安徽省亳州市高二上学期期末数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年安徽省亳州市高二（上）期末数学试卷（理科）一.选择题(每题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一下,是符合题目要求的。）1．在等比数列｛an}中，已知a7•a19=8，则a3•a23=（）A．6 B．7 C．8 D．92．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，已知a=4,B=60°，C=75°，则b=（）A．2 B．2 C．2 D．3．设非零实数a、b，则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的(）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则2m﹣n的值为（）A． B．6 C． D．95．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则点A1到平面B1AC的距离是（）A． B． C． D．6．对于任意实数a、b、c、d,下列命题：①若a＞b,c≠0,则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2;③若ac2＞bc2，则a＞b;④若a＞b，则＜中．真命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(）A．(﹣∞，2） B．（﹣∞，2）∪（2，+∞) C．(2，+∞） D．(0，2）8．已知各项均为正数的等比数列｛an｝满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为（）A． B． C． D．9．已知｛an}为等差数列,a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an｝的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是(）A．21 B．20 C．19 D．1810．已知抛物线：y2=4x，直线l：x﹣y+4=0，抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为(）A． B．+1 C．﹣2 D．﹣111．已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量=（a，b),=（sinB，sinA），若,且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，则△ABC的形状是（）A．等腰直角三角形 B．钝角三角形C．等边三角形 D．直角三角形，12．已知O为平面直角坐标系的原点，F2为双曲线=1(a＞0，b＞0）的右焦点，过双曲线左顶点A，做两渐近线的平行线分别与y轴交于C、D两点,B为双曲线的右顶点，若以O为圆心,|OF2｜为直径的圆是四边形ACBD的内切圆,则装曲线的离心率为，（）A．2 B． C． D．二。填空题（每题5分，共20分）13．命题“任意x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．14．不等式（x2﹣2x﹣3）（x2﹣4x+4)＜0的解集为．15．空间四边形ABCD的各棱长和对角线均为a，E，F分别是BC，AD的中点，则异面直线AE，CF所成角的余弦值为．16．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S2=﹣1，S5=5，数列{bn｝前n项和为Tn,并且满足：bn=（an+2）cos，则T2016=．三、解答题（共6小题，满分70分,解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0,其中a＞0,命题q：实数x满足＜0．（1）若a=1且p∧q为真,求实数x的取值范围；（2）若¬q是¬p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinB(tanA+tanC）=tanAtanC．(1）求证：b2=ac；(2)若a=2c=2，求△ABC的面积．19．在数列｛an}中,a1=1,且3an+1=1﹣an（Ⅰ）证明：数列{an}是等比数列（Ⅱ）记bn=（﹣1）n+1n(an﹣），求数列｛bn}前n项和Sn．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AC=2，AB=2，D、E分别是的AB,BB1的中点．(Ⅰ)证明:BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．21．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程;(2）设在第一象限有一飞行物(忽略其大小）,其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它？请说明理由．22．设F1，F2是椭圆C:=1（a＞b＞0）,的左右焦点，离心率为，M为椭圆上的动点，｜MF1｜的最大值为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P,求证：｜PF1｜+|PF2｜是定值．

2016-2017学年安徽省亳州市高二(上）期末数学试卷(理科）参考答案与试题解析一。选择题（每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一下，是符合题目要求的.）1．在等比数列｛an}中,已知a7•a19=8，则a3•a23=(）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式求解．【解答】解：∵在等比数列｛an｝中,a7•a19=8，∴a3•a23=a7•a19=8．故选：C．2．在△ABC中，a，b,c分别是内角A,B，C所对的边，已知a=4，B=60°,C=75°，则b=（）A．2 B．2 C．2 D．【考点】余弦定理．【分析】方法一，根据直角三角形的有关知识即可求出，方法二，根据正弦定理即可求出．【解答】解：法一：过点C作CD⊥AB，∵B=60°，C=75°，∴A=45°,∴AD=CD，∵BC=a=4,B=60°,∴CD=asin60°=2，∴b=AC==2，法二：∵B=60°，C=75°,∴A=45°，由正弦定理可得=，∴b===2,故选：B3．设非零实数a、b，则“a2+b2≥2ab"是“+≥2”成立的(）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用基本不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：由a2+b2≥2ab，则a，b∈R，当ab＜0时，+＜0，则+≥2不成立,即充分性不成立，若+≥2，则＞0,即ab＞0，则不等式等价为a2+b2＞2ab，则a2+b2≥2ab成立，即必要性成立，故“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的必要不充分条件，故选：B4．若变量x，y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则2m﹣n的值为(）A． B．6 C． D．9【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：作出不等式组满足约束条件的平面区域如图由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，则当直线y=﹣2x+z经过点B时，目标函数取得最大值，经过A时，取得最小值,由,可得A(﹣1,﹣1）时,此时直线的截距最小，此时n=﹣3，由，可得B（2，﹣1）此时m=3，2m﹣n=9．故选:D．5．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则点A1到平面B1AC的距离是（）A． B． C． D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A1到平面B1AC的距离．【解答】解：以D为原点,DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系,A1（2,0，2）,B1（2,2，2）,A(2,0，0），C（0，2，0），=(0，2，2），=（﹣2，2,0），=(0,0，2），设平面B1AC的法向量=（x，y，z）,则，取x=1，得=（1，1，﹣1），∴点A1到平面B1AC的距离：d===．∴点A1到平面B1AC的距离是．故选：D．6．对于任意实数a、b、c、d，下列命题：①若a＞b，c≠0，则ac＞bc;②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＞bc2，则a＞b；④若a＞b，则＜中．真命题个数为（)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质,逐一分析四个结论的真假，最后综合讨论结果可得答案．【解答】解：当c＜0时，若a＞b，则ac＜bc,故①错误；当c=0时，若a＞b,则ac2=bc2，故②错误；若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故③正确;若a＞0＞b，则＞，故④错误；故真命题个数为1个，故选：A7．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是(）A．（﹣∞，2） B．(﹣∞,2）∪（2，+∞） C．(2，+∞） D．（0，2）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把已知的不等式变形为二次不等式的一般形式，然后讨论二次项系数,当二次项系数不等于0时，需开口向上且判别式小于0．【解答】解：由ax2+4x+a＞1﹣2x2，得（a+2）x2+4x+a﹣1＞0，ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，即（a+2）x2+4x+a﹣1＞0,对一切实数恒成立,当a=﹣2时不合题意，所以a≠﹣2,则，解得：a＞2．所以实数a的取值范围是(2，+∞）．故选C．8．已知各项均为正数的等比数列｛an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为（）A． B． C． D．【考点】基本不等式;等比数列的通项公式．【分析】由a7=a6+2a5求得q=2，代入求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．【解答】解：由各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5，可得，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．∵,∴qm+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24,∴m+n=6，∴，当且仅当=时,等号成立．故的最小值等于，故选A．9．已知｛an｝为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示｛an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是()A．21 B．20 C．19 D．18【考点】等差数列的前n项和．【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．【解答】解：设{an｝的公差为d,由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35,①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33,②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20)2+400，故当n=20时，Sn达到最大值400．故选：B．10．已知抛物线:y2=4x,直线l：x﹣y+4=0，抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（)A． B．+1 C．﹣2 D．﹣1【考点】抛物线的简单性质．【分析】连接PF，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=﹣1于点C．由抛物线的定义，得到d1+d2=(PA+PF)﹣1，再由平面几何知识可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值，因此算出F到直线l的距离，即可得到d1+d2的最小值．【解答】解：如图，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B,PB的延长线交准线x=﹣1于点C连接PF，根据抛物线的定义得PA+PC=PA+PF∵P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2，∴d1+d2=PA+PB=（PA+PC）﹣1=（PA+PF）﹣1根据平面几何知识，可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值∵F（1，0）到直线l：x﹣y+4=0的距离为=，∴PA+PF的最小值是,由此可得d1+d2的最小值为﹣1．故选D．11．已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量=(a，b），=（sinB，sinA）,若，且满足(2a﹣c)cosB=bcosC，则△ABC的形状是（）A．等腰直角三角形 B．钝角三角形C．等边三角形 D．直角三角形，【考点】余弦定理．【分析】，可得bsinB=asinA，可得b2=a2,即b=a．又满足(2a﹣c)cosB=bcosC，可得2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC,可得cosB=，解得B即可得出．【解答】解：∵，∴bsinB=asinA，∴b2=a2，即b=a．又满足（2a﹣c)cosB=bcosC，∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，即2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,∴cosB=，解得B=,则△ABC的形状是正三角形．故选：C．12．已知O为平面直角坐标系的原点，F2为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过双曲线左顶点A,做两渐近线的平行线分别与y轴交于C、D两点，B为双曲线的右顶点,若以O为圆心,｜OF2｜为直径的圆是四边形ACBD的内切圆，则装曲线的离心率为，（)A．2 B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线的几何性质可推断出直线AD的方程,进而利用直线AD与四边形ACBD的内切圆相切,结合点到直线的距离公式得到a，b关系,最后求得a和c的关系式，即双曲线的离心率．【解答】解：由题意得：A（﹣a,0)，渐近线方程为y=±x，直线AD的方程为:y=（x+a），即：bx﹣ay+ab=0，因为直线AD与四边形ACBD的内切圆相切，设内切圆的半径为r,故r=d，即=⇔a=b，∴双曲线的离心率为e===．故选：B．二。填空题（每题5分，共20分）13．命题“任意x∈R，x2+x+1≥0”的否定是存在x∈R，x2+x+1＜0．【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题否定的方法,结合已知中原命题，可得答案．【解答】解：命题“任意x∈R，x2+x+1≥0”的否定是“存在x∈R，x2+x+1＜0”故答案为：存在x∈R,x2+x+1＜014．不等式（x2﹣2x﹣3）（x2﹣4x+4)＜0的解集为{x｜﹣1＜x＜3且x≠2｝．【考点】其他不等式的解法．【分析】利用因式分解将原不等式化简，等价转化后由一元二次不等式的解法求出解集．【解答】解:不等式（x2﹣2x﹣3）（x2﹣4x+4)＜0化为:（x+1）（x﹣3）（x﹣2）2＜0，等价于，解得﹣1＜x＜3且x≠2,所以不等式的解集是｛x|﹣1＜x＜3且x≠2｝，故答案为：{x|﹣1＜x＜3且x≠2｝．15．空间四边形ABCD的各棱长和对角线均为a，E，F分别是BC，AD的中点，则异面直线AE,CF所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】可考虑用空间向量求异面直线AE与CF所成角的余弦值，可设正四面体的棱长为1，cos＜,＞==﹣，这样便可得到异面直线AE与CF所成角的余弦值．【解答】解：=（+）,=﹣．设正四面体的棱长为1,则||=｜|=，=•+•﹣﹣=﹣，∴cos＜，＞==﹣，∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为．故答案为：16．已知等差数列｛an｝的前n项和Sn满足S2=﹣1,S5=5，数列｛bn｝前n项和为Tn，并且满足:bn=（an+2）cos,则T2016=1008．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列｛an｝的前n项和公式列出方程组，求出首英和公差，从而求出an=n﹣2，进而得bn=ncos+（），由此求出数列{bn}前n项和,进而能求出T2016的值．【解答】解：∵等差数列{an｝的前n项和Sn满足S2=﹣1，S5=5，∴,解得a1=﹣1，d=1，∴an=﹣1+（n﹣1)=n﹣2，∴bn=（an+2)cos=ncos+（)，∴数列｛bn｝前n项和：Tn=（﹣2+4﹣6+8﹣10+…﹣2014+2016）+（）=504×2+（﹣1﹣）=1008﹣,∴T2016=1008．故答案为：1008．三、解答题（共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0,命题q：实数x满足＜0．（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2)若¬q是¬p的充分不必要条件,求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】（1）分别求出关于p，q的不等式,根据p真且q真取交集即可；（2）由p是q的充分不必要条件，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1)由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）(x﹣a）＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a,当a=1时,1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由实数x满足得﹣2＜x＜3，即q为真时实数x的取值范围是﹣2＜x＜3．若p∧q为真,则p真且q真，所以实数x的取值范围是1＜x＜3．﹣﹣﹣﹣﹣（2）¬q是¬p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件由a＞0，及3a≤3得0＜a≤1,所以实数a的取值范围是0＜a≤1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinB(tanA+tanC）=tanAtanC．(1）求证:b2=ac；（2)若a=2c=2,求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】(1)根据三角恒等变换化简sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，再利用正弦定理可得b2=ac;（2）根据题意求出a、c和b的值，利用余弦定理求出cosB，再根据同角的三角函数关系求出sinB，计算△ABC的面积即可．【解答】解：（1）证明：在△ABC中，由于sinB（tanA+tanC）=tanAtanC,所以sinB(+）=•，因此sinB(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinC;又A+B+C=π，所以sin（A+C）=sinB,因此sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得b2=ac；﹣﹣﹣﹣﹣（2）因为a=2c=2,所以a=2,c=1，又b2=ac，所以b=；由余弦定理得cosB==，又因为0＜B＜π,所以sinB=；所以△ABC的面积为S=acsinB=．﹣﹣﹣﹣﹣19．在数列｛an｝中，a1=1，且3an+1=1﹣an（Ⅰ）证明：数列{an}是等比数列(Ⅱ）记bn=(﹣1)n+1n(an﹣),求数列｛bn}前n项和Sn．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】(I）3an+1=1﹣an，可得an+1﹣=﹣，=,即可证明．（II）由（I）可得:an=，可得bn=（﹣1）n+1n（an﹣）=，利用“错位相减法"与等比数列的求和公式即可得出．【解答】(I）证明：∵3an+1=1﹣an，∴an+1﹣=﹣,=，∴数列{an}是等比数列,公比为，首项为．（II）由（I）可得：an=，∴bn=（﹣1)n+1n(an﹣）=，∴数列｛bn}前n项和Sn=+…+，=+…+,∴=+…+=，∴Sn=．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AC=2，AB=2，D、E分别是的AB，BB1的中点．（Ⅰ）证明:BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】(Ⅰ）连结AC1与A1C相交于点F，连结DF，则BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．（2）以C为坐标原点，以直线CA，CB，CC1分别为x,y，z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角的正弦值．【解答】证明：(Ⅰ）连结AC1与A1C相交于点F，连结DF，∴F为AC1的中点,∵D为AB的中点，∴BC1∥DF，…2分∵BC1⊄平面A1CD,DF⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．…4分解：（2）以C为坐标原点，以直线CA，CB,CC1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz…5分则C（0,0，0)，D（1，1,0）,A1（2，0,2），E（0，2，1)∴=（2，0,2），=（1，1，0)，=（0，2，1)，…7分设平面DA1C的法向量为=(x，y，z），则,令x=1，则=（1,﹣1,﹣1)…10分同理可求平面A1CE的一个法向量=（2，1，﹣2），设二面角D﹣A1C﹣E的平面角为θ，则cosθ==…11分sinθ==,故二面角D﹣A1C﹣E的正弦值是．…12分．21．如图，建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上，y轴垂直于地平面,单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣(1+k2)x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2