空间向量运算的坐标表示(有答案)

姓名年级性别学校学科教师上课日期上课时间课题15空间向量运算的坐标表示知识点1•设｛i,j,k｝为单位正交基底，即i=(l,O,O),j=(0丄0),k=(0,0,l),在此基底下，a=(ar，a2,a3),b=(b「b2,b3),即a=a1i+a2j+a3k,b=b]i+b2j+b3k,根据向量线性运数与数量积运算的定义及运算律，可得出a±b,久aa・b,alb,a〃b,lai及cos〈a,b〉的坐标表示.空间向量的线性运算及数量积的坐标表示设a=(a],巧，屯),b=(b],b2,b3)，则:②a—b= ④②a—b= ④a•b= ③入a= ；(2)向量平行、垂直，向量的模、夹角的坐标表示：设a=(a],a2，a3),b=(b「b2，b3)，贝V若a〃b(bH0)，则 若a丄b,则a*b=a1b1+a2b2+a3b3=0.ai=^/oa= ；④cos〈a,b〉a・b a®+a2b④cos〈a,b〉lallbl 寸a?+a2+a3.寸b?+b§+b22.向量坐标与其起点、终点坐标的关系将i、、、k的起点移到同一点O,以i、j、k的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O—xyz.则对空间任一点P,相对于原点确定了一个向量OP,设OP=xi+yj+zk,则(x,y,z)也就是点P的坐标，即以原点为起点的向量的坐标等于向量 的坐标.—>—>—>设A(x1，y1，Z])、B(x2,y2，z2),贝VAB=OB—OA= .一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的 坐标减去 坐标.注意：向量的坐标与点的坐标表示方法不同，a=(x,y,z)、A(x,y,z).类型一：向量运算的坐标表示例1、已知a=(2,—1,3)、b=(0,—1,2),求：(1)a+b； (2)2a—3b； (3)a-b; (4)(a+b)・(a—b).[解析](1)a+b=(2,—1,3)+(0,—1,2)=(2+0,—1—1,3+2)=(2,—2,5).2a-3b=(4,-2,6)-(0,-3,6)=(4,1,0).a-b=(2,—1,3)-(0,—1,2)=2X0+(—1)X(—1)+3X2=7.(a+b)-(a—b)=a2—b2=4+1+9—0—1—4=9.变式：1、已知向量a=(2,—3,1)、b=(2,0,3)、c=(0,0,2),则:(1)a•(b+c)= ； (2)(a+2b)•(a—2b)= .

［答案］9—38 ［解析］(l)b+c=(2,0,5),a・(b+c)=(2,—3,l)(2,0,5)=9.2、lai=14,lbl=\：13,(a+2b)・(a—2b)=lal2—4lbl2=—38.TOC\o"1-5"\h\z设M(5,—1,2)、A(4,2,—1)，若OM=AB,则点B应为( )A.(—1,3,—3) B.(9,1,1) C.(1,—3,3) D.(—9,—1,—1)—> —>—> —> —> —> —>［解析］^OM=AB=OB—OA, .•.OB=OM+OA=(9,1,1).故选B.2k已知a=(2,—3,0)、b=(k,0,3),〈a,b〉=120°，则2k［解析］Ta-b=2k,lal=\：!3lbl=£kT9,.・.cos120°=帀爲苻9,Ak=—?39.6.(2015•山东临沂市高二期末测试)已知a=(2,—1,3)、b=(—l,4,—2)、c=(7,7，入)，若a、b、c共6.面，则实数入= •|2x—y=7［答案］9 懈析］若a、b、c共面，.：c=xa+yb, —x+4y=7，.寫=9.、3x——2y=A类型二、向量平行与垂直的坐标表示例二、设向量a=(3,5,—4),b=(2,1,8),确定儿“的关系，使加+妙与z轴垂直.［解析］由(Aa+〃b)・(0,0,1)=(3久+2〃，5久+〃，一4久+8〃)・(0,0,1)=—4久+8〃=0知久=2〃，只要久，“满足久=2〃即可使加+妙与z轴垂直.变式：1、若向量a=(—l,O,l)，向量b=(2,0,k),且满足a〃b，则k等于()A.1 B.—1C.2D.—2f1TOC\o"1-5"\h\z［—1=2A A=—£［答案］D ［解析］•.•a〃b,.・.a=〃，.・J ，.貼2i tk=—22、设a=(1,5,—1)、b=(—2,3,5)，若(ka+b)〃(a—3b),则k= ［解析］ka+b=(k—2,5k+3,—k+5),a—3b=(7,—4,—16).k—25k+3 —1+5 1因为(ka+b)〃(a—3b),所以分二5—芋，解得k=—|.类型三：向量的夹角与长度例三、在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是Dp、BD的中点，G在棱CD上,且CG=1CD,H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题.(1)求证：EF丄B1C； ⑵求EF与C1G所成的角的余弦值.1 11 3［如图所示，建立空间直角坐标系，则有E(0,0,2)、F(2,2,0)、C(0，1，0)、C］(0,1,1)、B］(1,1,1,)、G(0,J,0).(1)ef=(2,2,0)—(0,0,5=(2,2，—2),B1C=(0,1,0)—(1,1,1)=(—1,0,—1).:.EF・B1C=|x（-1）+2xO+（-2）x（-1）=Q,AEF丄B]C,即EF丄B&.Ih>、Ih>、脏二-Cl⑵vc1g=（o,4,0）—（0,1,1）=（0,—4，—1）..・.〃1=乎.ff r又EF.c1g=|xo+2x（—4）+（—|）X（—1）=8,IEFI—23?-—一一EF・CG回

..cosvEF,CG>= 1~―.1ff17IEFI・IC]GI即异面直线EF与C1G所成角的余弦值变式：1、正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱D］D的中点，P、Q分别为线段B®.BD上的点，且3B1P=D1P,BD—4DQ，求证：PQ丄AE.—f—f—f［证明］如图所示，以D为原点，DA、DC、DD］的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1,则A(1,0,0)、E(0,0,!),q(4，扌，0)、p(4，J，1)，.•.AE=.•.AE=（-1,0,2），QP=（2，2,1）.TAE・QP=（—1,0,2）.（2,21）=0，.AE丄QP,即AE丄PQ.2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为Af】、BB1的中点，则cosZEAF= ,EF= .［答案5¥［解析］以A为原点AB>AD>AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，设正方体棱长为1,则E0,ff 丄/.cosZEAF=2,1E0,ff 丄/.cosZEAF=2,1..cos〈AE,AF〉AE・AF 2_2=ff=^X石=5'X*IAEIIAFI2 2EF=IEFI例4、已知四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD,底面ABCD为菱形，ZABC=60°,AB=2P4,E是线段BC中点. ⑴判断PE与AD关系； (2)在线段PD上是否存在一点F,使得CF〃平面PAE,说明你的理由.［正解］•・•四边形ABCD是ZABC=60。的菱形，E为边BC的中点，:.AE丄BC,・：AE丄AD,又PA丄平面ABCD,.•・PA丄AE,PA丄AD,以AD、AE、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，设AB=2,则B(—1,逅,0)、E(0,.'3,0)、C(1,.'3,0)、D(2,0,0)、P(0,0,1).(2)假设线段(2)假设线段PD存在一点F,使直线CF〃平面PAE,则CF丄面PAD,.CF丄AD,设PF=XPD=(2X,0,—久)(0W久W1)，则CF=PF—PC=(2A—1,—i3,—A+1),则CF・AD=(2A—1,^3，—久+1)・(2,0,0)=4久一2=0,解得久所以当F为线段PD的中点时,直线CF〃平面PAE.课后练习：一、选择题1.已知A(3,—2,4)、B(0,5,—1)，若OC=§AB,则C的坐标是( )A.(2,143，B.(A.(2,143，B.(—2,¥，-¥)C.(2,3，D.(—2,14¥)［答案］B［解析］vAb=(-3,7,-5),AOC=|(-3,7,-5)=(-2,¥，—故选B.2.已知空间四点A(4,1,3)、B(2,3,1)、C(3,7,—5)、D(x,—1,3)共面，则x的值为( )A.4 B.1C.10 D.11［答案］D［解析］Ab=(-2,2,-2),Ac=(-1,6,-8),AD=(x-4,-2,0),•.•a、b、c、d共面，.:AB、AC、AD共面，存在久、〃，使AD=aaB+〃AC,x—4=—2久一“， 2=—4,即(x—4,—2,0)=(—22—“，22+6〃，一22—8〃)，.：<—2=22+6〃， <^=1,、0=—22—8〃. 、x=11.3.已知a=(1,2,—y)、b=(x,1,2)，且(a+2b)〃(2a—b)，贝肚 )y=1C.x=y=1C.x=2,D.x=1,y=—1［答案］B［解析］a+2b=(2x+1,4,4—y),2a—b=(2—x,3,—2y—2),T(a+2b)〃(2a—b),2x+1=A(2—x),<4=3久，^4—y=(—2y—2)A.(2015・河南郑州市高二期末测试)已知a=(2,4,x)、b=(2,y,2)，若lal=6,a丄b,则x+y的值是( )A.—3或1 B.3或一1 C.-3 D.1［答案］A［解析］*/lal=6,.la12=36,..4+16+x2=36,..x2=16,x=±4.又Ta丄b,：.a・b=4+4y+2x=0,..x+2y+2=0.当x=4时，y=—3，当x=—4时，y=1..x+y=1或一3.已知a=(x,2,0)、b=(3,2—x,x),且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是()A.x<—4 B.—4<x<0 C.0<x<4 D.x>4［答案］A［解析］•:a、b的夹角为钝角，.a・b<0,即3x+2(2—x)+0・x=4+x<0.3=Ax,/.x<—4.又当夹角为n时，存在久<0,使b=Aa,.<2—x=2久， 此方程组无解，因此选A.、x=0.TOC\o"1-5"\h\z已知向量a=(1,2,3)、b=(—2,—4,—6),lcl=,.'14，若(a+b)・c=7，则a与c的夹角为( )A.30° B.60° C.120° D.150°［答案］C［解析］a+b=(—1,—2,—3)=—a,故(a+b)・c=—a・c=7，得a・c=—7, ac 1而lal=「12+22+32=：$14, 所以cos〈a,小=0^=—2，〈a，c〉=120°.已知A(1,2,3)、B(2,1,2)、C(1,1,2),O为坐标原点，点D在直线OC上运动，则当DA•庞取最小值时,一 444 848 448 884点d的坐标为( ) a. §3，3)b.(3，3，3 c.(亍，3)d.(3, 3，3)［答案］C ［解析］点D在直线OC上运动，因而可设0D=(a,a,2a)、DA=(1—A,2—A,3—2a)、DB=(2—a,1—a,2—2a),DA・DB=(1—a)(2—a)+(2—a)(1—a)+(3—2a)(2—2a)=6a2—16a+10,所以A=g时DA・DB最2一448小为一3此时0D=q,3，3)，故选c.二、填空题TOC\o"1-5"\h\z8.(2015・北京西城区高二期末测试)空间向量a=(—1,1,—2)、b=(1,—2,—1)、n=(x,y,—2)，且n〃b，贝卩a•n= .X y —2［答案］—2［解析］：n〃b,.：1=一2=1=2,.x=2,y=—4...n=(2,—4,—2)..：a・n=—2—4+4=—2.9.A4BC的三个顶点坐标分别为A(0,0,迈)、B(—¥，2寸2)、C(T,0,寸2),贝V角A的大小为 .I— —>—> 2 j~［答案］30°［解析］AB=(— ，2，0)，AC=(—1,0,0).则cosA=挈f=£7=¥，故角A的大小为30°.lABl^lACl1 1三、解答题

已知点A(2,3,—1)、B(8,—2,4)、C(3,0,5)，是否存在实数x,使AB与AB+xAC垂直？ ［解析］AB=(6,—5,5),AC=(1,—3,6),AB+xAC=(6+x,-5-3x,5+6x),VAB丄(AB+xAC).：6(6+x)—5(—5—3x)+5(5+6x)=0,.：x=—石，