒成立，即函数在上单调递增；又，所以在上必然存在零点，即，因此，所以.故选B【点睛】本题主要考查导数的应用，以及函数的零点，熟记导数的方法研究函数单调性，以及零点的存在性定理即可，属于常考题型.4.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布A．

B．

C．

D．

参考答案：D：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m,

则由题意知，解得d=．故选：D．5.已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．解答： 解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴∴b=2a∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3∴c2+4=9∴∵c2=a2+b2，b=2a∴a=1，b=2∴双曲线的方程为故选B．点评：本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6.设集合，，则A∩B=（

）A.[1,3] B.[－3,6] C.[3,9] D.[6,9]参考答案：D【分析】分别解对数不等式，一元二次不等式求出集合A,B，直接进行交集运算.【详解】因为，或，所以.故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及对数不等式、一元二次不等式，属于基础题.7.如果随机变量ξ∽N（1，δ2），且P（1≤ξ≤3）=0.4，则P（ξ≤﹣1）=（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4参考答案：A【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（ξ≤﹣1）．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（1，δ2）∴正态曲线的对称轴是x=1∴P（1≤ξ≤3）=0.4，∴P（ξ≤﹣1）=P（ξ≥3）=0.5﹣0.4=0.1，故选：A．【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣2=﹣4，Sm=0，Sm+2=12．则公差d=（）A． B．1 C．2 D．8参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，建立方程，即可得出结论．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm﹣2=﹣4，Sm=0，Sm+2=12，∴am+am﹣1=Sm﹣Sm﹣2=0+4=4，am+2+am+1=Sm+2﹣Sm=12﹣0=12，即，解得d=2．故选：C．9.函数，的值域是A．

B．

C．

D．参考答案：A10.若集合，，则“”是“”的（

）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是

．参考答案：3+2考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值．解答： 解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．点评：本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．12.在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时，有如下方法：先改写第k项：，由此得：，，…，，相加得：1×2+2×3+…+n(n+1)＝.类比上述方法，请你计算“1×3+2×4+…+n(n+2)”，其结果写成关于n的一次因式的积的形式为：

．参考答案：13.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为

（用数字作答）.

参考答案：略14. .参考答案：215.已知向量，，.若向量与向量共线，则实数

_____．参考答案：，因为向量与向量共线，所以，解得。16.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，向量，，且m//n，a＝2，则△ABC周长的取值范围是________。参考答案：17.不等式组表示的平面区域的面积为_______。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在四棱锥中，底面，,.(1)求证：面⊥面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案：19.已知函数．（1）讨论f(x)的单调性；（2）若为f(x)的两个极值点，证明：.参考答案：（1）当时，在增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数．（2）证明见解析．【分析】（1）求函数导数，分类讨论函数的正负，可得函数的单调性；（2）由（1）知，且，不等式作差得，即证对成立，进而构造函数求最值证明即可.【详解】（1）的定义域为，，对于函数，①当时，即时，在恒成立．在恒成立，在为增函数；②当，即或时，当时，由，得或，，在为增函数，减函数，为增函数，当时，由在恒成立，在为增函数．综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数．（2）由（1）知，且，故故只需证明，令，故，原不等式等价于对成立，令，所以单调递减，有得证.【点睛】本题主要考查了导数的应用，由导数讨论函数的单调性及最值，利用作差法比较大小及构造函数证明不等式是解题的关键，属于难题.20.在20件产品中含有正品和次品各若干件，从中任取2件产品都是次品的概率是.（1）求这20件产品中正品的个数；（2）求从中任取3件产品，至少有1件次品的概率。参考答案：解析：（1）设这20件产品中存有n件次品，由题意得所以所以，这20件产品中正品的个数为15。………………6分（2）设从这20件产品中任取3件均是正品的事件为A，则至少有1件次品的事件为………………9分得所以，从中任取3件产品，至少有1件次品的概率是………………12分21.如图，已知椭圆，，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)设直线、的斜率分别为、，证明；

(3)是否存在常数，使得

恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.参考答案：解(1)由题意知，椭圆中，，得，

又，所以可解得，，所以，

所以椭圆的标准方程