八年级数学上册小专题(八)用分类讨论求解等腰三角形多解问题(选做)练习(新版)新人教版

#小专题（八）用分类讨论求解等腰三角形多解问题（本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做）类型1对对顶角和底角的分类讨论方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于18°0；等腰三角形中至少有两个角相等．针对训练．等腰三角形是有一个角为5°2，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？．如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数．类型2对腰长和底长的分类讨论方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”，哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论．判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．针对训练.若一个等腰三角形的三边长均满足一（）0求此等腰三角形的周长.若等腰三角形一腰上的中线分周长为 和 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长.类型3对锐角、直角和钝角三角形的分类讨论方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角和钝角三角形．不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高在顶角的顶点上；钝角三角形腰上的高在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论．针对训练.已知△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交成。的角，求底角的度数.．一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少？.AC为等腰4ABD的腰BD上的高，且NCAB=°求这个三角形各内角的度数.参考答案.①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为 0—2)-2=6。，故一腰上的高与底边的夹角为26°；②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为3°.故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或3°.2.设NA,NB,NC是该等腰三角形的三个内角，且NA=5/B.设NA=。，则NB=2°.①若NB是顶角，则NA,2NC是底角，于是有NC=NA=°.VZA+ZB+ZC=°,，+2+=解得=。，故NA=NC=,NB=。.②若NB是底角，因为NAWNB,所以NA是顶角，NC=NB=2°.VZA+ZB+ZC=°,・，.2+2+=解得=36,故NA=36°,NB=NC=2.综上所述，等腰三角形的各内角为°、°、。或36°、 °、 2.3.据题意，得=2、=都满足一2)一=从而可知等腰三角形的三边长有四种可能情况：2、2、或2、、或2、2、2或、、 其中，根据三角形的三边关系知，以2、2、为边不能构成三角或2.形，而其他三种情况均符合条件.因此，所求等腰三角形的周长为6或2..如图，由于条件中中线分周长的两部分，并没有指明哪一部分是 ，、哪一部分是.2,因此，应有两种情形：若设这个等腰三角形的腰长为V2，于是根据题意，得形：若设这个等腰三角形的腰长为V2，于是根据题意，得2解得，=6,.由题意可判断该三角形不即当腰长是6 时，底边长是 ；当腰长是 时，底边长是.由题意可判断该三角形不可能是直角三角形、可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：①如图，垂直平分线DE与腰AC相交，且NAED=°,则NA=°,所以NB=NC=°；②如图2,当AB的垂直平分线DE与腰AC的反向延长线相交，且NAED=°,则NEAD=°,NBAC=、，所以两底角NB=NC=2°.综上可知，等腰三角形的底角为°或2°.6.设6.设NA为顶角，则NABC、NACB为底角.NBDA=°,.'.NA=3°，/ABC=NACB=若/A为锐角，如图,作BD，AC于点D,根据题意有BD=^AB,2，；2若/人为直角，根据题意“等腰三角形一边上的高等于另一边的一半”，这种情况无解;3若/人为钝角，有三种情况:边的一半”，这种情况无解;3若/人为钝角，有三种情况:①如图2,作①如图2,作ADLBC于点D,根据题意有：AD=2AB,NADB=...NABC=NACB=3°；②如图3,作BD^CA的延长线于点D,根据题意有：BD=-BC,的延长线于点D,根据题意有：BD=-BC,ZADB=,AZABC=ZACB=；③如图，作BDLCA的延长线于点D,根据题意有：BD=-AB,ZADB=°,AZBAD=0,ZABC=ZACB=0综上所述，等腰三角形底角的度数是°、°或°①如图，高AC在4ABD的内部，因为NCAB=°,ZACB=°,所以NB=°因为BA=BD,所以NBAD=ND=°；②如图，高AC在4ABD的外部，因为NCAB=°,ZACB=。，所以NABC=。，所以NABD=°因为