数学模型第三版(高等教育出版社)课后习题答案

《数学模型》作业解答第七章（2008年１２月4日)1．对于7.１节蛛网模型讨论下列问题：(1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格,所以第k1时段的价格k1和第k时段的数量和y由第x决定x仍只取决,如果仍设xk1k1k1k于y，给出稳定平衡的条件，并与7．1节的结果进行比较．k（2)若除了k1y由和决定之外，也由前两个时段的价格xk1y和y确定．试分kk1xk1xk析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：（１）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：xk)xf(k12yk1xk1h(y)k在P(x,y)点附近用直线来近似曲线f,h，得到000x(xx),00(1)yyk1k2k100(2)x(yy),xk10k0(3)x0(yy)k10由（2)得xk2xxxx(代入(３）得k2kx)0k1（１）2002xxx2x2xkk2k1002对应齐次方程的特征方程为2()28特征根为41,2当8时,则有特征根在单位圆外，设,则8第一章作业解答第1页共35页()24()281,24221,221即平衡稳定的条件为与的结果一致．2P207P(x,y)处附近的（２）此时需求函数、供应函数在直线近似表达式分别为：000xxx),0(4)0yy(k1k2k10yy0(5)xx(k1y),k2k1002(xx)β(yyyy)(6)由(5）得,k30k20k10将(４）代入(6),得xxxx2(xx)(k1x)(kx)0k2k122k300x4x4xk04xk3x2xk2k10320(7)4特征方程为2对应齐次方程的4不是（７)的根.设（7)的三个非零根分别为7)无正实根,且,αβ,代数方程（2,,，则312341221223311234对(7）作变换:,则12pq0,3223223)61),q1(8p(2其中4124123第一章作业解答第2页共35页3q(q)2(p)33q(q)2(p)32322321w3q(q)2(p)3w23q(q)2(p)3用卡丹公式:22322323w23q(q)2(p)3w3q(q)2(p)3223223其中w1i3,2求出，从而得到，于是得到所有特征根1,,,,的条件.1231232．已知某商品在k时段的数量和价格分别为x和y，其中1个时段相当于商品的一个生kkyf(x)和xg(yyk1)．试建立产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为k2k1kk关于商品数量的差分方程模型,并讨论稳定平衡条件．yf(x)和xg(yy解:已知商品的需求函数和供应函数分别为kk1)．2k1kk设曲线f和g相交于点P(x,y),在点P附近可以用直线来近似表示曲线f和g：0000(xx),0yyk－－-------－-----－---－－－(１)---－－-－－--------－---（2)0k0yyxx(y),00kk12k10从上述两式中消去y可得kx2(1)x,k1,2,,－----－---－－（3)k02xk2xk1上述(3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求P点稳定平衡条件，我们考虑（３）对应的齐次差分方程的特征方程：0022容易算出其特征根为()281,2---－---－--－----(4）4当8时,显然有第一章作业解答第3页共35页()282--------－-－（5)44从而8，由(5)式可以算出1,22,在单位圆外．下面设222要使特征根均在单位圆内，即1，必须2．1,2故P点稳定平衡条件为2．03.已知某商品在k时段的数量和价格分别为x和y，其中1个时段相当于商品的一个生产kkyf(xx)和xg(y).试建立周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为k1k2k1k1k关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件．yf(xx)和xg(y).解:已知商品的需求函数和供应函数分别为k1k2k1k1k设曲线f和g相交于点P(x,y),在点P附近可以用直线来近似表示曲线f和g：0000xxkx),00yy(k1-----－---－-------－-－(1)2k100x(yy),kx------－--－－-----－--（2)-－－－------------－-－-(3）k100xx(yy)k1由(２）得k200xxk1（1)代入(３）,可得xx(kx)02k20x2x2x,k1,2,，－－---------－－-(４）02xk2xk1k0上述(４)式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求P点稳定平衡条件,我们考虑(4）对应的齐次差分方程的特征方程:0022容易算出其特征根为()281,2-------------－-（4）4当8时,显然有第一章作业解答第4页共35页()282--------－-－(5)448.下面设,由(５）式可以算出1,2从而2,在单位圆外22212要使特征根均在单位圆内，即，必须．1,22故P点稳定平衡条件为.0《数学模型》作业解答第八章(２008年12月９日)1．证明8．１节层次分析模型中定义的n阶一致阵A有下列性质:（1)A的秩为１，唯一非零特征根为n;（2)A的任一列向量都是对应于n的特征向量.证明：(１)由一致阵的定义知：A满足aaa,i,j,k1,2,,nijjkik.即列与列对应分量成比例.a于是对于任意两列i,j，有a,k1,2,,nijikaijjk从而对A作初等行变换可得:bbb11121n000A初等行变换Ｂ000这里B0.秩B1,从而秩A1个可逆阵P,使PAB,于是再根据初等行变换与初等矩阵的关系知:存在一cc11c112n000PAP1BP1C000c(只有一,0,,0易知C的特征根为11个非零特征根).第一章作业解答第5页共35页又A~C，Ac与C有相同的特征根,从而A的非零特征根为，又对于任意矩11TrAa阵有aa1122nn111n.故Ａ的唯一非零12n特征根为n.(2)对于A的任一列向量aa,k1,2,,n,,,aT1k2knk有nna1jajka1knaj1j11knnna,a,,aTnaAa,a,,aaa2jaTjk2k2k1k2knk1k2knkj1j1nannaaanknjjknkj1j1A的任一列向量nT都是对应于的特征向量.a,a,,a1k2knk7．右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图,它是双向连通的吗?找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次．解:这个5阶竞赛图是一个5阶有向Ｈａmiｌｔoｎ图.其一2个有向Hａmｉlton圈为314523.所以此竞赛图是双向连通的.451235312431452等都是完全路径.2453113此竞赛图的邻接矩阵为010105400110A100000010111100令e1,1,1,1,1T,各级得分向量为12AS1SAe2,2,1,2,3T,S4,3,2,4,5T，第一章作业解答第6页共35页S3AS27,6,4,7,9T,S4AS313,11,7,13,17T由此得名次为５，1（4),2，3（选手1和４名次相同).注：给5位网球选手排名次也可由计算A的最大特征根和对应特征向量S得到：1.8393S0.2137,0.1794,0.1162,0.2137,0.2769，T数学模型作业(１2月１6日)解答1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素,拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.解:目标层越海方案的最优经济效益准则层方案层省收岸间当地建筑时入商业商业就业建桥梁修隧道设渡轮2.简述层次分析法的基本步骤.问对于一个3个层次？具体内容分别是什么:(1).建立层次结构模型；(2)．构造成对比较阵;(3）．计算权(4）.计算组合权向量并做组合一致性检验.对于一个即将毕业的大决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3.目标层是选择工作岗位,方案层是工作岗位1、工作2、工作岗位３等,准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.３.用层次分析法时，一般可将决策问题分解3个层次A为一致阵的充要条件．答:用层次分析法时,一般可将决策问题分解为目标层、7页共35页即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题分要成哪?答：层次分析法的基本步骤为向量并做一致性检验；学生选择工作岗位的个层次岗位成哪?试给出一致性指标的定义以及n阶正负反阵准则层和方案层这3个层次;一致性第一章作业解答第n指标的定义为:CIn1．ｎ阶正互反阵A是一致阵的充要条件为:A的最大特征根=n.第九章(２00８年12月18日）1．在9.1节传送带效率模型中，设工人数固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方n法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m,比如增加一倍,其它条件不变.另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子,其它条件不变,于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的,他就可以挂上产品,这种办法用的钩子数量与第一种办法一样.试推导这种情况下传送带效率的公式,从数量关系上说明这种办法比第一种办法好.解：两种情况的钩子数均为2m.第一种办法是个位置，单钩放置个钩子；第二种2m2m办法是m个位置,成对放置2m个钩子．9.1①由节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为D2m111nm2nn当较小,n1时，有2mn14mD112m1nn11n2m8m2D1E,En4m②下面推导第二种办法的传送带效率公式:对于m个位置,每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m个钩对．1任一只钩对被一名工人接触到的概率是;m11任一只钩对不被一名工人接触到的概率是；m,q111记p．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空的mm概率为qn,其空钩的数为2m;任一钩对上只挂上１件产品的概率为npqn1,其空钩数为第一章作业解答第8页共35页m．所以一个周期内通过的2m个钩子中,空钩的平均数为2mqnmnpqn1m2qnnpqn1,于是带走产品的平均数是2mm2qnnpqn1)未带走产品的平均数是n2mm2qnnpqn1此时传送带效率公式为D'2mm2qnnpqn11n1nn1m2211mnnmm③近似效率公式：nnn11nn1n211n11由于26mmm2m31n1n1n21n1112mmm2n1n2D'16m2当n1时，并令E'1D',则E'6nm22④两种办法的比较：由上知:En,E'n24m6m2'/2n2n1E'E.，EE，当mn时，3m3m所以第二种办法比第一种办法好．《数学模型》作业解答第九章（2008年1２月２3日)一报童每天从邮局订购一种报纸,沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利７元.如果当天卖不掉,第二天削价可以全部卖出,但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数r是一随机变量,其概率分布如下表:售出报纸数r（百份)012345第一章作业解答第9页共35页P(r)概率０.050.10.25０0.15.350．1(订购量必须是100的倍数)？n百份纸，则收益函数为试问报童每天订购多少份报纸最佳解:设每天订购f(r)7r(4)(nr)rn7nrnn(114)()7nP(r)rnPr＋收益的期望值为G(n)=r0rn1现分别求出n=0,1,2,3,4,5时的收益期望值.4G（0）＝０；G(1)=×0.05＋7×0．１＋7×（０．25+0.35+0.15＋0.1)=6.45；G（2)=(80.0530.1140.25)14(0.350.150.1)11.8；Ｇ(３)=(120.0510.1100.25210.35)21(0.150.1)14.4160.0550.160.25170.35280.15）280.113.15Ｇ（4）＝（Ｇ(5）＝200.0590.120.25130.35240.15350.110.25当报童每天订30０份时,收益的期望值最大．数模复习资料第一章1.原型与模型原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型,按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.直观模型如玩具、照片等形象模型物理模型如某一试验装置思维模型如某一操作模型抽象模型符号模型如地图、电路图数学模型2．数学模型对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学结构,称为此实际问题的一个数学模型．例如力学中著名的牛顿第二定律使用公式Fmd2x来描2dt第一章作业解答第10页共35页Ntt.或又如描述人口随时间自由增长过程的微分述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型方程dtdNtrNt．3.数学建模所谓数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程.更具体地说,数学建模是指对于现实世界的某一特定系统或特定问题,为了一个特定的目的，运用数学的语言和方法,通过抽象和简化,建立一个近似描述这个系统或问题的数学结构(数学模型),运用适当的数学工具以及计算机技术来解模型，最后将其结果接受实际的检验，并反复修改和完善.数学建模过程流程图为：数学地、数值地求解模型实际抽象、简化、假设归结ﻫ数学模问题确定变量、参数型估计参数否ﻫ(用实例或有关知识)检验模型是评价、推广并交付使用符合否?产生经济、社会效益4.数学建模的步骤依次为:模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用5.数学模型的分类数学模型可以按照不同的方式分类,常见的有:人口模型交通模型环境模型（污染模型）应用领域分类数学模型生态模型a.ﻩ按模型的城镇规划模型水资源模型再生资源利用模型b．ﻩ按建模的数学方法分类第一章作业解答第11页共35页初等数学模型几何模型微分方程模型图论模型数学模型组合数学模型概率模型规划论模型描述模型分析模型预报模型c.ﻩ按建模目的来分类数学模型优化模型决策模型控制模型d．层次分析法的基本步骤：1.建立层次结构模型2.构造成对比较阵3.计算权向量并作一致性检验4．计算组合权向量并作组合一致性检验e.n阶正互反正A是一致阵的充要条件为A的最大特征值为ｎf.正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法：幂法、和法、根法４．在“椅子摆放问题”的假设条件中,将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.解:设椅子四脚连线呈长方形ABCD.ＡＢ与CD的对称轴为x轴,用中心点的转角f();Ｃ、Ｄ与地面距离之和记位置.将相邻两脚A、B与地面距离之和记为表示椅子的．于是，设f(0)0,g(0)0,就得到g().并旋转180g0,f0．为0,有数学模型:设f、0,2g是上的非负连续函数．若0,2fg0,且g00,f00,g0,f0,则0,2,使00．0fg0h()f()g().就有h(0)0,h()f()g()0g()0.模型求解:令hg的连续性,得到h是一个连续函数．从而是上的连续函0,再由f,,使0,0.即0,数．由连续函数的介值定理：,使h000第一章作业解答第12页共35页

0.0fg0g0.又因为0,2,有fg0.故f009．(１)某甲早8:０0从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午５：00到达山顶并留宿.次日早8：00沿同一路径下山,下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么？（２）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n支球队比赛呢?解:(1)方法一：以时间t为横坐标,以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x为纵坐标,第一天的行程x(t)可用曲线（）表示,第二天的行程x(t)可用曲线()表示，（（)）是连续曲线必有交点p(t,d),000两天都在t时刻经过d地点.ｘ00d方()法二:设想有两个人,一人上山,一人下山，同一天同p0()时出发,沿同一路径,必定相遇.d0t早8t晚50方法三：我以们山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为f(t)（即ｔ时刻走的路程为f(t)),同样设从山顶到山下旅店的路函数为g(t),并设山下旅店到山顶的距离为a(a>0).由题意知:f(8)0,f(17)a,g(8)a,g(17)0.令h(t)f(t)g(t),则有h(8)f(8)g(8)a0,h(17)f(17)g(17)a0,由于f(t),g(t)都是时间t的连续函数,因此h(t)也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,t[8,17],0使h(t)0,即f(t)g(t).000第一章作业解答第13页共35页(2）36场比赛，因为除冠军队外,每队都负一场;6轮比赛，因为2队赛１轮，４队赛２轮，3２队赛5轮.n队需赛n1场,若2k1n2k，则需赛轮．k２.已知某商品在k时段的数量和价格分别为x和y，其中１个时段相当于商品的一个生kkyf(xx)和xg(y).试建产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为k1k2k1k1k立关于商品数量的差分方程模型,并讨论稳定平衡条件.yf(xx)和xg(y).k1k解:已知商品的需求函数和供应函数分别为k1k2k1设曲线f和g相交于点P(x,y)，在点P附近可以用直线来近似表示曲线f和g：0000xxkx),0－－-----－----－－------（1）0yy(k12k100x(yy),kxk1--－－－-－----------－-（２)00xx(yy)由(２)得-－------－-－－--－-－-－-（３)k20k10xxk1(1）代入(3),可得xx(kx)02k20x2x2x,k1,2,,02xk2xk1--－－－----－---－k0(4）上述（４)式是我们所建立的差分方程模型,且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求P点稳定平衡条件,我们考虑（４）对应的齐次差分方程的特征方程:0022容易算出其特征根为()281,2------－--------（5)4当8时,显然有()282-－-----－-－－(6）44从而8，由(5)式可以算出1,22，在单位圆外.下面设222第一章作业解答第14页共35页12要使特征根均在单位圆内,即,必须.1,22故P点稳定平衡条件为.0dx(t)t渔场中鱼的数量）的自然增长规律为：rx(1x)dtx(t)(时刻３.设某渔场鱼量N其中r为固有增长率，N`为环境容许的最大鱼量．而单位时间捕捞量为常数h.（1).求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性；(2）．试确定捕捞强度mE,使渔场单位时间内具有最大持续产量Q,并求此时渔场鱼量水平mx*.0x(t)变化规律的数学模型为dx(t)rx(1x)hN解：(1).dt记f(x)rx(1x)h,令rx(1x)h0rx2rxh0-－--，即NNNN14hNrN2r2r(r4h)4rh（1),(1）的解为：xNN1,2①当0时，（１)无实根N②当0(1)有两个相等的实根,平衡点为.x20,此时无平衡点；时，2rxf'(x)r(1x)rxrNN,f'(x)00不能断定其稳定性．NxrNxx均有f(x)rx(1)0dx，即不稳定;但xx及00x4dt0N00③当时,得到两个平衡点：NN14hrN2NN14hrN2x1，x2NN,xfx，fx2'()0'()0易知x12221平衡点1x不稳定x稳定,平衡点.2maxh(2）．最大持续产量的数学模型为：ﻩs.t.f(x)0即maxhrx(1x),易得x*NhrNx*N2这个平衡点不此时,但N0240稳定.第一章作业解答第15页共35页NNN,应使渔场鱼量,且尽量接近，但不能等于.x222要获得最大持续产量5.某工厂生产甲、乙两种产品，生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示:品种原材料２能源消耗(百元）劳动力(人）利润（千元)甲16４45乙３2现有库存原材料1４00千克；能源消耗总额不超过2400百元;全厂劳动力满员为2000,并求出最大利润．人.试安排生产任务(生产甲品各多少件）,使利润最大、乙产解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件,相应的利润为S．则此问题的数学模型为maxS4x5ys.t.2x3y1400x6y24004x2y2000x0,y0,x,yZ模型的求解：用图解法.可行域为：由直线l:2x3y14001l:x6y24002:l:4x2y20003及x0,y0组成的凸五边形区域.直线l:4x5yC在此凸五边形区域内行平移动.易知：当过的交点时，Ｓ取最ll与l132x3y1400解得：x400,y200大值.由4x2y2000S440052002600(千元）.max故安排生产甲产品４00件、乙产品2０0件,可使利润最大,其最大利润为2600千元.6.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表:体积重量利润（百元/箱)20货物(立方米/箱)(百斤/箱)甲乙54２51０已知这两种货物托运所受限制是体积不超过２4立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大,并求出最大利润..货物、乙货物的托运箱数分别为x,x,所获利润为z则问题的数学模型可表示为12解：设甲maxz20x10x12第一章作业解答第16页共35页121212112l:2x5x13及x0,x0组成直线21212平行移动.x2l1l2x1l易知:当l过l与l的交点时，1z取最大值25x4x24x4由12解得x112x5x13122z20410190.maxv与波长、水深d、水的密度和重力加速度g有关,试用量纲分析方法给出波速v的表达式.7．深水中的波速解：设v,，d,，g的关系为f(v,,d,,g)=0.其量纲表达式为[v]=LM0T，－1［]=LM0T0，[d］=ＬM0Ｔ０，［]=L-３MＴ0,[g]=ＬM0Ｔ-2，其中L，M，Ｔ是基本量纲.---－-－--－４分量纲矩阵为11131(L)00010(M)1000A=2(T)(v)()(d)()(g)齐次线性方程组Ay＝0，即第一章作业解答第17页共35页yyyyy3012345y40-y1-2y05的基本解为y=(1,1,0,0,1),y=(0,1,1,0,0)2212P定理得1v2g12由量纲i11d2,∴vg,()2d112vg(d)，其中是未定函数．第二章(2)(2０0８年10月9日15.速度为s的风车上,空气密度是,用量纲分析方法确定风车获v的风吹在迎风面积为得的功率P与v、S、的关系．解:设P、v、S、的关系为f(P,v,s,)0,其量纲表达式为：,[]=ML3,这里L,M,T是基本量纲.23,[v]=LT1,[s］=L2[P]=MLT量纲矩阵为：2123(L)1001(M)Ａ=3100(T)(P)(v)(s)(齐次线性方程组为：yyyy22301234yy0143yy012它的基本解为y(1,3,1,1)111,其中是无量纲常数.，Pvs31P定理得P1由量纲v3si1６.雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是:运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比,比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.f(v，，,g)=0.其量纲[v]=LM0－1-3表达式为T,［］=L解：设v,,,g的关系为ＭＴ0，[］＝MＬT-2（LＴ-1L-１）-1Ｌ-2=MＬＬ-2T-2T=L－1ＭT－１，[g］=LM0T-２,其中L,M，T是基本量纲.第一章作业解答第18页共35页量纲矩阵为1311(L)0110(M)A=1012(T)(v)()()(g)齐次线性方程组Ａy=０，即y-3y-yy01234yy023-y-y-2y0134的基本解为ｙ=（-3，－1,1,１）g1g.，其中是无量纲常数．P定理得v3iv由量纲3v与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度１6*．雨滴的速度g有关,其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的v的表达式.乘积成正比，比例系数为粘滞系数,用量纲分析方法给出速度解:设v，,,，g的关系为f(v,,,,g)0.其量纲表达式为]=Ｌ-3ＭT0，[］=ＭＬT-2(LT-1Ｌ-１)-1L-２=MＬL-2Ｔ-2T=Ｌ－１[v]=LM0Ｔ,[－１MT-1,[]=LM0T0，［g]=LＭ0T－2其中L,M,T是基本量纲.量纲矩阵为11311(L)00110(M)A＝10012(T)(v)()()()(g)齐次线性方程组Aｙ=0即yyyyy3012345yy034yy2y0145的基本解为y(1,1,0,0,1)221y(0,3,1,1,)1222得到两个相互独立的无量纲量v1/2g1/211g3/21/22第一章作业解答第19页共35页3/2g1/2)12vg,.由(,)0,得(1即111212g(3/2g1/21)，其中是未定函数.,即在单摆运动中考虑阻力,并设阻力与摆的速度成正比．给出周期的,即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.l,质量m，重力加速度g,阻力系数２0.考察阻尼摆的周期,然后讨论物理模拟的比例模型t,摆长表达式解：设阻尼摆周期k的关系为f(t,l,m,g,k)0其量纲表达式为[t]L0M0T,[l]LM0T0,[m]L0MT0,[g]LM0T2,[k][f][v]1MLT2(LT1)1L0MT1:，其中，，是基本量纲．LMT量纲矩阵为01010(L)00101(M)A=10021(T)(t)(l)(m)(g)(k)齐次线性方程组0yy24yy035y2yy0145的基本解为11Y(1,,0,,0)221Y(0,1,1,1,1)222得到两个相互独立的无量纲量tl1/2g1/21lm1g1/2k1/22l,kl1/2(),22∴tmg1/2g11lkl1/2),其中是未定函数.gmg1/2∴t(考虑物理模拟的比例模型，设和原型摆的周期、摆长、质量分别为g和k不变,记模型第一章作业解答第20页共35页lkl1/2()gmg1/2t,t;l,l'';m,m'.又t当无量纲量llgllmtglt时,就有.ml第三章1（2008年10月14日）1.在3．１节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量.证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少.解：设购买单位重量货物的费用为k,其它假设及符号约定同课本．10对于不允许缺货模型,每天平均费用为:ccrTC(T)kr122TdCccr122dTT22c1dC令，解得0T*dTcr22cr由QrT，得QrT1c2与不考虑购货费的结果比较,T、Ｑ的最优结果没有变.20对于允许缺货模型，每天平均费用为：kQC(T,Q)1cc(rTQ)cQ22r232T12rCTkQccQ2crcQ3322rT2T2212T22rT2CcQcQk3rTTc3QrT2C0T令,得到驻点：C0Q第一章作业解答第21页共35页2cccT3k212rcccc23232crc1ck2r23krQcccc(cc)cc322322323与不考虑购货费的结果比较,T、Ｑ的最优结果减少.2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型.设生产速率为常数k，销售速率为常数r,kr．在每个生产周期Ｔ内,开始的一段时间0tT一边生产一边销售,后来0的一段时间(TtT)只销售不生产，画出贮存量g(t)的图形.设每次生产准备费为0c,单位时间每件产品贮存费为c，以总费1用最小为目标确定最优生产周期，讨论2kr和kr的情况.解：由题意可得贮存量g(t)的图形如下：gg(t)krrTTtcTg(t)dtc0)ii2t(kr)TTOn贮存费为climg(022t0i120(kr)Tr(TT)又00rkr(kr)TTT0T,贮存费变为c2k2于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用(单位时间内)为ccr(kr)Tr(kr)T2c1cTC(T)12T2kT22kdCdTcr(kr)2kc.12T22ckcr(kr)令dC0,得TdT122ckcr(kr)易得函数C(T)在T处取得最小值，即最优周期为：T12第一章作业解答第22页共35页2c当kr时，T1．相当于不考虑生产的情况.cr2当kr时，T．此时产量与销量相抵消,无法形成贮存量.第四章(２００８年10月28日）A件甲产品用原料１千克，B原料5千克;一件乙产品用A原料2千1.某厂生产甲、乙两种产品,一克，B原料4千克.现有原料２AB0千克,原料70千克.甲品每件售价分别为2０元和30元．问、乙产如何安排生产使收入最大?解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件,相应的利润为S则此问题的数学模型为：maxＳ=２0x+３０yx2y205x4y70s.ｔ.x,y0,x,yZ这是一个整线性规划问题,现用图解法进行求解可行域为：由直线l：x+2y=20,l:５x+4y=7０12ly2以及x=0，y=0组成的凸四边形区域．直线l：２0ｘ＋30ｙ=c在可行域内l平行移动.易知:当l过l与l的交点时,l112xS最取大值．x2y205x4y7010x解得由y5此时S＝2010305=35０（元）max2．某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物,每箱的体积、重量以及可获利润如下表:体积重量利润货物（立方米/箱）（百斤/箱）(百元/箱)甲乙5２520４１0已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤．试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润..货物、乙货物的托运箱数分别为x,x,所获利润为z则问题的数学模型可表示为12解：设甲第一章作业解答第23页共35页212st2x5x131212可行域为：由直线112l:2x5x13及x0,x0组成直线l:20x10xc在此凸四边形区域内1212212平行移动.x2l1l2x1l易知：当l过l与l的交点时,z取最大值2154x24xx4由12解得x112x5x13122z20410190．max3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润所耗原料分别为２和3个单位,所需工时分别为4和2原料为100个单位,工时为2台.试建立一个分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉个单位.若允许使用12０个单位，且甲型、乙型微波炉产量分别不低于６台和１数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大.并求出最大利润．解:设安排生产甲型微波炉利润为S.x件,乙型微波炉y件,相应的则此问题的数学模型为：maxＳ=3x＋2y2x3y1004x2y120s.ｔ．x6,y12,x,yZ这是一个整线性规划问题第一章作业解答第24页共35页用图解法进行求解可行域为:由直线l:２x+3y=10０，l:4ｘ+２y＝１2０12max第五章2(2００8年1１月14日)(只有中心室），在快速静脉注射间为）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度,并画出血药浓度脉滴注（持续时曲线的图形.ft,中心室药量为xt,血药浓度为Ct,容积为V,解:设给药速率为中心室0ft0,Ctxt排除速率为常数k,则x/tkxtft,xtVCt.0VD,则ft0,C0D0,解得CtD0ekt.k(1）快速静脉注射：设给药量为排除00VVk，则ftk,C00,解得滴注(持续时间为):设滴注速率为00(2)恒速静脉0k1e,0t0ktCtVkk0Vkt1ekt,ektftkDe见5.4节（13）式，解得(3)口服或肌肉注射:k01t0010第一章作业解答第25页共35页kDeekt01,kk010ktVkk0101Ct３种情况下的血药浓01kDtekt,kkV度曲线如下：(1)(2)(3)Ota4.,设乙方与甲方战斗有效系数之比为b4.在5.3节正规战争模型（3）中与xy相同.1(ﻫ）问乙方取胜时的剩余兵力是多少初始兵力,乙方取胜的时间如何确定.00(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率,讨论如何判断r增援,重新建立模型双方的胜负.ﻫ解:用xtyt表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可,近似表示为:dxaydt1dybx,dtx0x,y0y000a现求(1)的解：(1）的系数矩阵为Ab0第一章作业解答第26页共35页EAbaba2ab0.1,222,对应的特征向量分别为，111222xt1的通解为CeabtCeabt.yt1121再由初始条件,得2xtyeabtx0yex0abt22001可得dybx.dxay又由3其解为ay2bx2k,而kay2bx200aybxk2020y1b3（１)当xt0时，yty.011aa0a23即乙方取胜时的剩余兵力数为2y.0又令xt0,由（2）得x0yeabt1x0yeabt10.220101x2ytln3.4b注意到xy,得e20.e2abt13,abt0yx200100(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援．则第一章作业解答第27页共35页dxdtdydtx(0)x,y0yayrbx400dybxdx由4得ayr,即bxdxaydyrdy.相轨线为ay22rybx2k,或r2bx2r2k.此相轨线比书图１1中的轨线上移了akay2rybxay202.00ar.a乙方取胜的条件为k0,亦即rb22r2.a2y0x0aa第六章(2００8年11月20日）１.在6.1节捕鱼模型中,如果渔场鱼量的自然增长仍服从Ｌogｉｓtic规律，而单位时间捕捞量为常数ｈ.(１)分别就hrN/4,hrN/4，hrN/4这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况.(2)如何获得最大持续产量,其结果与6．1节的产量模型有何不同．解:设时刻ｔ的渔场中鱼的数量为，则由题设条件知:变化规律的数学模型为xtxtdx(t)rx(1x)hNdt记Fxrx()(1x)hN(１).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：，得rx(1x)h0．由Fx0Nrx2rxh01即Nr2r(r4h)4rh,NNN14hrN2N(1)的解为:x1,2第一章作业解答第28页共35页①当hrN/4②当hrN/40,,（1)无实根,此时无平衡点;Nx.200,,（1)有两个相等的实根，平衡点为xrx(x)r(1)r2rx,()0Fx不能断定其稳定性．F''0NNNdxxrN0，即．不稳定;4dt但xx及均有xx()0Fxrx(1)x000N③当hrN/4,0时,得到两个平衡点:N14hNrNN14hNrNx1，x222N易知:x,Nx2F(x)0F(x)0，'，'22112.x不稳定，平衡点x稳定12平衡点(2)最大持续产量的数学模型为hrN/4maxhs.t.F(x)0hrN/4hrN/4rx1x/Nx即maxhrx(1)，ﻩNNrN此时，易得xhN/2*0x1x2x24N2这个平衡点不稳定．这是与６．1节的产量模型不同之处．但x*0NNN要获得最大持续产量，应使渔场鱼量,且尽量接近，但不能等于．x222第八章（2008年12月９日）1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素,画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构,拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个图.解：目标层越海方案的最优经济效益准则层省收岸间当地建筑时入商业商业就业第一章作业解答第29页共35页方案层建桥梁修隧道设渡轮２.简述层次分析法的基本步骤.问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么?答:层次分析法的基本步骤为:（1).建立层次结构模型；（2)．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验;（４)．计算组合权向量并做组合一致性检验．对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题,用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这３个层次．目标层是选择工作岗位,方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位３等,准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等．3.用层次分析法时,一般可将决策问题分解成哪3个层次?试给出一致性指标的定义以及n阶正负反阵A为一致阵的充要条件.答:用层次分析法时,一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次；一致性指标的定义为：nn1．n阶正互反阵A是一致阵的充要条件为：A的最大特征根=n．CI7.右下图是５位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗?找出几条完全路径，用适当方法排出５位选手的名次．解:这个5阶竞赛图是一个５阶有向Hamiltｏｎ图.其一个2有向Haｍilton圈为314523．所以此竞赛图是双向连通的.4512324531135312431452等都是完全路径．此竞赛图的邻接矩阵为01010001105A1000040010111100令e1,1,1,1,1T,各级得分向量为第一章作业解答第30页共35页SAe2,2,1,2,3T,S2AS14,3,2,4,5T，14AS313,11,7,13,17S3AS27,6,4,7,9,STT由此得名次为5，1(4）,2，3(选手1和4名次相同).第九章(2０08年12月23日)一报童每天从邮局订购一种报纸,沿街叫卖,第二天削价可以全部卖出,但报童每100份报纸要赔r是一随机变量,其概率分布如下表：)０１2.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉4元.报童每天售出的报纸数售出报纸数r(百份345P(r)概率0.050.10.250.350.１50.1试问报童每天订购多少份报纸最佳（订购量必须是100的倍数）?f(r)7r(4)(nr)rn解：设每天订购n百份纸，则收益函数为:rn7n收益的期望值为G(n）＝rnPr+n(114)()7nP(r)r0rn1现分别求出n=0,1,2,3,4,5时的收益期望值．4G（0)=0;G(1）＝×0.0５＋7×０．1+7×（0.25+0.35＋０．1５+0.１）＝6.45;G(2)=(80.0530.1140.25)14(0.350.150.1)11.8;Ｇ（3)=(120.0510.1100.25210.35)21(0.150.1)14.4Ｇ(4)=（160.0550.160.25170.35280.15)280.113.15=200.0590.120.25130.35240.15350.110.25G(5）当报童每天订30０份时，收益的期望值最大.《数学模型》作业解答第一章(2008年9月9日）4.在“椅子摆放问题”的假设条件中,将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解．解：设椅子四脚连线呈长方形ABＣD.AB与ＣＤ的对称轴为x轴,用中心点的转角第一章作业解答第31页共35页、B与地面距离之和记为f();Ｃ、D与地面距离之和.将相邻两脚Ａ表示椅子的位置记为g()．并旋转180.于是，设f(0)0,g(0)0,就得到g0,f0.0g是0,2上的非负连续函数.若0,2,有数学模型：设f、fg0,且g00,f00,g0,f0,则0,2,使00.0fg0h()f()g().就有h(0)0,h()f()g()0g()0.模型求解:令hg的连续性,得到h是一个连续函数.从而是上的连续函0,再由f,,使数.由连续函数的介值定理：0,h0.即0,,使0000.0fg0g0.又因为0,2,有fg0.故f008.假定人口的增长服从这样的规律：时刻t的人口为x(t),单位时间内人口的增量与xx(t)成正比（其中x为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模mm型、