2022届（全国乙卷）理科数学模拟试卷四（学生版+解析版）

保密★启用前

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷四

（全国乙卷・理科）

学校:姓名：班级：考号：

题号—二三总分

得分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

评卷人得分

一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.（本题5分）下列选项中，是“0是集合"=｛巾加+2犬+1=0,。“｝的真子集”成立的

必要不充分条件的是（）

A.^e（-oo,0）B.«e（-oo,0]

C.（-oo,llD.ae<-oo,2）

1-i

2.（本题5分）设复数z是纯虚数，若一^是实数，则』二（）

z+2

A.-2iB.-iC.iD.2i

3.（本题5分）已知｛a〃｝,｛瓦｝是两个等差数列，其中公=3,3=-3,且。2。一岳0=6,

那么〃io—810的值为（）

A.-6B.6C.0D.10

4.（本题5分）已知平面向量联工的夹角为（，且立|=2,|后=1，则|>2万=（）

A.4B.2C.1D.76

5.（本题5分）角a终边经过点P（2+6,1）,若把a逆时针方向旋转今后得到夕，则

tan夕=（）

A.3B.>/3C.—3D.—\/3

6.（本题5分）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该

几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如

图所示的曲池，其高为3,抽，底面，底面扇环所对的圆心角为I■JT,弧AO长度为弧

8c长度的3倍，且8=2,则该曲池的体积为（)

7.（本题5分）恩格尔系数（EngersCo办cie”）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.

居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收

入.如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图.

恩格尔系数

居民人均可支配收入

给出三个结论:

①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系;

②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕;

③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.

其中正确的是（）

A.①B.②C.①②D.②③

8.（本题5分）若以b、c是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）

A.若a//6〃c,则a.b.c共面B.若瓦c过同一点，则。、匕、＜?共面

C.若a_Lc,6_Lc,则a//6D.若a//b,aLc,贝l］）_Lc

9.（本题5分）一条铁路有〃个车站，为适应客运需要，新增了，"个车站，且知机＞1,

客运车票增加了62种，则现在车站的个数为（）

A.15B.16C.17D.18

10.（本题5分）已知函数〃x）=sin（s+?®＞0）,将/（x）的图象向右平移焉个单

位得到函数g（x）的图象，点A,B,C是“X）与g（x）图象的连续相邻的三个交点，若

△ABC是钝角三角形，则。的取值范围是（

11.（本题5分）设x,y,z＞0,«=4x+-,ft=4y+i,c=4z+-,贝！|a也c三个数（）

yzx

A.都小于4B.至少有一个不大于4

C.都大于4D.至少有一个不小于4

22

12.（本题5分）如图所示A,B,C是双曲线0-方=1（。＞0,。＞0）上的三个点，点A,

8关于原点对称，线段AC经过右焦点尸，若即FAC且忸尸|=|FC|,则该双曲线的离

C.同D,巫

2

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.体题5分）已知（x-l）3（x+a）2（awZ）的展开式中x的系数等于8,则a等于

14.（本题5分）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36%的球面上，则该正四面体

的棱长是.

15.（本题5分）己知数列｛叫满足41k+也=2+。m，且q=l,1=1,则｛q｝的通项

4n3

16.（本题5分）苏格兰数学家纳皮尔在研究天文的过程中，通过对运算体系的研究，最

终找到了简化大数运算的有效工具，发明了对数，这是数学史上的大事件.他的朋友布

里格斯构造了现在常用的以10为底的常用对数Igx,并出版了常用对数表，以下是部

分数据（保留到小数点后三位），瑞士数学家欧拉则在1770年指出了“对数源于指数”,

根据下表中的参考数据和指对数之间关系，判断下面的结论，其中正确的序号是

①在区间（此⑹）内；

②250是15位数;

③若=kx10m（l<k<10,meZ）,则，〃=—9；

④若W0°（m€N*）是一个70位正整数，则m=5.

参考数据如下表：

真数X235711131719

1gX（近似值）03010.4770.6990.8451.0411.1141.2301.279

评卷人得分三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、

23题为选考题，考生根据要求作答.）

（一）必考题：共60分

17.（本题12分）已知△ABC中，asinA=Z>sinB.

（1）证明：a=b；

（2）若c=LacosA-sinC,求△ABC的面积.

18.（本题12分）正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概

率分布都可以近似地用正态分布来描述.例如，同一种生物体的身长、体重等指标.随

着“绿水青山就是金山银山'’的观念不断的深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环

境出现了可喜的变化.为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼

称重.经整理分析后发现，鱼的重量x（单位：kg）近似服从正态分布X~N（2Q2）,

如图所示，已知尸(x<0.5)=0.04,P(x<1.5)=0.26.

(1)若从水库中随机捕捞一条鱼，求鱼的重量在［2.5,3.5］内的概率;

(2)从捕捞的100条中随机挑出6条鱼测量体重，6条鱼的重量情况如表.

重量范围(单位：kg)[0.5,1.5)[1.5,2.5)[2.5,3.5]

条数132

①为了进一步了解鱼的生理指标情况，从6条鱼中随机选出3条，记随机选出的3条鱼

中体重在［2.5,3.5］内的条数为X,求随机变量X的分布列和数学期望;

②若将选剩下的94条鱼称重微标记后立即放生，两周后又随机捕捞1000条鱼，发现其

中带有标记的有2条.为了调整生态结构，促进种群的优化，预备捕捞体重在［2.5,3.5］

内的鱼的总数的40%进行出售，试估算水库中鱼的条数以及应捕捞体重在［253.5］内的

鱼的条数.

19.(本题12分)如图，在四棱锥中，ABLCE,AE±CD,BC//AD,AB=3,

CD=4,AD=2BC=1Q.

(1)证明：NAE。是锐角；

(2)若AE=10,求二面角4-8E-C的余弦值.

,2

20.(本题12分)已知椭圆G：二+与=l(a>6>0)的左、右焦点分别为6、玛，P为椭

a~h-

圆上的一点，△PK鸟的周长为6,过焦点的弦中最短的弦长为3；椭圆c的右焦点为抛

物线G：V=2px的焦点.

(1)求椭圆C1与抛物线C?的方程;

(2)过椭圆G的右顶点。的直线/交抛物线G于A、8两点，点。为原点，射线。4、

。8分别交椭圆于C、。两点，的面积为，，以A、C、。、8为顶点的四边形的

面积为邑，问是否存在直线/使得邑若存在，求出直线/的方程；若不存在，

请说明理由.

jr

21.(本题12分)已知函数/(x)=or2_cosx,xe0,—.

(1)当。=-；时，求的值域；

(2)讨论/(x)极值点的个数.

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做.则按所做

的第一题计分.

[选修4-4:坐标系与参数方程]

(x=2cos，

22.(本题10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为4."(。为参数)，直

[y=4sin0

fx=-l+fcosa

线/的参数方程为C.(f为参数).

[y=2+fsina

(1)求C和/的普通方程；

(2)若曲线C截直线/所得线段的中点坐标为(-1,2),求/的斜率.

[选修4—5:不等式选讲]

23.(本题10分)已知函数〃x)=k+d+2k-1].

(1)当。=2时，求不等式/(对44的解集；

(2)若上«1,2],使得不等式〃x)>d成立，求实数〃的取值范围.

保密★启用前

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷四

（全国乙卷・理科）

学校:姓名：班级：考号：

题号—二三总分

得分

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

评卷人得分

一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.（本题5分）下列选项中，是“0是集合/={*|浸+2X+1=0,4€1<}的真子集”成立的

必要不充分条件的是（）

A.a€（-oo,0）B.ae（Y»,0]

C.ae（^x>,l]D.aG（^X>,2）

【答案】D

【分析】

由题意可知M蛊，即方程62+2、+1=0有实数解，当。=0时，符合题意，当4H0时，

由A=4-4心0解得。的范围即为“0是集合M={x|加+2x+l=0,aeR}的真子集”成

立的充要条件，即为所选选项的真子集，进而可得正确选项.

【详解】

若“0是集合M={x|加+2x+l=0,aeR}的真子集”

所以M=^x\ax2+2x+l=0,aeR10,

所以方程加+2x+l=0有实数解，

当。=0时，由2x+l=0可得x=符合题意，

当4H0时，由AMd—daNO可得aWl,

所以。工1且Q工0,

综上所述：M=｛x|ar2+2x+l=O,aeR｝H0的充要条件为awl；

即“0是集合M=｛x|加+2x+l=0,aeR｝的真子集”成立充要条件为。41；

所选集合是的必要不充分条件，贝应是所选集合的真子集,

由选项判断A,B,C都不正确，选项D正确;

故选：D.

l-i

2.（本题5分）设复数z是纯虚数，若是实数，则4=（)

z+2

A.-2iB.—iC.iD.2i

【答案】D

【分析】

设2=加（"€氏人工0）,由二是实数得到b=_2,即得解.

【详解】

设z=bi(beR,6w0),

1-zl-i(l-i)(2-/?i)_2-h-(2+b)i,

所以

z+2一例+2(2+方)(2—6)--4+P正

所以2+b=0,「.b=-2.

所以z=-2i,/.z=2i.

故选：D

3.（本题5分）已知｛a〃｝,｛瓦｝是两个等差数列,其中〃1=3,3=-3,且3）一岳o=6,

那么aio一从0的值为（）

A.-6B.6C.0D.10

【答案】B

【分析】

由于｛〃〃｝,｛/M都是等差数列，所以｛。〃一。〃｝也是等差数列，由已知条件可得｛小一。〃｝是

常数列，从而可求得答案

【详解】

由于｛〃〃｝,仍〃｝都是等差数列，所以｛为一小）也是等差数列，

而0—〃]=6,〃20—岳0=6,所以｛。〃一仇｝是常数列，

故00—。|0=6.

故选：B.

4.（本题5分）已知平面向量之工的夹角为?，且|i=2,4|=1，贝iJ|>2升=（）

A.4B.2C.1D.R

【答案】B

【分析】

先求解|£-2功的平方，因为|Z-2讦=,-2勾’利用平面向量相关的运算法则求解出

结果，开方后求得|。-2坂|

【详解】

|&-2邸=（。-2石）-a-4ab-\-4b-4|a|•|fe|cosy+4|fe|~

因为向量1力的夹角为且|/=2,向=1，

所以|。一28『=4-4x2xg+4=4,|a-2b\=2

故选：B

5.体题5分）角。终边经过点-2+61）,若把a逆时针方向旋转彳后得到夕，则

tan/=（）

A.3B.\/3C.-3D.—^3

【答案】B

【分析】

-JT

先求出tana的值，由条件可得尸=a+f,由正切的和角公式可得答案.

4

【详解】

角a终边经过点尸（2+6,1）.则tana=五%=2-6

把a逆时针方向旋转涓得到几所以£

1+tana1+2-G

所以tan/?=tan=下)

1-tana1-(2-

故选：B

6.（本题5分）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该

几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如

TT

图所示的曲池，其高为3,蝴J•底面，底面扇环所对的圆心角为,，弧A。长度为弧

BC长度的3倍，且CD=2,则该曲池的体积为（）

11〃

C.-----D.57r

2

【答案】B

【分析】

利用柱体体积公式求体积.

【详解】

不妨设弧A。所在圆的半径为心弧BC所在圆的半径为心由弧A。长度为弧8c长度

的3倍可知R=3r,CD=R-r=2r=2,即r=l.故该曲池的体积

V=^x（/?2-r2）x3=6^.

故选：B

7.（本题5分）恩格尔系数（E〃ge「sCo助7cM〃）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.

居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收

入.如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图.

201220132014201520162017201820192020

给出三个结论:

①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；

②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；

③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.

其中正确的是（）

A.①B.②C.①②D.②③

【答案】C

【分析】

通过对2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图的分析，了解

两者间的相关性而作出判断.

【详解】

由折线图可知，恩格尔系数在逐年下降，居民人均可支配收入在逐年增加，

故两者之间存在负相关关系，结论①正确；

恩格尔系数越小，居民人均可支配收入越多，经济越富裕，结论②正确；

家庭收入越少，人们为解决温饱问题，收入的大部分用来购买食品，结论③错误.

故选：C

8.（本题5分）若a,"c是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）

A.若a〃万〃c,则a、/c共面B.若a、"c过同一点，则。,"c共面

C.若a_Lc,，_Lc,则a//bD.若a"b”c,则人_Lc

【答案】D

【分析】

ABC三项举出反例即可说明，D选项结合线线关系即可判定.

【详解】

A设“力确定的平面为a,当c//a时，瓦。不共面，故A错误；

B不妨设a*、c为三棱锥的三条侧梭所在直线，显然a、Rc共点，但是a*、c不共面，

故B错误；

C若a,b为平面a内的两条直线，且c，a,显然满足,但是不一定平行，

故C错误；

D若则b_Lc,故D正确；

故选：D.

9.（本题5分）一条铁路有〃个车站，为适应客运需要，新增了相个车站，且知

客运车票增加了62种，则现在车站的个数为（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】C

【分析】

由题意得A",-A；=62,化简计算可得〃=卫-咚1,由于机>1,〃>o,可得名>=

从而可求出1<〃?W8,经验证可得答案

【详解】

原来九个车站有A；种车票，新增了，“个车站，有AL种车票，

由题意得A；+n,-A；=62,gp(m+n)(m+n-1)-n(n-1)=62,

整理得2/WI+，/—m=62,n--------,

m2

Vm>\,n>0,—>----,m2-m-62<0>解得［<〕+'49,即1<加<8.

m22

当帆=3,4,5,6,7,8时，〃均不为整数，只有当帆=2时，〃=15符合题意，

：.m+n=ll,故现在有17个车站.

故选：C.

10.(本题5分)已知函数〃x)=sin(s+?®>0),将/(x)的图象向右平移焉个单

位得到函数g(x)的图象，点A,B,C是与g(x)图象的连续相邻的三个交点，若

△ABC是钝角三角形，则。的取值范围是(

D.。丁

【答案】D

【分析】

由函数图象的平移可得g(x)=cos("v-g),作出函数的图象，结合三角函数的图象与

性质、平面几何的知识即可得出四<1,即可得解.

兀

【详解】

由条件可得，g(x)=cos(0x—1),作出两个函数图象，如图：

山对称性可得△ABC是以£）3为顶角的等腰三角形，AC=T=—=2CD.

co

由COSGX=COS（/X-,^3.Wcosa）x=y/3sincox,得cosGX二土牛，

则%=—%=*,所以5D=2|yJ=6,

TT

要使“IBC为钝角三角形，只需NAC8<：即可，

4

由tanNACB=<1,所以0<（y<无无.

DC7i3

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到

关于。的不等式，运算即可.

11.（本题5分）设x,y,z>0,a=4x+-,/>=4y+-,c=4z+-,则a,b,c三个数（）

yzx

A.都小于4B.至少有一个不大于4

C.都大于4D.至少有一个不小于4

【答案】D

【分析】

由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案.

【详解】

假设三个数4x+1<4且4y+1<4且4z+L<4,相加得：

yzx

T+4x+：+4），+!+4z<12,由基本不等式得：

—+4x.4；—+4y..4.-+4z..4；

xyz

相加得：-+4^+-+4y+-+4z..l2,与假设矛盾；

xyz

所以假设不成立，

三个数4彳+上、4)，+,、4z+L至少有一个不小于4.

yzx

故选£).

【点睛】

本题考查反证法和基本不等式的应用，属于•简单题.

22

12.(本题5分)如图所示A,B,C是双曲线,一方=l(a>0,6>0)上的三个点，点A,

8关于原点对称，线段AC经过右焦点/，若BF_LAC且忸尸|=|尸C|,则该双曲线的离

【答案】D

【分析】

分别设出AC坐标利用几何条件将C坐标表达出后代入双曲线方程，整理出离心率表

达式，并代入选项验证即可得解

【详解】

由题意可得在直角三角形ABE中，。尸为斜边AB上的中线，所以

\AB\=2\OA[=2\OF\=2C

m2+n2=c2'-----,

设且在第一象限，贝I满足小n2解得m=/"#=匚

----r=lcc

ac

..（a\]c2+b2/]fayJc2+b2b2）,、

所以A-------,B---------------,--—F（c,OM）设C（x,y）

-----OA2

因为8尸J_AC则士----1—=T,化简得—-•-;一/,,=-1……(D

x-cJcf2+b-x-cc2+Vc2+&2

--a-y--------C

C

，1~~2»2Y/,2、2

|BF|=|FC|则c+aslC++—=(x-c)，V将①代入后可分别化简得

Ic)

b2+C1c2+ay/c2+h2m+c2c'++b~

CcIcc)

将c好半逵代入双曲线方程，可化简为)。2+从(从-/)="3

\7

因为在双曲线中廿=’2一",《=£所以上式为

a

(b2-a2)=ylc2+c2-a2(c2-a2-a2)=y[2c^(c2-2a2)=a3

即J2c2—/(土却)=1整理为(e2_2)J(2e2T=1

aa2V

将选项代入验证，D选项满足等式

故选：D

评卷人得分

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.(本题5分)已知已-l)3(x+a)2(awZ)的展开式中x的系数等于8,则。等于

【答案】2

【分析】

把(kip和(x+a『(aeZ)展开，根据展开式中X的系数等于8,求出。的值.

【详解】

解：；(x-l)3(x+a)2=(x3-3x，+3x-l)(x2+1ax+a2),

4

所以展开式中x的系数等了3/一2a=8，解得a=2或a=-：,

因为aeZ,所以a=2.

故答案为：2.

14.(本题5分)正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36%的球面上，则该正四面体

的棱长是.

【答案】2"

【分析】

将正四面体还原为一个正方体，由正四面体和正方体内接同一球求解.

【详解】

如图所示：

因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为4BCO-4BCR

则正四面体为A-cqq,

设球的半径为R,则4兀代=36万，

解得R=3,

所以=6则正方体的棱长为26，

所以正四面体的棱长为四=2",

故答案为：2屈

15.(本题5分)已知数列｛q｝满足也+曝=2+4+|,且4=1，4=：,则｛可｝的通项

an+2an3

公式/=•

2

［答案］而可

【分析】

由已知条件可得-------------------=1,从而有1--------1是以2为首项，1为公

差的等差数列，-—=2+(n-l)=n+l,最后利用累加法及等差数列的前

a

«„+l„

〃项和公式即可求解.

【详解】

111c

由4=1,氏=；得------=2,

一3七4

所以「是以2为首项，1为公差的等差数列,

U+Ian）

所以^-----=2+（n-l）=n+l,

%册

/\n(n+\)

=〃+(〃-1)+…+2+1=—^--

2

所以勺=/.n，

当〃=1时，q=1也适合上式,

2

所以""=许’

2

故答案为：丽•

16.（本题5分）苏格兰数学家纳皮尔在研究天文的过程中，通过对运算体系的研究，最

终找到了简化大数运算的有效工具，发明了对数，这是数学史上的大事件.他的朋友布

里格斯构造了现在常用的以10为底的常用对数Igx,并出版了常用对数表，以下是部

分数据（保留到小数点后三位），瑞士数学家欧拉则在1770年指出了“对数源于指数”，

根据下表中的参考数据和指对数之间关系，判断下面的结论，其中正确的序号是

①在区间（io61。7）内；

②250是15位数;

③若3金=4x10ra（l<^<10,weZ）,则，〃=一9；

④若mm（meN*）是一个70位正整数，则m=5.

参考数据如下表：

真数X235711131719

1gX（近似值）03010.4770.6990.8451.0411.1141.2301.279

【答案】①④

【分析】

利用对数的运算性质求出/gN,由此分析求解即可.

【详解】

解：41°=(22「=22'>,则年4|°=怛22。=201g2=20x0.301=6.02,所以4°式此0)，

故①正确；

因为lg250=501g2a50x0.301=15.05,所以2、。式炉加馆)，即？5。是16位数，故②错

误；

因为怆3-2。=-201g3®-20x0.477=-9.54,即3口>=10-954=10046xlOl0.所以

3@=kxl0”(l«k<10,meZ),则加=-10,则③错误；

因为1g加00=1001g”？，因为/""("zeN*)是一个70位正整数，所以6941001gm<70,

所以0.69Wlg，〃<0.7,所以加=5,故④正确

故答案为：①④

评卷人得分三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、

23题为选考题，考生根据要求作答.)

(-)必考题：共60分

17.(本题12分)己知△A5C中,6zsinA=Z>sinB.

(1)证明：a=b；

(2)若c=l,acosA=sinC,求△ABC的面积.

【答案】

(1)证明见详解1

⑵L3或1一3

2424

【分析】

(1)利用正弦定理即可得证；

(2)利用正弦定理求出NC,利用余弦定理求出利用三角形的面积公式可得解.

(1)

证明：在三角形△A8C中，根据正弦定理二=一二

sinAsinB

XvtzsinA=/?sinB

2=b2,即。=从得证

解：由上式可知。=/?,ZA=ZB

根据正弦定理

sinAsinC

又,.,<?=1

sinC=sin（万-2A）=sin2A=

acosA=sinC

故NC=J或NC=］

66

根据余弦定理有a2+h2-2ahcosC=2a2-2a2cosC=c2=1

cosC=—或cosC=-正

22

代入上面式子可得/=2+6或/=2-G

2

所以当NC=g时，S.HC=—absinC=—asinC=-x（2+>/3）x—=1+—

6SHC222224

2

当时,S.„c=—a/jsinC=-asinC=—x（2->^）x—=—

6“比222224

18.（本题12分）正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概

率分布都可以近似地用正态分布来描述.例如，同一种生物体的身长、体重等指标.随

着“绿水青山就是金山银山'’的观念不断的深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环

境出现了可喜的变化.为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼

称重.经整理分析后发现，鱼的重量x（单位：kg）近似服从正态分布x〜NQQ?）,

如图所示，已知?（尤<Q5）=0.04,P（x<l.5）=0.26.

1.523.5x

（1）若从水库中随机捕捞一条鱼，求鱼的重量在［2.5,3.5］内的概率;

(2)从捕捞的100条中随机挑出6条鱼测量体重，6条鱼的重量情况如表.

重量范围(单位：kg)[0.5,1.5)[1.5,2.5)[2.5,3.5]

条数132

①为了进一步了解鱼的生理指标情况，从6条鱼中随机选出3条，记随机选出的3条鱼

中体重在［253.5］内的条数为X,求随机变量X的分布列和数学期望;

②若将选剩下的94条鱼称重微标记后立即放生，两周后又随机捕捞1000条鱼，发现其

中带有标记的有2条.为了调整生态结构，促进种群的优化，预备捕捞体重在［2.5,3.5］

内的鱼的总数的40%进行出售，试估算水库中鱼的条数以及应捕捞体重在［253.5］内的

鱼的条数.

【答案】

(1)0.22；

(2)①分布列见详解；1；②47000；4136.

【分析】

(1)根据正态分布曲线的对称性有

PQ.5<x<3.5)=P(0.5<x<1.5)=P(x<1.5)-P(x<0.5),计算后即可得出答案；

(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,根据超几何分布的概率求法求出各种

情况的概率，可得到其分布列，再由公式求出数学期望；

②设水库中共有N条鱼，根据题意有含=詈，先求出N,又由(1)可知

P(2.5<x<3.5)=0.22,从而可求巾应捕捞体重在［2.5,3.5］内的鱼的条数.

(1)

解：已知鱼的重量》(单位：kg)近似服从正态分布X~N(2Q2),

由正态分布的对称性可知，

P(2.5<x<3.5)=尸(0.5<x<1,5)=P(x<1.5)-P(x<0.5)=0.26-0.04=0.22,

所以从水库中随机捕捞一条鱼，鱼的重量在［2.5,3.5］内的概率为0.22.

(2)

解：①挑出6条鱼中，体重在［2.5,3.5］内有2条，则从6条鱼中随机选出3条,

得随机变量X的所有可能取值为0,1,2,

CC：4

尸(X=0)=

-CT=2O：

…喈吟

2]

p（X=2）=^r^C=—4;

c；20'

所以X的分布列为:

X012

4124

P

202020

41?4

数学期望E（X）=0x——+lx——+2x——=l.

V7202020

②设水库中共有N条鱼，根据题意有

942

贝i］N=竺四x94=47000（条），

2

所以估计水库中有47000条鱼；

由（1）可知P（2.54x43.5）=0.22,

则体重在［2.5,3.5］内的鱼应捕捞47000x0.22x0.4=4136（条）.

19.（本题12分）如图，在四棱锥E-ABCZ）中，ABVCE,AE1CD,BC//AD,AB=3,

CD=4,AD=2BC=l0.

(1)证明：NAEZ)是锐角；

(2)若AE=10,求二面角A-BE-C的余弦值.

【答案】

(I)证明见解析

g6V109

109

【分析】

(1)延长AB,DC交于点M,结合已知条件利用线面垂直判定定理和性质证明廊_1平

面ABCD,然后利用勾股定理和余弦定理即可证明；

(2)结合已知条件建立空间直角坐标系，分别求出平面BCE和平面ABE的法向量，然

后利用二面角的空间向量公式求解即可.

(1)

延长AB、QC交于点M,连接EM,如下图所示:

因为BC〃AO,AD=2BC=]Q,所以8C为AAW的中位线,

从而AB=BM=3,CD=CM=4,BC=5,

所以BA^+C”=8C，故C£)_LAB,

又因为A8_LCE,AE1CD,CEcCD=C,ABC)AE=A,

所以平面CD,平面40E,

因为MEu平面。EM,MEu平面

所以ME_LAB,MEVCD,

因为4?nC£>=M,所以ME,平面ABC。,

令ME=/>0,AE-=AM2+ME2=36+t2,DE2=DM2+ME2=(A+t2,

所以cosNAEO=----------->0,

2AEDEAEDE

所以NA££>是锐角.

(2)

以M为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系:

由题意可知，A(0,-6,0),B(0,-3,0),£(0,0,8),C(-4,0,0),0(-8,0,0),M(0,0,0),

故3〉=(-4,3,0)>BE=(0,3,8)-CD=(T,0,0),

设平面BCE的法向量为〃=(如必,zj，

BCn=OJ-4x,+3j>,=0

BEn=Q[3y+8Z|=0,令X=8,则%=6,A=-3,

从而n=(6,8,-3),

因为CD_L平面4WE,所以0,0)是平面ABE的一个法向量，

由图可知，二面角A—BE—C为钝二面角6，

—>—>

I，\n-CD\6V109

故cos<Q9=_+一

\n\\CD\109

从而二面角A-BE-C的余弦值一5场.

109

22

20.(本题12分)已知椭圆C：；+g=l(a>〃>0)的左、右焦点分别为6、F2,尸为椭

圆上的一点，△尸耳伤的周长为6,过焦点的弦中最短的弦长为3；椭圆C1的右焦点为抛

物线C/y2=2px的焦点.

(1)求椭圆G与抛物线Cz的方程;

(2)过椭圆G的右顶点。的直线/交抛物线于A、B两点，点。为原点，射线04、

。8分别交椭圆于C、O两点，AOCD的面积为5，以A、C、D、B为顶点的四边形的

面积为邑，问是否存在直线/使得$2=^E?若存在，求出直线/的方程；若不存在，

请说明理由.

【答案】

(1)椭圆的方程反+$=1,抛物线的方程为V=4x

43

(2)存在直线/,方程为x-y_2=0或者x+y-2=0.

【分析】

(1)由焦点三角形周长，通径和椭圆的关系式可求。，瓦。，进而求解G，G；

(2)设/的方程为x=“y+2,设A(X],yJ、8(%,%)、C(玉，为)、。(七，乂)，联立直

线与抛物线方程，得出关于M，%的韦达定理，再通过直线方程联立椭圆方程求

S11OA|.|OB|sinZAOB

出打，兀，结合正弦面积公式之詈=?---------------------进一步化简即可求解.

1-1OC|•|OD|sinZCOD

(1)

由题意得

2a+2c=6

a=2

2b2

—=3,解得,<h=y/3

a

c=l

a~2=bi~2+c"2

,>2

所以椭圆的方程上+汇=1，抛物线的方程为V=4x；

43

（2）

山题意得

直线/的斜率存在且不为0,设直线/的方程为x=my+2,设A（x,,yJ、3®,%）、

C（演,%）、D（x4,y4）,

x=my+2,）

由、）,得y-4M.y-8=0,必+必=4利，必力=-8,

y=41

-\OA\\OB\sm^AOB

f学，.・上八,“用\OA\-\OB\%为13

S'^\OC\\OD\sinZCOD\OC\-\OD\%丫4y3y4

v44

:城=4/•,直线OA的斜率为"=一,即直线Q4的方程为尸一兀,

4

y=——x

y,3x64

22，得£=

dr3y；+64'

J-

[43

3x64

同理可得

3只+64'

3x643x6432x64

_______x_______—__________

3y：+643^+64-48m2+121'

_空

S△A。"__121+48>

9

得ni=±1,

所以存在直线/,方程为x-y-2=0或者x+y-2=0.

71

21.（本题12分）已知函数〃"）=浸-cosx,xe八0,—.

2

（1）当。=一；时，求/（X）的值域;

（2）讨论极值点的个数.

【答案】

7l2

（1）,一1

8

(2)当或时:/(x)无极值点，当一<x<-,时，/(幻有1个极大值

27C27C

点，无极小值点.

【分析】

(1)通过求导判断出了。)的单调性，即可求出/(X)的值域；

(2)对参数。进行讨论，通过讨论每种情况下的单