勾股定理中的数学思想方法

勾股定理中的数学思想方法

认知维度效果：了解三种典型的证明方法：认知和应用证明中包含的数学概念和方法，体验代数和几何的密切联系。文化维度效果:从历史的角度为勾股定理证明的数学活动注入文化意义,在教学过程中实践多元文化关怀.情感维度效果:以古今中外数学家们的创造过程为载体,展现广阔而生动的人文背景,促使学生从学习中获得成功的享受和进一步学习的动力.教学重点:从勾股定理证明的历史中体现文化价值.教学难点:定理的证明中所蕴涵的思想方法的提炼和应用.教学对象:九年级学生.教学过程:1勾股定理证明问题1:(图1)这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会(ICM-2002)的会标,也是1700多年前我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的“弦图”(图2).它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形构成的大正方形.直角三角形的三条边分别为a、b、c,你能否说说他是怎么证明的?问题2:迄今为止,勾股定理的证明方法已超过了500种.有一种证法,被称为“总统”证法,是美国第20届总统伽菲尔德证明的.他怎么会去证明勾股定理呢?事情的经过是这样的…….如图3,你能解读他的证法吗?[设计意图]以“讲故事”的形式向学生介绍直观、简捷、明了的两种证明,是台湾学者洪万生指出的教师应用数学史进行教学的第一个层次.它成功地吸引了学生的注意,激发学生的学习热情.①赵爽的“弦图”证明,通过这个史实让学生了解到中国古代的灿烂文化.②伽菲尔德的证明,通过这个史实让学生欣赏和分享不同文化背景数学成果.问题3:还有一种证法凭借严谨的逻辑和理性的推理,在众多证法中独树一帜,这是欧几里得在《几何原本》中给出的证法.让我们一起来赏析.第一步:分别以直角三角形的三边为边向外作面积分别为a2、b2、c2的三个正方形(图4).连结CD、EF,证明ΔFAB≌ΔCAD.(如何证?)第二步:过点C作CL⊥DE于L,交AB于M,分别证明SΔFAB=S正方形AFHC,SΔCAD=S矩形ADLM.(可作出ΔFAB的AF边上的高和ΔCAD的AD边上的高.)第三步:S正方形AFHC=S矩形ADLM,S正方形CBKG=S矩形BELM.从而证明S正方形AFHC+S正方形BCGK=S正方形ABED.即:a2+b2=c2[设计意图]欧几里得证明方法的证明难度较大,若由学生揣摩、思考,教学中可能会花费大量的时间,而且未必有好的教学效果.另外还会使该堂课的重点发生偏离:由“勾股定理证明中所蕴涵的数学思想的提炼和运用”变成了“勾股定理的证明”.所以,在介绍这种证法时采用了赏析再加上适度合情推理的方式.2从学生的思维模式到个体思维的“梯级”问题4:以上三个证明方法中,蕴涵着丰富的数学思想方法.你觉得它们精彩表现在哪些方面?[设计意图]台湾学者洪万生指出教师应用数学史的第二个层次是在历史脉络中比较数学家所提供的不同方法,拓宽学生视野,培养全方位的认知能力和思考弹性.鉴于此,通过对以上三种富有代表性的勾股定理验证方法的分析,师生共同总结、归纳,让学生明了三种证法中所隐含的数学思想:等积变形、数形结合等,为进一步教学埋下伏笔.问题5:(如图5)分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形,其面积分别用m、n、p表示,则m、n、p满足m+n=p的关系(p>n>m).那么,我们如果把所作的正方形改为作三个半圆(图6),你能确定m、n、p之间的关系吗?(1)那把它改为向外作三个正三角形,其面积分别用m、n、p表示(图7),那么m、n、p之间的关系是否仍然成立,若成立,又如何证明?(2)若分别以直角三角形ABC的三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用m、n、p表示,为使m、n、p之间仍具有m+n=p关系,所作三角形应满足什么条件?你能总结出一个更具一般意义的结论吗?(请在课后思考).[设计意图]欧几里得在《几何原本》中给出勾股定理的推广定理“直角三角形斜边上的一个直边形,其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”.从此出发,设计层次化例题.引导学生架起思维的“梯子”,让学生经历应用知识解决问题的过程,领会“从特殊到一般”的数学思想方法.问题6:对于边长均为a的两个正方形ABCD和EFGH,按图8所示的方式摆放,再沿虚线BD,EG剪开后,可以按图中所示的移动方式拼接为图8中的四边形BNED.从拼接的过程容易得到结论:①四边形BNED是正方形;②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED.(1)对于边长分别为a、b(a>b)的两个正方形ABCD和EFGH按图9所示的方式摆放,你能通过合理的分割并把它拼成赵爽的“弦图”吗?(小组讨论交流)预测可能出现的情况:第一种:对于边长分别为a、b(a>b)的两个正方形ABCD和EFGH,按图10所示的方式摆放,连结DE,过点D作DM⊥DE交AB于M,作MN⊥DM,过点E作EN⊥DE,MN与EN相交于点N.可以证明四边形MNED是正方形,并且S正方形MNED=a2+b2.只要将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后,如图拼接,就能够拼接为正方形MNED.第二种:根据面积不变,拼得的正方形的面积为a2+b2,边长为a2+b2−−−−−−√a2+b2,当AB=a时,只要BN=b‚AN=a2+b2−−−−−−√BΝ=b‚AΝ=a2+b2,而BE=a+b,有NE=a,EF=b‚NF=a2+b2−−−−−−√ΝE=a,EF=b‚ΝF=a2+b2.如图11,在BC上截取BN=EH=b,连结AN、NF,可以发现ΔABN≌ΔNEF,并得到AN⊥NF;再把ΔABN绕点A逆时针旋转900,把ΔNEF绕点F逆时针旋转900得到正方形ANFP,得到“弦图”.(2)对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形,能否通过若干次拼接,将其拼接为一个正方形?请简要说明你的理由.[设计意图]改编2005年河北的中考试题,挖掘勾股定理证明的“数形结合”和“割、补”等思想方法,让学生在合作交流中体会到勾股定理证明思想的精髓.3引用经典问题7:勾股定理应用极其广泛,中国古代就有两个名题,请大家请欣赏.(1)“将竹子折叠”九章计算，中国，公元前300年如图12所示。现在，竹子的高度是1英尺，现在是3英尺问折者高几何?(2)引用两个经典名题水深、葭长各几何?(师生共同分析,画出草图)[设计意图]引用《九章算术》《详解九章算法》中的两个经典名题,通过对这两个历史名题的欣赏,让学生感受到勾股定理广泛的应用,进一步领悟勾股定理深厚的文化底蕴.4文化视角下的勾股定理问题9:勾股定理是几何学中的明珠,充满魅力.请你说说本节课学习了哪些内容?问题10:请你根据本节课的内容,给这节课取一个合适的课题?(学生回答后,教师总结:“文化视角下的勾股定理”.)[设计意图]在学生回答的基础上,教师给出《文化视角下的勾股定理》这一课题,这一与众不同的小结方式,不仅突显了学生的主体地位,也使学生进一步感受到勾股定理的文化内涵.综述:(1)对学生人文精神的培养是数学的价值追求全日制义务教育数学课程标准在“教材编写建议”中指出:“教材内容的编排和呈现要突出知识的形成和应用过程,…应关注对学生人文精神的培养.”另外,台湾学者洪万生指出教师应用数学史的第三个层次是从历史的角度注入数学活动的文化意义,在数学教育过程中实践多元文化关怀的理想.因此,教学设计以历史史实为载体,关注对学生人文精神的培养,在鉴赏这些优美方法和巧妙的过程中,进一步感悟勾股定理的文化价值,树立正确的数学观.(2)思想方法.整合命题,拓展学生思维浙江师范大学张维忠教授指出:“相对于情感维度和文化维度而言,数学史的认知维度效果如何有效达成难度是最大的”[1.因此,本课提炼和运用思想方法,整合例题,促使