建立层次结构模型案例

建立层次结构模型将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。〔例1〕购物模型某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：选购电視机〔例2〕选拔干部模型对三个干部候选人y、y、y，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关123系，构成如下层次分析模型：假设有三个干部候选人y、y、y，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型

［编辑］构造成对比较矩阵比较第i个元素与第j个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重aij来描述。设共有n个元素参与比较，贝U-L■■■称为成对比较矩阵。按下述标度进行赋值。a在1-9及其倒数ij按下述标度进行赋值。a在1-9及其倒数ijij中间取值。•a=1,元素i与元素j对上一层次因素的重要性相ij同；a=3，元素i比元素j略重要；ija=5，元素i比元素j重要；ija=7，元素i比元素j重要得多；ija=9，元素i比元素j的极其重要；ija=2n，n=1,2,3,4,元素i与j的重要性介于a=2nijij1与a=2n+1之间；ij■，n=1,2,...,9,当且仅当a=nji

夠>Ogj==7-成对比较矩阵的特点：'■。（备注：当i=j时候，a=1）ij对例2,选拔干部考虑5个条件：品德x，才能x，资历x，年龄x，群众关系x。某决12345策人用成对比较法，得到成对比较阵如下：/12755\11-41-31-311-41-31-3a=5表示品德与年龄重要性之比为5，即决策人认为品德比年龄重要。14［编辑］作一致性检验从理论上分析得到：如果A是完全一致的成对比较矩阵，应该有aa=a。ijjkik但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。对成对比较矩阵的一致性要求，转化为要求：的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。检验成对比较矩阵A一致性的步骤如下：•计算衡量一个成对比矩阵A（n>1阶方阵）不一致程度的指标CI：门T入mu：*（匕）一舁其中久是矩阵A的最大特征值。注解max•从有关资料查出检验成对比较矩阵A一致性的标准RI：RI称为平均随机一致性指标，它只与矩阵阶数有关。•按下面公式计算成对比较阵A的随机一致性比率CR：•判断方法如下：当CR<0.1时，判定成对比较阵A具有满意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否则就调整成对比较矩阵A直到达到满意的一致性为止。例如对例2的矩阵211-41-31-3例如对例2的矩阵211-41-31-311-21-71-nl-n531-21174123X{A)=5.072,0/=豎)：§=0.018计算得到-，查得Rl=1.12,这说明A不是一致阵，但A具有满意的一致性，A的不一致程度是可接受的。此时A的最大特征值对应的特征向量为U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。这个向量也是问题所需要的。通常要将该向量标准化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于1。该特征向量标准化后变成U=(0.4759,0.2636,0.0538,0.0981,0.1087)z。经过标准化后这个向量称为权向量。这里它反映了决策者选拔干部时，视品德条件最重要，其次是才能，再次是群众关系，年龄因素，最后才是资历。各因素的相对重要性由权向量U的各分量所确定。求A的特征值的方法，可以用MATLAB语句求A的特征值：〔Y,D〕=eig(A),Y为成对比较阵的特征值，D的列为相应特征向量。在实践中，可采用下述方法计算对成对比较阵A=(a_{ij})的最大特征值久(A)和相应特征向max量的近似值。定义

可以近似地看作A的对应于最大特征值的特征向量。计算yl-(AU)t1-E-_x£1Ui仇纟网®可以近似看作A的最大特征值。实践中可以由九来判断矩阵A的一致性。［编辑］层次总排序及决策现在来完整地解决例2的问题，要从三个候选人yi?y2，y3中选一个总体上最适合上述五个条件的候选人。对此，对三个候选人y=yi?y2，y3分别比较他们的品德*),才能里)，资历(弋)，年龄(x)，群众关系(x)。45先成对比较三个候选人的品德，得成对比较阵经计算，Bi的权向量①(Y)=(0.082,0.244,0.674)zx1爲MJ=3.002,0/=0.001,故B的不一致程度可接受。①(Y)可以直观地视为各候选人在品德方面的得分。1x1类似地，分别比较三个候选人的才能，资历，年龄，群众关系得成对比较阵通过计算知，相应的权向量为S処(Y)=(0.606,0.265,0.129)^m/Y)=(0.429,0.429,0.143)2心Y)=(0.636,0.185,0.179)2s云(Y)=(0.167,0.167,0.667)2它们可分别视为各候选人的才能分，资历分，年龄分和群众关系分。经检验知B,B,B,B的2345不一致程度均可接受。最后计算各候选人的总得分。y的总得分1⑴加=为羽=巧(曲)=0.457x0.082|0.263x0.606I0.051x0.429I0.104从计算公式可知，y