北京市各区2022年高考数学一模模拟试题分类解析（12）统计概率随机变量及其分布文

十二、统计、概率、随机变量及其分布（必修3、选修2-3）第9题图9．（2022高考模拟文科）某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．，分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则．（填“”、“”或“＝”）．（B）第9题图 A． B． C．＝ D．不能确定11.（2022东城一模文科）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是组．答案：84乙12．（2022丰台一模文科）为了了解学生的视力情况，随机抽查了一批学生的视力，将抽查结果绘制成频率分布直方图（如图所示）．若在内的学生人数是2，则根据图中数据可得被抽查的学生总数是；样本数据在内的频率是．答案:50，12．（2022石景山一模文科）在区间上随机取一实数，则该实数满足不等式的概率为．答案:10.（2022高考仿真文科）在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为______________________.答案：13.（2022高考仿真文科）某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）。所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，由图中数据可知_______，在抽测的100根中，棉花纤维的长度在内的有__________根。答案：5．（2022门头沟一模文科）某高中校三个年级人数见下表：年级高一高二高三人数300300400

通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，现在从答卷中随机抽取一张，恰好是高三学生的答卷的概率是（D）A． B． C． D．13.（2022门头沟一模文科）某公司对下属员工在龙年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如下的直方图，如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有人．答案：89．（2022密云一模文科）某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了95人，则该校的女生人数应是人．答案：76010.（2022西城一模文科）某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间．将测试结果分成组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的个小矩形的面积之比为，那么成绩在的学生人数是_____．答案：5418．（2022高考模拟文科）（本小题满分12分）已知关于的一元二次函数 （Ⅰ）设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率； （Ⅱ）设点是区域内的随机点，记有两个零点,其中一个大于，另一个小于,求事件发生的概率。18．解析：（Ⅰ）∵函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当且………………2分若则，若则若则……4分记函数在区间上是增函数则事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴……6分（Ⅱ）依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，其面积……8分事件构成的区域：由,得交点坐标为………………10分，∴事件发生的概率为……12分16.（2022东城一模文科）（本小题共13分）某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？解：（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为，两个“低碳小区”为…………2分用表示选定的两个小区，，则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个，它们是，，，,,,,,，.…………5分用表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则中的结果有6个，它们是：，,,，,.…………7分故所求概率为.…………8分（II）由图1可知月碳排放量不超过千克的成为“低碳族”.…………10分由图2可知，三个月后的低碳族的比例为，…………12分所以三个月后小区达到了“低碳小区”标准.…………13分16.（2022丰台一模文科）（本小题共13分）对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下：教师教龄5年以下5至10年10至20年20年以上教师人数8103018经常使用信息技术实施教学的人数24104（Ⅰ）求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率；（Ⅱ）在教龄10年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？解：（Ⅰ）该校教师人数为8+10+30+18=66，该校经常使用信息技术实施教学的教师人数为2+4+10+4=20．……2分设“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”为事件A，……3分则，……5分．……6分所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率是．（Ⅱ）设经常使用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为（i=1，2），教龄在5至10年的教师为（j=1，2，3，4），那么任选2人的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，共15个．……9分设“任选2人中恰有一人的教龄在5年以下”为事件B，……10分包括的基本事件为，，，，，，，共8个，……11分则．……13分所以恰有一人教龄在5年以下的概率是．（2022石景山一模文科）（本小题满分13分）我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如下表：分组频数频率合计分数频率/组距306090120150（Ⅰ）求出表中、、、的值，并根据表中所给数据在下面给出的分数频率/组距306090120150（Ⅱ）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩

在分以上的人数；（Ⅲ）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求

被选中2人分数不超过30分的概率．解：（I）由频率分布表得,…………1分所以，…………2分，．…………3分分数分数频率/组距306090120150…………5分（Ⅱ）由题意知，全区90分以上学生估计为人．………7分

（III）设考试成绩在内的3人分别为A、B、C；考试成绩在内的3人分别为a、b、c，从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有：

(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，

(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，

(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)共有15个.…………10分设抽取的2人的分数均不大于30分为事件D．则事件D含有3个结果：(A，B)，(A，C)，(B，C)…………11分∴．…………13分16.（2022朝阳一模文科）（本题满分13分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．2530354045253035404550年龄O区间[25，30)[30，35)[35，40)[40，45)[45，50]人数5050150(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．解：(Ⅰ)由题设可知，， .……………2分(Ⅱ)因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．………………6分(Ⅲ)设第1组的1位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从六位同学中抽两位同学有：共种可能．…………10分其中2人年龄都不在第3组的有：共1种可能，………………12分所以至少有1人年龄在第3组的概率为．………………13分16.（2022东城示范校二模文）（本小题满分13分） 《国家中长期教育改革和发展规划纲要》下设，，三个工作组，其分别有组员36，36，18人，现在意见稿已公布，并向社会公开征求意见，为搜集所征求的意见，拟采用分层抽样的方法从，，三个工作小组抽取5名工作人员来完成.（Ⅰ）求从三个工作组分别抽取的人数；（Ⅱ）搜集意见结束后，若从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，求这两名工作人员没有组工作人员的概率.解：（I）三个工作组的总人数为36+36+18=90，样本容量与总体中个体数的比为所以从三个工作组分别抽取的人数为2，2，1.------------------5分（II）设为从组抽得的2名工作人员，为从组抽得的工作人员，为从组抽得的工作人员，若从这5名工作人员中随机抽取2名，其所以可能的结果是： ,共有10种，--------------------------9分其中没有组工作人员的结果是：有3种，--------------------------11分所以从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，此时这两名工作人员中没有A组工作人员的概率。-------------------------13分16.（2022房山一模文科）（本小题共13分）某中学高三（1）班有男同学30名，女同学10名，老师按照分层抽样的方法组建了一个人的校本教材自学实验小组．（Ⅰ）求小组中男、女同学的人数；（Ⅱ）从这个小组中先后选出2名同学进行测试，求选出的2名同学中恰有一名女同学的概率.解：（Ⅰ）设小组中有名男同学，则，所以小组中男、女同学的人数分别为3,1.…………………5分（Ⅱ）把名男同学和名女同学分别记为，则选取两名同学的基本事件有，，，，，，，，，，共种，其中有一名女同学的基本事件有种,所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为……………13分16．（2022海淀一模文科）（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.解：（Ⅰ）由直方图可得.所以.………6分（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：.………9分因为.所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.………13分18.（2022门头沟一模文科）（本小题满分13分）甲、乙两名考生在填报志愿的时候都选中了A、B、C、D四所需要面试的院校，但是它们的面试安排在同一时间了。因此甲、乙只能在这四所院校中选择一个做志愿，假设每个院校被选择的机率相等，试求：（=1\*ROMANI）甲乙选择同一所院校的概率；（=2\*ROMANII）院校A、B至少有一所被选择的概率；（=3\*ROMANIII）院校A没有被选择的概率．解：由题意，该实验的基本事件有 （甲A，乙A），（甲A，乙B），（甲A，乙C），（甲A，乙D）， （甲B，乙A），（甲B，乙B），（甲B，乙C），（甲B，乙D）， （甲C，乙A），（甲C，乙B），（甲C，乙C），（甲C，乙D）， （甲D，乙A），（甲D，乙B），（甲D，乙C），（甲D，乙D） 共16种 ……4分（=1\*ROMANI）设“甲乙选择同一所院校”为事件E，则事件E包含4个基本事件，概率P(E)= ……7分（=2\*ROMANII）设“院校A、B至少有一所被选择”为事件F，则事件F包含12个基本事件，概率P(F)= ……10分（=3\*ROMANIII）设“院校A没有被选择”为事件G，则事件G包含9个基本事件，概率P(G)= ……13分16．（2022密云一模文科）（本小题满分13分）某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)分别求第3，4，5组的频率；(Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．7580859095100分数EQ\F(频率,组距)解：(Ⅰ)由题意，第组的频率为，第组的频率为，第组的频率为．……3分(Ⅱ)第组的人数为，第组的人数为，第组的人数为．因为第，，组共有名学生，所以利用分层抽样的方法在名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为：第组：，第组：，第组：．所以第，，组分别抽取人，人，人．……8分(Ⅲ)设第组的名学生为，，，第组的名学生为，，第组的名学生为．则从六名学生中抽两名学生有：共种可能．其中第组的名学生为，至少有一名学生入选的有：共种可能，所以第组至少有一名学生被甲考官面试的概率为．…………13分17.（2022师大附文科）已知甲袋中有1只白球，2只红球；乙袋中有2只白