第三讲函数的极限无穷小与无穷大

第三讲函数的极限无穷小与无穷大第1页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/20231函数与极限几何解释:复习：第2页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/20232函数与极限第一章二、自变量趋于有限值时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:函数的极限第3页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/20233函数与极限播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限第4页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/20234函数与极限通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.第5页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/20235函数与极限第6页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/20236函数与极限2.另两种情形:第7页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/20237函数与极限3.几何解释:第8页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/20238函数与极限例1证第9页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/20239函数与极限二、自变量趋向有限值时函数的极限第10页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202310函数与极限第11页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202311函数与极限2.几何解释:注意：第12页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202312函数与极限例2证例3证第13页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202313函数与极限例4证函数在点x=1处没有定义.第14页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202314函数与极限例5证第15页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202315函数与极限例6证第16页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202316函数与极限3.单侧极限:例如,第17页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202317函数与极限左极限右极限第18页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202318函数与极限左右极限存在但不相等,例7证第19页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202319函数与极限三、函数极限的性质2.函数极限的局部有界性1.唯一性第20页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202320函数与极限推论

3.函数极限的局部保号性第21页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202321函数与极限5.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定理推论4.保序性定理第22页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202322函数与极限证第23页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202323函数与极限例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.第24页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202324函数与极限例8证第25页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202325函数与极限二者不相等,第26页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202326函数与极限第一章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节无穷小与无穷大第27页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202327函数与极限四、无穷小1.定义:极限为零的变量称为无穷小.第28页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202328函数与极限例如注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数；3.无穷小必须与一极限过程联系起来.第29页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202329函数与极限2.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性第30页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202330函数与极限意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);第31页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202331函数与极限五、无穷大第32页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202332函数与极限特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.第33页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202333函数与极限不是无穷大．无界，第34页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202334函数与极限证第35页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202335函数与极限六、无穷小与无穷大的关系定理2在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证第36页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202336函数与极限意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.第37页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202337函数与极限七、主要内容1、函数极限的统一定义(见下表)第38页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202338函数与极限过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后第39页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202339函数与极限3、无穷小与无穷大主要内容:两个定义;两个定理;4、几点注意:（1）无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（2）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（3）无界变量未必是无穷大.2、函数极限的性质四个定理;第40页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202340函数与极限思考题第41页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202341函数与极限思考题解答答不能保证.例有第42页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202342函数与极限作业

活页P84；5活页P93；4第43页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202343函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限第44页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202344函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限第45页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202345函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限第46页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202346函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限第47页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202347函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限第48页，课件共51页，创作于2023年2月9/11/202348函数与极限一、自变量趋向无穷