数学微专题27之14-三次函数的图像与性质

三次函数的图像和性质设三次函数为（、、、且），其基本性质有：性质一：定义域为R；性质二：值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值；性质三：单调性和图象。当a>0时，先看二次函数f′（x）=3ax2+2bx+c，Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）当Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）>0，即b2-3ac>0时，f′（x）与x轴有两个交点，，f（x）形成三个单点区间和两个极值点，，图像如图1,2：当Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）=0，即b2-3ac=0时，f′（x）与x轴有两个等根，f（x）没有极值点，图像如图3,4：图1图2图3图4图5图6当Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）＜0，即b2-3ac＜0时，f′（x）与x轴没有交点，f（x）没有极值点，图像如图5,6：当a＜0时，先看二次函数f′（x）=3ax2+2bx+c，Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）当Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）>0，即b2-3ac>0时，f′（x）与x轴有两个交点，，f（x）形成三个单点区间和两个极值点，，图像如图7,8：图7图8图9图10图11图12当Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）=0，即b2-3ac=0时，f′（x）与x轴有两个等根，f（x）没有极值点，图像如图9,10：当Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）＜0，即b2-3ac＜0时，f′（x）与x轴没有交点，f（x）没有极值点，图像如图11，12：性质四：三次方程f（x）=0的实根个数对于三次函数（、、、且），其导数为f′（x）=3ax2+2bx+c，当b2-3ac>0，其导数f′（x）=0有两个解，，原方程有两个极值。当，原方程有且只有一个实根，图像如图13，14；x1xx1x2xx1x2x图13图14图15图16图17当，则方程有2个实根，图像如图15，16；当，则方程有三个实根，图像如图17；性质五：奇偶性对于三次函数（、、、且）f（x）不可能为偶函数；当且仅当时是奇函数；性质六：对称性结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；结论二：其导函数为对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；结论三：是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称.结论四：若图象关于直线对称，则图象关于点对称。结论五：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数。性质七：三次函数f（x）图象的切线条数(1)由三次函数的中心对称性可知：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；(2)过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条；性质八：切割线性质（1）设P是f(x)上任意一点(非对称中心)，过点P作函数f(x)图象的一条割线AB与一条切线PT(P点不为切点),A,B,T均在f(x)的图象上，则T点的横坐标平分A.B点的横坐标，如图18：图18图19图20图21推论1：设P是f(x)上任意一点（非对称中心)，过点P作函数f(x)图象的两条切线PM，PN，切点分别为M、P，则M点的横坐标平分P、N的横坐标，如图19：推论2：设f(x)的极大值为M，当成f(x)=M的两根为，，则区间被和极小值点三等分，类似的，对极小值点m也有此结论，如图20：性质九：切线条数一般地，如图，过三次函数f(x)图象的对称中心作切线L,则坐标平面被切线L和函数f（x）的图象分割为四个区域，有以下结论：过区域1、Ⅲ内的点作y=f(x)的切线，有且仅有3条；过区域II、IV内的点以及对称中心作y=f(x)的切线，有且仅有1条；过切线L或函数f(x)图象（除去对称中心）上的点作y=f(x)的切线，有且仅有2条。微专题全套27讲见：数学微专题27之1-高考热点之证明数列不等式数学微专题27之2-高考数学微专题立体几何中关于折叠的所有问题数学微专题27之3-关于三角函数最大值问题数学微专题27之4-函数放缩公式集锦数学微专题27之5-函数视角下数列的单调性与最值数学微专题27之6-衡水中学内部数学错题集数学微专题27之7-极化恒等式在向量问题中的应用数学微专题27之8-解析策略-解析几何中的数与形数学微专题27之9-精准培优专练圆锥曲线离心率数学微专题27之10-解析几何中斜率之积为定值的问题探究数学微专题27之11-立体几何求角的三角函数值（非空间向量）数学微专题27之12-平面解析几何：易错点与二级结论数学微专题27之13-求数列通项公式的11种方法数学微专题27之14-三次函数的图像与性质数学微专题27之15-数列求和的8种常用方法(最全)数学微专题27之16-数学手册数学微专题27之17-双变量的“任意性”与“存在性”五种题型的解题方法数学微专题27之18-同构思想在指对型函数中的应用数学微专题27之19-外接球的几种求法数学微专题27之20-阿波罗尼斯圆专题经典讲解数学微专题27之21-二轮复习专题求圆锥曲线的离心率数