2022年北京市中考数学试题及试题解析

2022年北京市中考数学试题&试题解析

一、选择题（共16分，每题2分）第一8题均有四个选项,

符合题意的选项只有一个.

1.（2分）（2022•北京）下面几何体中，是圆锥的为（）

2.（2分）（2022•北京）截至2021年12月31日，长江干流

六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相

当于减排二氧化碳约2.2亿吨.将262883000000用科学

记数法表示应为（）

A.26.2883X1O10B.2.62883X1011

C.2.62883X1012D.0.262883XI012

3.（2分）（2022♦北京）如图，利用工具测量角，则N1的

大小为（）

第1页共45页

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.（2分）（2022•北京）实数a,6在数轴上的对应点的位置

如图所示，下列结论中正确的是（）

ab

।।।i।।।A

-3-2-10I23

A.a<-2B.b<lC.a>bD.-a>b

5.（2分）（2022•北京）不透明的袋子中装有红、绿小球各

一个，除颜色外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个

小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一

次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

4324

6.（2分）（2022•北京）若关于X的一元二次方程/+x+%=0

有两个相等的实数根，则实数力的值为（）

11

A.-4B.--C.-D.4

44

7.（2分）（2022•北京）图中的图形为轴对称图形，该图形

的对称轴的条数为（）

8.（2分）（2022•北京）下面的三个问题中都有两个变量：

①汽车从A地匀速行驶到8地，汽车的剩余路程y与行驶

时间X、,

第2页共45页

②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量

y与放水时间不

③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边

长X.

其中，变量y与变量X之间的函数关系可以用如图所示的

图象表示的是（）

o\x

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）（2022•北京）若V7=^在实数范围内有意义，则

实数x的取值范围是.

10.（2分）（2022•北京）分解因式：xy-x=.

11.（2分）（2022•北京）方程三=%的解为

x+5x------

12.（2分）（2022•北京）在平面直角坐标系x0中，若点4

（2,y）,B（5,%）在反比例函数尸匕（A>0）的图象

X

上，则巧用（填”或"V"）.

13.（2分）（2022•北京）某商场准备进400双滑冰鞋，了解

了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：

鞋号353637383940414243

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14.（2分）（2022•北京）如图，在△/仇7中，4〃平分N为C,

DELAB.若〃=2,DE=\,则5ko=.

15.（2分）（2022•北京）如图，在矩形4ap中，若48=3,

16.（2分）（2022•北京）甲工厂将生产的I号、II号两种产

品共打包成5个不同的包裹，编号分别为4B,C,D,E,

每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：

包裹编号I号产品II号产品包裹的重

重量/吨重量/吨量/吨

4516

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B325

C235

D437

E358

甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹

一次运送到乙工厂.

（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，

写出一种满足条件的装运方案（写出要装运包裹

的编号）；

（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，

同时装运的n号产品最多，写出满足条件的装运方案

（写出要装运包裹的编号）.

三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6

分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分,

第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说

明、演算步骤或证明过程.

17.（5分）（2022•北京）计算：（兀-1）°+4sin45°一我+|

-31•

2+x^>7_4x，

18.（5分）（2022•北京）解不等式组：4+x.

x<——.

2

19.（5分）（2022•北京）已矢口*+2x-2=0,求代数式x（x+2）

+（户1）之的值.

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20.（5分）（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两

种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.

已知：如图，AABC,求证：ZA+ZB+ZC=180°.

方法一方法二

证明：如图，过点/作施〃证明：如图，过点。作切〃

BC.AB.

A

21.（6分）（2022•北京）如图，在M86P中，AC,血交于点

0,点£,尸在然上，AE=CF.

（1）求证：四边形被叨是平行四边形；

（2）若/BAC=/DAC,求证：四边形被叨是菱形.

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D

22.(5分)(2022•北京)在平面直角坐标系x勿中，函数y

=kx+b(AW0)的图象过点(4,3),(-2,0),且与y

轴交于点A.

(1)求该函数的解析式及点力的坐标；

(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数尸x+刀的值大

于函数p=4x+6(4K0)的值，直接写出〃的取值范围.

23.(6分)(2022•北京)某校举办“歌唱祖国”演唱比赛,

十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的

甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析.下

面给出了部分信息.

10,10,10,9,9,8,3,9,8,10

c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数:

第7页共45页

同学甲乙丙

平均数8.68.6m

根据以上信息，回答下列问题：

(1)求表中m的值；

(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据

的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致.据

此推断：在甲、乙两位同学中，评委对的评价更

一致(填“甲”或“乙”

(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一

个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认

为该同学表现越优秀.据此推断：在甲、乙、丙三位同学

中，表现最优秀的是(填“甲”“乙”或“丙”).

24.(6分)(2022•北京)如图，48是。。的直径，CD是。0

的一条弦，AB^CD,连接作，OD.

(1)求证：/BOD=2/A：

(2)连接DB,过点。作CE1DB,交座的延长线于点E,

延长〃0,交然于点尸.若方为“1的中点，求证：直线6F

为。。的切线.

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25.（5分）（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛

项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台.运动员起跳后的

飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平

面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高

度y（单位：加与水平距离x（单位：加）近似满足函数

关系y=a(x-力)'+k(a<0).

某运动员进行了两次训练.

（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度p

的几组数据如下：

水平距02581114

离x/勿

竖直高20.0021.4022.7523.2022.7521.40

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度j7%

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并

求出满足的函数关系y=a(x-力)2+k(aVO)；

(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x

近似满足函数关系y=-0.04(x-9)2+23.24.记该运动

员第一次训练的着陆点的水平距离为d,第二次训练的着

陆点的水平距离为办则出d2(填“=”或

26.(6分)(2022•北京)在平面直角坐标系xOp中，点(1,

勿)，(3,n)在抛物线y=a*+8x+c(a＞0)上，设抛物线

的对称轴为直线x=t.

(1)当。=2,勿=〃时，求抛物线与y轴交点的坐标及t

的值；

(2)点(吊，/)(荀#1)在抛物线上.若勿＜刀＜。，求t

的取值范围及照的取值范围.

27.(7分)(2022•北京)在△46。中，ZACB=9Q°,〃为△

/回内一点，连接DC,延长〃。到点后使得CE=DC.

(1)如图1,延长式'到点凡使得CF=BC,连接相,EF.若

AFVEF,求证：BDLAF-,

(2)连接交物的延长线于点"连接口，依题意补

全图2.若/力=/后+切，用等式表示线段切与纺的数量

关系，并证明.

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28.（7分）（2022•北京）在平面直角坐标系王在中，已知点

"（a,b）,N.

对于点尸给出如下定义：将点尸向右（心0）或向左（a

<0）平移|a|个单位长度，再向上（6>0）或向下（6V0）

平移出个单位长度，得到点户，点〃关于点川的对称

点为Q,称点。为点〃的“对应点”.

（1）如图，点"（1,1）,点N在线段第的延长线上.若

点产（-2,0）,点。为点尸的“对应点”.

①在图中画出点0；

②连接做交线段恻于点方求证：NT=

（2）。。的半径为1,"是。。上一点，点N在线段切/上，

且ON=若Q为。。外一点，点0为点户的“对

应点”，连接尸0.当点"在。。上运动时，直接写出倒长

的最大值与最小值的差（用含力的式子表示）.

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力I

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2022年北京市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共16分，每题2分）第一8题均有四个选项,

符合题意的选项只有一个.

1.（2分）（2022•北京）下面几何体中，是圆锥的为（）

【分析】简单几何体的识别.

【解答】解：力是圆柱；

方是圆锥；

「是三棱锥，也叫四面体；

〃是球体，简称球；

故选：B.

【点评】本题考查简单几何体的识别，正确区分几何体是

解题的关键.

2.（2分）（2022•北京）截至2021年12月31日，长江干流

六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相

当于减排二氧化碳约2.2亿吨.将262883000000用科学

记数法表示应为（）

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A.26.2883X1O10B.2.62883X1O11

C.2.62883X1012D.0.262883X1012

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为aX

10",其中lW|a|V10,刀为整数，且〃比原来的整数位数

少1,据此判断即可.

【解答】解：262883000000=2.62883X1011.

故选：B.

【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一

般形式为aX10",其中lW|a|<10,确定a与刀的值是解

题的关键.

3.（2分）（2022•北京）如图，利用工具测量角，则N1的

大小为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【分析】根据对顶角的性质解答即可.

【解答】解：根据对顶角相等的性质，可得：Zl=30°,

故选：A.

【点评】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是

解答本题关键.

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4.（2分）（2022•北京）实数a,6在数轴上的对应点的位置

如图所示，下列结论中正确的是（）

ab

।।।।।।A

-3-2-10123

A.a<-2B.b<lC.a>bD.-a>b

【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表

示求解.

【解答】解：根据图形可以得到：

-2<a<0<l<b<2；

所以：/、B、，都是错误的；

故选：D.

【点评】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用

是解题的关键.

5.（2分）（2022•北京）不透明的袋子中装有红、绿小球各

一个，除颜色外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个

小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一

次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）

1113

A.-B.-C.-D.-

4324

【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到

红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率.

【解答】解：列表如下：

红绿

红（红，红）（绿，红）

第15页共45页

绿（红，绿）（绿，绿）

所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次

摸到绿球的有1种情况，

所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为:，

故选：A.

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表

法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步

完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；

解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知

识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

6.（2分）（2022•北京）若关于x的一元二次方程*+x+%=0

有两个相等的实数根，则实数〃的值为（）

A.-4B.--C.-D.4

44

【分析】根据根的判别式的意义得到「-4力=0,然后解一

次方程即可.

【解答】解：根据题意得A=〃-4/=0,

解得i

4

故选：C.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程a*+加+C

=0（aWO）的根与△=6?-4ac有如下关系：当△>0时，

方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，方程有两个相

等的实数根；当AV0时，方程无实数根.

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7.（2分）（2022•北京）图中的图形为轴对称图形，该图形

的对称轴的条数为（）

【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够

完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个

图形的一条对称轴，由此即可解决问题.

【解答】解：如图所示，该图形有5条对称轴，

故选：D.

【点评】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图

形的对称轴条数和位置的灵活应用.

8.（2分）（2022•北京）下面的三个问题中都有两个变量：

①汽车从力地匀速行驶到8地，汽车的剩余路程p与行驶

时间x；

②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量

P与放水时间x；

第17页共45页

③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边

长X.

其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的

图象表示的是()

O\x

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【分析】(1)根据汽车的剩余路程P随行驶时间x的增加

而减小判断即可；

(2)根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小

判断即可；

(3)根据矩形的面积公式判断即可.

【解答】解：汽车从力地匀速行驶到8地，根据汽车的剩

余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意；

将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水

量y随放水时间x的增大而减小，故②符合题意；

用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积

是长x的二次函数，故③不符合题意；

所以变量p与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图

象表示的是①②.

故选：A.

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【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确

理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过

图象得到函数问题的相应解决.

二、填空题(共16分，每题2分)

9.(2分)(2022•北京)若在实数范围内有意义，则

实数x的取值范围是x28.

【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：牙-820,据

此求出实数x的取值范围即可.

【解答】解：在实数范围内有意义，

8,0,

解得：x28.

故答案为：x28.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此

题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数.

10.(2分)(2022•北京)分解因式:犷-x=氯y-l)(y+l)

【分析】先提取公因式用再对余下的多项式利用平方差

公式继续分解.

【解答】解:

=x(y-1),

=x(y-1)(j+1).

故答案为：x(y-1)(y+1).

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,

第19页共45页

一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法

进行因式分解，同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.

11.（2分）（2022•北京）方程二=工的解为矛=5.

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程

的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：2x=x+5,

解得：x=5,

检验：把x=5代入得：x（x+5）W0,

••・分式方程的解为x=5.

故答案为：x=5.

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解

分式方程注意要检验.

12.（2分）（2022•北京）在平面直角坐标系才如中，若点/

（2,y）,B（5,%）在反比例函数尸乙（Q0）的图象

X

上，则一>%（填“>””=”或"V"）.

【分析】先根据函数解析式中的比例系数A确定函数图象

所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减

性解答.

【解答】解：•・•">（）,

.•.反比例函数尸乙（£>o）的图象在一、三象限，

X

V5>2>0,

・•.点4（2,打），B（5,乃）在第一象限，p随x的增大而

第20页共45页

减小，

故答案为：＞.

【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及

平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单.

13.（2分）（2022•北京）某商场准备进400双滑冰鞋，了解

了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：

353637383940414243

销售2455126321

量/

双

根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数

量为120双.

【分析】应用用样本估计总体的方法进行计算即可得出答

案.

【解答】解：根据统计表可得，39号的鞋卖的最多，

则估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为言x

40

400=120（双）.

故答案为：120.

【点评】本题主要考查了用样本估计总体，熟练掌握用样

本估计总体的方法进行求解是解决本题的关键.

14.（2分）（2022•北京）如图，在中，4〃平分N胡C,

第21页共45页

DE.AAB.若/C=2,DE=3则5k伍）=1

【分析】过〃点作加于"如图，根据角平分线的性

质得到。―加=1,然后根据三角形面积公式计算.

【解答】解：过〃点作。〃_£然于，，如图，

:加平分/胡C,DELAB,DHLAC,

:.DE=DH=\,

••S4Aci尸—x2X1—1.

故答案为：1.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点

到角的两边的距离相等.

15.（2分）（2022•北京）如图，在矩形/A7?中，若48=3,

AC=5,芸=；,则熊的长为1.

FC4

第22页共45页

AED

【分析】由矩形的性质得出N/8C=90°,AD//BC,利用勾

股定理求出比'=4,利用相似三角形的性质，即可求出

的长.

【解答】解：•・•四边形］腼是矩形，

：,ZABC=^O°,AD//BC,

*：AB=3,AC=5,

BC=VT4C2—AB2=V52—32=4,

•・•AD//BC,

:・/EAF=/BCF,/AEF=/CBF,

:AEAFS^BCF,

•■•竺-一工9

FC4

.AE_AF_1

••~,

BCFC4

.AE_1

••=）

44

，AE=1,

故答案为：1.

【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性

质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性

质是解决问题的关键.

16.（2分）（2022•北京）甲工厂将生产的I号、II号两种产

第23页共45页

品共打包成5个不同的包裹，编号分别为4B,C,D,E,

每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：

包裹编号I号产品11号产品包裹的重

重量/吨重量/吨量/吨

A516

B325

C235

D437

E358

甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹

一次运送到乙工厂.

（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，

写出一种满足条件的装运方案ABC（或4跖或相或4式

或BCD）（写出要装运包裹的编号）；

（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，

同时装运的H号产品最多，写出满足条件的装运方案

ACE（写出要装运包裹的编号）.

【分析】（1）从4B,C,D,月中选出2个或3个，同时

满足/号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过

19.5吨即可；

（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运77号产品最多

第24页共45页

的方案即可.

【解答】解：（1）选择4a'时，装运的/号产品重量为：

5+3+2=10（吨），总重6+5+5=16V19.5（吨）,符合要求；

选择/庞时，装运的/号产品重量为：5+3+3=11（吨），

总重6+5+8=19V19.5（吨），符合要求；

选择4〃时，装运的1号产品重量为：5+4=9（吨），总重

6+7=13<19.5（吨）,符合要求;

选择/切时，装运的/号产品重量为：5+2+4=11（吨），

总重6+5+7=18V19.5（吨），符合要求；

选择aZ?时，装运的1号产品重量为：3+2+4=9（吨），总

重5+5+7=17V19.5（吨），符合要求;

选择20时，装运的/号产品重量为：4+2+3=9（吨），总

重7+5+8=20>19.5（吨），不符合要求；

选择板时，装运的/号产品重量为：3+4+3=10（吨），

总重5+7+8=20>19.5（吨），不符合要求；

选择/6F时，装运的1号产品重量为5+3+3=11（吨），总

重6+5+8=19（吨）,符合要求，

综上，满足条件的装运方案有力回或/回或/〃或4①或

BCD或ACE.

故答案为：ABC（或4应'或/〃或4。?或比X?或4"）；

（2）选择极?时,装运的II号产品重量为：1+2+3=6（吨）；

选择/庞时，装运的H号产品重量为：1+2+5=8（吨）；

第25页共45页

选择"时，装运的〃号产品重量为：1+3=4（吨）；

选择时，装运的//号产品重量为：1+3+3=7（吨）；

选择aP时，装运的//号产品重量为：2+3+3=8（吨）；

选择4"时，I产品重量：5+2+3=10且9W10W11；II

产品重量：1+3+5=9,

故答案为：ACE.

【点评】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合

时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键.

三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6

分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分,

第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说

明、演算步骤或证明过程.

17.（5分）（2022•北京）计算：（冗-1）°+4sin45°-V8+|

-31.

【分析】直接利用零指数塞的性质以及特殊角的三角函数

值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并

得出答案.

【解答】解：原式=l+4x曰—2e+3

=1+2V2-2V2+3

=4.

【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解

题关键.

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2+x0^>7_4x，

18.(5分)(2022•北京)解不等式组：4+%.

x<——•

2

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大

取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定

不等式组的解集.

【解答】解：由2+x>7-4x,得:x>l,

由xV等，得：x<4,

则不等式组的解集为l<x<4.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每

一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大

小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关

键.

19.(5分)(2022•北京)已知丁+2工一2=0,求代数式x(x+2)

+(x+1),的值.

【分析】先去括号，再合并同类项，然后把*+2x=2代入

化简后的式子进行计算即可解答.

【解答】解：x(x+2)+(x+1)2

=x+2x+x+2x+l

=2*+4x+l,

・"+2x-2=0,

x+2x=2,

.,.当/+2x=2时，原式=2(x+2JT)+1

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=2X2+1

=4+1

=5.

【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟

练地进行计算是解题的关键.

20.（5分）（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两

种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.

已知：如图，LABC,求证：ZA+ZB+ZC=180°.

方法一方法二

证明：如图，过点/作用〃证明：如图，过点。作

BC.AB.

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A

【分析】方法一：由平行线的性质得：/B=/BAD,ZC

=NO反再由平角的定义可得N胡丹/为什NO夕=180°,

从而可求解；

方法二：由平行线的性质得：ZA=ZACD,ZB+ZBCD=

180°,从而可求解.

【解答】证明：方法一「：DE〃BC,

:・/B=/BAD,/C=/CAE,

*：ZBAD^ZBAaZCAE=180°,

：.ZB+ZBAC+ZC=18Q°；

方法二：VCD//AB,

：,ZA=ZACD,ZB+ZBCD=180°,

：.ZB+ZACB+ZA=180°.

【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记

平行线的性质并灵活运用.

21.(6分)(2022•北京)如图，在口/腼中，AC,必交于点

0,点、E,夕在4C上，AE=CF.

(1)求证：四边形砌。是平行四边形；

(2)若/BAC=/DAC,求证：四边形旗硬是菱形.

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D

【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形

即可证明；

（2）根据平行四边形的性质可得DA=DC,然后利用等腰

三角形的性质可得施进而可以证明四边形旗硬是

菱形.

【解答】证明：（1）在口力灰力中，OA=OC,OB=OD,

;AE=CF.

/.0E=OF,

・•・四边形旗/力是平行四边形；

（2）•・•四边形/比X?是平行四边形，

AB//DC,

・•.ABAC=/DCA,

'：ABAC=ADAC,

：.ADCA=ADAC,

：,DA=DC,

0A=OC,

：,DBLEF,

・•・平行四边形被叨是菱形.

【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、

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菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属

于中考常考题型.

22.(5分)(2022•北京)在平面直角坐标系x在中，函数y

=kx+b(AW0)的图象过点(4,3),(-2,0),且与y

轴交于点A.

(1)求该函数的解析式及点4的坐标；

(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数尸x+刀的值大

于函数尸4x+6(4W0)的值，直接写出力的取值范围.

【分析】(1)先利用待定系数法求出函数解析式为y=1x+l,

然后计算自变量为0时对应的函数值得到力点坐标；

(2)当函数尸x+刀与y轴的交点在点/(含/点)上方

时，当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+??的值大

于函数y=kx+b(4W0)的值.

【解答】解：(1)把(4,3),(-2,0)分别代入9=履+5

得1—2k+b=0'

解得k=1,

lb=1

函数解析式为y=1A+1,

当x=0时，y=^x+l=l,

・•”点坐标为(0,1)；

(2)当刀21时，当x>0时，对于x的每一个值，函数y

=才+刀的值大于函数(AW0)的值.

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【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握

待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关

键.也考查了一次函数的性质.

23.(6分)(2022•北京)某校举办“歌唱祖国”演唱比赛,

十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的

甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析.下

面给出了部分信息.

10,10,10,9,9,8,3,9,8,10

c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数:

同学甲乙丙

平均数8.68.6m

根据以上信息，回答下列问题：

(1)求表中加的值；

(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据

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的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致.据

此推断：在甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一

致(填“甲”或“乙”

(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一

个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认

为该同学表现越优秀.据此推断：在甲、乙、丙三位同学

中，表现最优秀的是丙(填“甲”“乙”或“丙”).

【分析】(1)根据平均数的定义即可求解；

(2)计算甲、乙两位同学的方差，即可求解；

(3)根据题意，分别求出甲、乙、丙三位同学的最后得分，

即可得出结论.

【解答】解：(1)m=—x(10+10+10+9+9+8+3+9+8+10)

10

=8.6；

(2)甲同学的方差6甲=^x[2X(7-8.6)2+2X(8-

io

8.6)2+4X(9-8.6)2+2X(10-8.6)2]=1.04,

乙同学的方差S乙=2X[4X(7-8.6)2+2X(9-8.67+4

io

X(10-8.6)2]=1.84,

•・・S甲vS乙,

・•・评委对甲同学演唱的评价更一致.

故答案为：甲；

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(3)甲同学的最后得分为工x(7+8X2+9X4+10)=8.625；

8

乙同学的最后得分为工X(3X7+9X2+10X3)=8.625；

8

丙同学的最后得分为Zx(8X2+9X3+10X3)=9.125,

8

・•・在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙.

故答案为：丙.

【点评】本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均

数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提.

24.(6分)(2022•北京)如图，48是。。的直径，CD是©0

的一条弦，ABLCD,连接/C,OD.

(1)求证：/BOD=2/A；

(2)连接DB,过点。作CELDB,交施的延长线于点E,

延长〃。，交〃于点几若尸为〃的中点，求证：直线2

为。。的切线.

【分析】(1)连接/〃，首先利用垂径定理得元=品，知

/CAB=/BAD,再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一

半可得结论；

(2)连接%,首先由点尸为4。的中点，可得4〃=。，则

/ADF=/CDF,再利用圆的性质，可说明/⑦4/施凡

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ZCAB=ZCDE,从而得出NW月N〃6F=90°,从而证明结

论.

【解答】证明：（1）如图，连接力〃,

,••4?是。。的直径，ABLCD,

：.BC=BD,

:"CAB=/BAD,

■:/B0D=2/BAD,

:./B0D=2/A：

(2)如图，连接0C,

•・/为“'的中点,

:.DFLAC,

AD=CD,

：,/ADF=/CDF,

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'：BC=BD,

：,ACAB=ADAB,

0A=OD,

：.Z.OAD=AODA,

ZCDF=ZCAB,

'：0C=OD,

ZCDF=ZOCD,

/.ZOCD=ZCAB,

'：BC=BC,

，ZCAB=ZCDE,

:./CDE=/OCD,

VZ£=90°,

:・/CDE+/DCE=9Q0,

：・/0Ca/DCE=9Q°,

即OCLCE,

・二少为半径，

.,・直线方为。。的切线.

【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切

线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

25.（5分）（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛

项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台.运动员起跳后的

飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平

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面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高

度y(单位：加与水平距离x(单位：而近似满足函数

关系y—a(x-力)2+k(a<0).

某运动员进行了两次训练.

(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y

的几组数据如下：

水平距02581114

离x/勿

竖直高20.0021.4022.7523.2022.7521.40

度y/m

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并

求出满足的函数关系y=a(x-h)2+k(aVO)；

(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度p与水平距离x

近似满足函数关系-0.04近-9)2+23.24.记该运动

员第一次训练的着陆点的水平距离为d,第二次训练的着

陆点的水平距离为办则dVd(填“>'"="或"V").

【分析】(1)先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得

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出力、A的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点

坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值即可

得出函数解析式；

(2)设着陆点的纵坐标为t,分别代入第一次和第二次的

函数关系式，求出着陆点的横坐标，用力表示出d和

然后进行比较即可.

【解答】解：(1)根据表格中的数据可知，抛物线的顶点

坐标为：(8,23.20),

・••力=8,4=23.20,

即该运动员竖直高度的最大值为23.20m,

根据表格中的数据可知，当x=0时，y=20.00,代入y=

a(x-8)2+23.20得:

20.00=a(0-8)2+23.20,

解得：a=-0.05,

・•・函数关系式为：y=-0.05(矛-8)2+23.20；

(2)设着陆点的纵坐标为3则第一次训练时，力=-0.05

(x-8)2+23.20,

解得：x=8+j20(23.20-t)或户8-，20(23.20-t),

・••根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离d=

8+720(23.20-0,

第二次训练时,t=-0.04(x-9)2+23.24,

解得：x=9+j25(23.24-1)或x=9—,25(23.24-t),

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••・根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d=

9+，25(23.24—t),

V20(23.20-t)<25(23.24-t),

720(23.20-0<725(23.24-0,

•»d\d?,

故答案为：<.

【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求

函数关系式，设着陆点的纵坐标为t,用方表示出d和a

是解题的关键.

26.(6分)(2022•北京)在平面直角坐标系xOy中，点(1,

勿)，(3,n)在抛物线y=aV+6x+c(a>0)上，设抛物线

的对称轴为直线x=t.

(1)当。=2,勿=〃时，求抛物线与y轴交点的坐标及t

的值；

(2)点(荀，m)(Ab7^1)在抛物线上.若勿V〃<c,求t

的取值范围及刘的取值范围.

【分析】(1)将点(1,而,N(3,加代入抛物线解析式，

再根据勿=〃得出6=-4a,再求对称轴即可；

(2)再根据"V〃<c,可确定出对称轴的取值范围，进而

可确定龙的取值范围.

【解答】解：(1)将点(1,加，N⑶山代入抛物线解

析式，

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(m=a+b+c

tn=9a+3b+c

*.*m=n,

/.a^b+c=^a+3lAc,整理得，b=-4a,

・••抛物线的对称轴为直线x=—?=-F=2；

2a2a

:.t=2,

•・•c=2,

・••抛物线与p轴交点的坐标为(0,2).

(2)m<n<c,

a+b+c<9a+3b^-c<c,

解得"4a<b<-3a,

3a<-6V4a,

<-—<—,即三<t<2.

2a2a2a2

当t=授时，