2014级高数下ch6 6方向导数与梯度

第六节

方向导数与梯度一、问题的提出二、方向导数的定义三、梯度的概念四、物理意义(1,1)(5,1)(5,3)(1,3)实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向（即梯度负方向）爬行．一、问题的提出一、问题的提出回顾函数u

f

(

x,

y,

z)

在点P(

x,

y,

z)

处关于x,y,z

的偏导数定义：xx

f

f

(x

f

(x,

y,

z)

lim

x

0

lim

x

0

xx,

y,

z)

f

(x,

y,

z)

xyy

f

f

(

x,

y

y,

z)

f

(

x,

y,

z)f

(

x,

y,

z)

lim

y

0

lim

y

0

x

yzz

z

0

z

0

f

f

(

x,

y,

z

z

)

f

(

x,

y,

z

)f

(

x,

y,

z

)

lim

lim

x

zfx

,fy

,fz

分别是沿x

轴,y

轴及z

轴正向的变化率.讨论函数

u

f

(

x,

y,

z)

在一点

P沿任意方向的变化率问题就是方向导数问题．

lP(x,

y,

z)二、方向导数定义

0

l

l

0lim

f

lim

f

(

x

x,

y

y,

z

z)

f

(

x,

y,

z)记

作

f

x

x

0

x

x

0

xQ(x

x,

y

y,z

z)

f

lim

x

f

lim

f

(

x

x,

y,

z

)

f

(

x,

y,

z

)

为沿

x

轴正向的变化率则称

f

为函数在点

P

处沿方向

l

的方向导数

(变化率)若函数f

(x,y,z

)在点P

(x,y,z

)处有定义,

且沿方向

l(方向角为

,

,

),存在下列极限:(任取)P(x,

y,

z)定理:

若函数

f

(

x,

y,

z)

在点

P(

x,

y,

z)

处可微,

l

0

f

f

cos

f

cos

f

cos

l

x

y

z

f

f

x

f

y

f

z

o

(

)

x

y

z

则函数在该点沿任意方向l

的方向导数存在,且有

o

(

)证明:

由函数

f

(x,

y,

z)

在点

P

可微

,

得lQ故

x

y

z

f

lim

f

f

cos

f

cos

f

cos

24为

,

)

的方向导数可定义为对于二元函数f

(x,y),在点P(x,y)处沿方向l

(方向角

0

f

lim

f

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y)

lx

y

l若f

(

x,

y)可微,则

f

f

(

x,

y)

cos

f

(

x,

y)

cos

Plxyo2特别:

•

当

l

与

x

轴同向

0

,

时,

有2当

l与

x轴反向

,

时,

有

f

f

l

x

f

f

l

xl(如作业P23一1)例

1:

求函数z

xe2

y

在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,

1)的方向的方向导数.解1122),,

与

l

同方向的单位向量为

l

o

PQo

(

l

这里方向即为PQ

(1,

1),(1,0)

e2

y

1;

x

(1,0)

z(1,0)(1,0)

2

xe2

y

2,

y

z三、梯度方向导数公式

l

x

f

f

cos

f

cos

f

cos

令向量l

0

(cos

,

cos

,

cos

)

y

z

f

f

f

G

x

,

y

,

z

这说明模

:

f

的方向导数的最大值当l

0

与G

方向一致时,方向导数(变化率)取最大值：G

:

lmax

f

G方向：f

的方向导数取得最大值的方向.(其中函数f

可微)1.

定义向量

G

称为函数

f

(P)

在点

P

处的梯度

(gradient),

记作

grad

f

,

或

f即

f

f

f

x

,

y

,

z

f

f

f

x

i

y

j

z

kgrad

f同样可定义二元函数在点P(x,y)处的梯度

x

i

y

j

x

y

grad

f

f

f

f

,

f

方向：f

的方向导数取得最大值的方向模

:

f

的方向导数的最大值说明:①

f②可微函数在某点处沿着梯度的方向具有最大增长率,最大增长率等于梯度的模.说明:

③

函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.l设

e

(cos

,cos

)是方向

l

上的单位向量，x

y

lx

y

f

f

cos

f

cos

(

f

,

f

)

(cos

,cos

)l

grad

f

(

x,

y)

e

l其中

为

grad

f

(

x,

y)

与

e

的夹角.2

l当

0

时

f

有最大值.

当

时

f

=0(变化最慢）(即沿着与梯度相垂直的方向)

l当

时呢

实例：书P96

习题5el

|

grad

f

(

x,

y)

|

cos

Pr

j

f

(

x,

y)例2：设z

f

(x,y)

xe2

y(1)求f

在点P（1，0）处沿从P到Q（2，

1）方向的变化率。（2）f

在点P（1，0）处沿什么方向具有最大的增长率，最大增长率是多少？(即方向导数见例1)1

12

2

1

1

1

2

2

2(1,0)(1,0)(1,0)2

y2

yPQ,

)

f

(e

,

2xe,

)=

.

l解：（1）PQ

(1,

1),

PQo

(

f

PQo

)

PQo

(1,

2)

((2)沿点P的梯度方向

（f

1，0）

(1,

2)具有最大增长率

（f

1，0）＝

52.

梯度的基本运算公式(2)

grad

(C

u)

C

grad

u(4)

grad

(

uv

)

u

grad

v

v

grad

uv2u

v

grad

u

u

grad

v(5)

grad( )

v即

书P96

习题7即

作业P23

二2四、物理意义函数(物理量的分布)场可微函数

f

(P)(势函数)数量场(数性函数)如:温度场等向量场(矢性函数)(参见书P94)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.x

2

y

2

z

2思考:已知场u(

x,y,

z

)

a

2

b

2

,则u沿场的梯度c

2方向的方向导数是(

2

x

)2a2gradu

(

2

y

)2

(

2z

)2b2

c2如:力场,速度场等梯度场grad

f

(P

)(有势场) (向量场)应用实例2

2x2

y2

例3：设一座山峰高度可由函数z

100

表示,若从点P(2,4,90)处往上爬山,问沿哪个方向可最快到达山顶?若从点P

(2,4,90)处下山,问沿哪个方向可最快到达山底?概念要点方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）梯度的概念（注意梯度是一个向量）方向导数与梯度的关系梯度的方向就是函数f

(x,y)在这点增长最快的方向.内容小结2.

方向导数三元函数沿方向l

(方向角为

,

,

)的方向导数为

f

f

cos

f

cos

f

cos

l

x

y二元函数 在点,

)的方向导数为

f

f

cos

f

cos

l

x

y

z沿方向l

(方向角为(其中函数f

可微)在点梯度三元函数在点处的梯度为grad

f

f

,

f

,

f

二元函数

x

y

z

在点 处的梯度为grad

f

(

f

x

(x,

y)

,

f

y

(x,

y))方向导数存在偏导数存在

l4.

关系可微

f

grad

f

l

0梯度在方向l

上的投影.连续x2讨论函数z

f

(

x,

y)

y2

在(0,0)思考题

x

x

0

x

(

0,0)

x点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？思考题解答

z

lim

f

(

x,0)

f

(0,0)

lim

|

x

|.

x

0

y

(0,0)同理：

z

y

lim

|

y

|

y

0故两个偏导数均不存在.

沿任意方向l

{

x,

y,

z}的方向导数,

(0,0)

z

lim

f

(

x,

y)

f

(0,0)

l

02

2

1

lim(

x)

(

y)(

x)2

(

y)2

0故沿任意方向的方向导数均存在且相等.x2

y2

z2课后思考1:

设

u(

x,

y,

z)

a2

b2

c2(a,b,c

0)问

常数a,b,c满足什么关系才能使在点P(x,y,z)(x2

y2

z2

0)处沿OP方向的方向导数最大?(09年B卷三2)附注：(1)

仅由函数在一点可偏导，未必可推出函数在例如：f

(x,y)

(xy)3

,(

0,0)t

0fx(0,0)

0

,

fy(0,0)

0,则l

o

(a,

b)

但1(t

2ab)3tlimt

0

f

lim

f

(ta,

tb)

f

(0,

0)

l

t

.此例同时也说明函数在一点连续也未必能推出函数在该点处沿各方向的方向导数都存在.0

0t

0t

0

t

cos

,

y0

t

cos

)

f

(

x0

,

y0

)

lim

f

lim

f

(

x0

f

l(

x

，y

)

l

PP

=(

x,

y)

(t

cos

,

t

cos

)

l

o

(cos

,

cos

)

(参考)

该点处沿各方向的方向导数存在.1(

0,0

)

f

l

在点(0,

0)

处沿任一方向l

0, (

el

(a,

b), |

el

|

1)的方向导数都存在,(2)函数在一点处沿各方向的方向导数都存在，

042x

2

y2

0x

2

y2

0x

yx

y2也未必在该点处连续.例如：f

(x,y)

b

2

,

a

0

a,

a

0

0但f

(x,y)在点(0,0)处不连续.(即不可微)可微方向导数存在 偏导数存在连续一、填空题:1

函数z

x

2

y

2

在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2

3)的方向的方向导数为.2

设

f

(

x,

y,

z)

x

2

2

y

2

3z

2