数据标准化方法

数据标准化方法问题1：将一个人的体重和身高相加在一起有无什么意义？答：量纲(就是单位)不同的量相加是没有意义的。不加处理就将两个不同量纲的量相加这是数学建模的大忌！问题2：如何将一个人的体重G和身高H这两个指标综合为一个指标用以评价一个人身材？答：通常考虑加法模型和乘法模型。乘法模型在这里不太适合，故考虑加法模型，一般采用加权组合的方式，即P=wG+wH，这里w+w=1,但是这样就犯了一个严重的错误。1212因此需要先对G,H进行预处理〜无量纲化，也就是数据标准化方法。数据标准化方法主要有以下三种：规范化方法对序列x,x,・・・，x进行变换：12nx-min{x}y—1Wj§njimax{x}一min{x}1§j§nj1§j§nj则新序列y,y,・・・，ye[0,1]且无量纲。一般的数据需要时都可以考虑先进行规范化处TOC\o"1-5"\h\z12n理。正规化方法对序列x,x,・・・,x进行变换：12ny—，这里；—-£x,s——£(x一；)2{sn°n一1：—1i—1则新序列y,y,・・・,y的均值为0，而方差为1，且无量纲。12n归一化方法对正项序列x,x,・・・,x进行变换：12nxy=—i£nxi—1则新序列y,则新序列y,y,・・・,12ye[0,1]且无量纲，并且显然有£ny—1。i归一化方法在确定权重时经常用到。针对实际情况，也可能有其他一些量化方法，或者要综合使用多种方法，总之最后的结果都是无量纲化。

例1：DVD分发问题中满意度的量化现有20种dvd要分发给100个会员,规定如果要向某人发放DVD,则一次发给3张，问如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度?DVD编号DVD现有数量C0001C0002会员偏C0003DVD编号DVD现有数量C0001C0002会员偏C0003好C0004C0005D001D002D003D004D005122108002109D00640000007060000000450000注：表中的数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的订单中。解：我们考虑三种方法进行变换，然后对它们进行比较。利用公式f(x)=(11-x)/101利用公式f(x)=1/x2利用模糊数学中的隶属函数的概念，选取合适的函数，对满意度进行量化f(x)=aln(11-x)+b,1<x<10，这里a,b为待定常数3令f(1)=1,f(10)=0.05代入可得a,b。33f(f(x)=0.41258ln(11-x)+0.05,1<x<103结论：方法1可行；方法2不太可取；方法3可行。注意：无论采用哪一种方法，对每一个会员的满度度均需要作归一化处理，使得每一个会员对选中的DVD的满意度之和等于1，(算出的每人的满意度或综合满意度都应该介于0-1之间)。

例2：长江水质的定量综合评价（2005年赛题）表是《地表水环境质量标准》，给出了水质类别的分类标准。序号W准值项目、\I类II类皿类W类V类劣V类1溶解氧（DO）三7.5（或饱和率90%）653202高锰酸盐指数（CODMn）W2461015oo3氨氮（NH3-NW0.150.51.01.52.0oo4PH值（无量纲）69表给出了17个观测点的水质情况。序号点位名称断面情况主要监测项目（单位:mg/L）水质类别pH*DOCODMnNH3-N本月1四川攀枝花干流7.66.80.20.1II2重庆朱沱干流（川-渝省界）7.638.412.80.34II3湖北宜昌南津关干流（三峡水库出口）7.077.815.80.55III4湖南岳阳城陵矶干流7.586.472.90.34II5江西九江河西水干流（鄂-赣省界）7.346.191.70.13II6安徽安庆皖河口干流7.526.543.20.22II7江苏南京林山干流（皖-苏省界）7.786.93.10.11II8四川乐山岷江大岷江（与大渡河汇合7.664.25.80.53IV9四川宜宾凉姜沟岷江（入长江前）8.017.632.40.25II10四川泸州沱江二沱江（入长江前）7.634.023.61.06IV11湖北丹江口胡家丹江口水库（库体）8.6310.21.80.1I12湖南长沙新港湘江（洞庭湖入口）7.426.454.30.99III13湖南岳阳岳阳楼洞庭湖出口7.736.261.40.21II14湖北武汉宗关汉江（入长江前）86.432.40.17II15江西南昌滁槎赣江（鄱阳湖入口）6.645.181.10.92III16江西九江蛤蟆石鄱阳湖出口7.286.872.70.15II17江苏扬州三江营夹江（南水北调取水7.296.91.60.15II分析水质的类别的确定可知口）它是由首要污染物决定的。请根据以上数据对长江当前的水质情况做出定量的综合评价。解：1、数据的标准化处理溶解氧是极大型指标（指标越大，水质越好），PH值是居中型指标，其余两种是极小型指标，统一进行极小型处理。1TOC\o"1-5"\h\z（1）溶解氧：P*=——,i=1,2,・・.，17（共有17个观测点）i1Pi1(2)PH值：P*=P一7,i=1,2,.・・,17i4i4然后对P*,P*,P*,P*进行规范化处理，即:i1i2i3i4P*一minx=~ji,i=1,2,・.・,17,j=1,2,3,4ijmax一miniiTOC\o"1-5"\h\z得到规范化矩阵X=（X），这里xG[0,1]且无量纲。i17X4ij2、确定四种指标的权重（变权函数的确定）原则