数学人教B版必修4课堂探究1.2.2单位圆与三角函数线

课堂探究探究一作出三角函数线作三角函数线的题型主要有两种：(1)已知角的大小，作三角函数线，此类题型只需按步骤进行即可；(2)已知函数值的大小找角，先找出相应y或x的值，再找出相应的角．【例1】在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．(1)sinα＝；(2)cosα＝－；(3)tanα＝2．分析：对于(1)设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x．所以，要作出满足sinα＝的角的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为的点P，则OP即为α的终边，对于(2)，(3)可采用同样的方法予以处理．解：(1)作直线y＝交单位圆于点P，Q，则OP与OQ为角α的终边，如图①．(2)作直线x＝－交单位圆于点M，N，则OM与ON为角α的终边，如图②．(3)在直线x＝1上截取AT＝2，其中A的坐标为(1,0)．设直线OT与单位圆交于点C，D，则OC与OD为角α的终边，如图③．评注三角函数线可以用来求出满足形如f(a)＝m的三角函数的角α的终边，体现了对三角函数线的深刻理解，同时这也是利用三角函数解决问题的关键．探究二利用三角函数线比较大小利用三角函数线比较大小，先要作出相应的三角函数线，然后观察三角函数线的大小和方向．【例2】若θ∈，则下列各式错误的是________．(填序号)①sinθ＋cosθ<0；②sinθ－cosθ>0；③|sinθ|<|cosθ|；④sinθ＋cosθ>0．解析：画出单位圆如图所示，借助三角函数线进行判断．由图可观察出，当θ∈时，sinθ>0，cosθ<0，且|sinθ|<|cosθ|．所以①②③正确，④错误．答案：④反思通过此题，我们发现三角函数线在解决一些与三角函数有关的不等式、比较大小等问题时十分快捷有效，所以我们要熟练地画出一个角的三角函数线，结合图形对比得出结论．这也是数形结合思想的很好体现．探究三利用三角函数线解不等式用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：【例3】求函数f(α)＝的定义域．分析：要使函数f(α)有意义，则sinα≥．利用三角函数线可得α的范围，即为函数f(α)的定义域．解：要使函数f(α)有意义，必须使2sinα－1≥0，则sinα≥，如图所示，画出单位圆，作x轴的平行直线y＝，交单位圆于两点P1，P2，连接OP1，OP2，分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图的两条正弦线，易知这两条正弦线的值都等于．在[0,2π)内，sin＝sin＝．由于sinα≥，故满足条件的角α的终边在图中阴影部分，所以函数f(α)的定义域为．反思求此类三角函数定义域的本质是求三角不等式(组)的解集，其方法是首先作出单位圆，然后根据约束条件利用三角函数线画出角α终边所在的区域(可用阴影部分表示)，然后写出该区域内角的集合即可．【例4】已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，在[0,2π]内求α的取值范围．解：由题意，知如图所示，由三角函数线可得故<α<或π<α<．反思根据三角函数线可以判断sinα，cosα，tanα的符号，推出三角函数的定义域，比较三角函数值的大小等，更重要的是，由于给出了三角函数的几何定义，可以直观地研究三角函数，运用数形结合思想解决某些实际问题，还可以沟通三角函数与几何等其他内容的联系．探究四三角函数值与角的关系由三角函数定义知：－1≤sinα≤1，－1≤cosα≤1，即三角函数值是一个数值，而由弧度制知，数值与角也是一一对应的，如1rad＝．【例5】(1)若角θ在第四象限，试判断sin(cosθ)·cos(sinθ)的符号．(2)若tan(cosθ)·cot(sinθ)>0，试指出θ所在象限．分析：本题主要考查正弦、余弦函数的定义和取值范围，以及它们在各象限函数值的符号，关键将角α，cosα，sinα看作弧度制下的角．解：(1)因为角θ在第四象限，所以0<cosθ<1<，－<－1<sinθ<0．所以sin(cosθ)>0，cos(sinθ)>0．所以sin(cosθ)·cos(sinθ)>0．(2)由题意，知或所以或即θ在第一或第三象限．探究五易错辨析易错点：因忽视角的终边在坐标轴上而致误【例6】利用三角函数线证明|sinα|＋|cosα|≥1．错解：证明：如图所示，MP＝|sinα|，OM＝|cosα|．根据三角形中两边之和大于第三边，易知|sinα|＋|cosα|≥1．错因分析：上述解法忽视了角α的终边在坐标轴上的情况，并且正弦线、余弦线是有方向的，不能写成MP＝|sinα|和OM＝|cosα|．正解：证明：当角α的终边在x(或y)轴上时，正弦线(或余弦线)变成一个点，而余弦线(或正弦线)的长等于r(r=1