弹性力学试题及标准答案

实用文档实用文档.弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、一形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力,它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的,是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1MT%5、弹性力学的根本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。7、一点处的应力分量b=100MPa，b=50MPa，t=10^/50MPa，那么主应力G=150MPa，TOC\o"1-5"\h\zxyxy1b=0MPa，a=3516'。2_18、一点处的应力分量，b=200MPa，b=0MPa，t=—400MPa，那么主应力b=512MPa，xyxy1b=-312MPa，a=-37°57'。219、一点处的应力分量，b=—2000MPa，b=1000MPa，t=—400MPa，那么主应力b=1052MPa，xyxy1b=-2052MPa，a=-82°32'。2110、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两局部。15、每个单元的位移一般总是包含着两局部：一局部是由本单元的形变引起的，另一局部是由于其他单元发生了形变而连带引起的。16、每个单元的应变一般总是包含着两局部：一局部是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一局部是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。17、为了能从有限单元法得岀正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时,也能在整个公共边界上具有相同的位移。19、在有限单元法中，单元的形函数N在i结点N=1；在其他结点N=0及EN=1oiiii20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是

采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。二、判断题〔请在正确命题后的括号内打“丁〃，在错误命题后的括号内打“X〃〕1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。〔V〕5、如果某一问题中，◎=0，只存在平面应力分量b,G,T，且它们不沿Z方向变zzxzyxyxy化，仅为x,y的函数，此问题是平面应力问题。〔V〕6、如果某一问题中，S===0，只存在平面应变分量£，£，丫，且它们不沿z方向变化,zzxzyxyxy仅为x,y的函数，此问题是平面应变问题。〔V〕9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。〔V〕10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。〔V〕14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。〔V〕15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。〔V〕三、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑以下平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。〔1〕b=Ax+By,b=Cx+Dy,t=Ex+Fy；TOC\o"1-5"\h\zxyxy〔2〕b=A(x2+y2)，b=B(x2+y2)，t=Cxy；xyxy其中，A,B,C,D,E,F为常数。dbQt+——=0dxdy解：应力分量存在的必要条件是必须满足以下条件：〔1〕在区域内的平衡微分方程LQQbQt—+=0QyQx2〕在区域内的相容方程上+竺£2〕在区域内的相容方程上+竺£+bjQx2Qy2丿xy3〕在边界上的应力边界条件+lt+ltyxy+mtyx4〕对于多连体的位移单值条件。)=fC)4〕对于多连体的位移单值条件。sx)=f(s)；sy〔1〕此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F,D=-E。此外还应满足应力边界条件。〔2〕为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、应力分量b=-Qxy2+Cx3,a=—?Cxy2,t=-Cy3-Cx2y,体力不计，Q为常数。试利x1y22xy23用平衡微分方程求系数C1,C2,C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程dGdTx-茫=0dxdydGdT+严=0dydx—Qy2+3Cx2—3Cy2—Cx2=0123—3Cxy—2Cxy=0233)3)3CC2—C+1C1C

GG；2—)xy=O由x，y的任意性，得'3C—C=013<Q+3C=023C+2C=023由此解得，C=,C=—¥,C=3、应力分量G=—q,xTOC\o"1-5"\h\z13、应力分量G=—q,xG=—q,T=0，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。yxy解：将应力分量G=—q，G=-q，T=0,代入平衡微分方程xyxyx+yx+X=0dxdyQg3t斗+叫+Y=0dydx可知，应力分量G=—q，xG=—q，T可知，应力分量G=—q，x按应力求解平面应力问题的相容方程：d2d2d2T(G—VG)+(G—VG)=2(1+V)xydy2xydx2yxdxdy将应力分量G=—q，G=—q，T=0代入上式，可知满足相容方程。xyxy按应力求解平面应变问题的相容方程：d2Vd2V2d2T(G—G)+(G—G)=xydy2x1—Vydx2y1—Vx1—Vdxdy

将应力分量b=-q,b=-q,t=0代入上式，可知满足相容方程。xyxy4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑以下平面问题的应变分量是否可能存在。⑴£=Axy,s=By3,y=C-Dy2；xyxy〔2〕£=Ay2，£=Bx2y，y=Cxy；xyxy〔3〕£=0，£=0，y=Cxy；xyxy其中，A,B,C,D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即d2sd2£d2yx+A=亠dy2dx2dxdy将以上应变分量代入上面的形变协调方程,可知：〔1〕相容。〔2〕2A+2By=C〔1分〕；这组应力分量假设存在，那么须满足：B=0,2A=C。⑶0=C；这组应力分量假设存在，那么须满足：C=0,那么£=0,£=0,y=0〔1分〕。xyxy5、证明应力函数9=by2能满足相容方程，并考察在如下图的矩形板和坐标系中能解决什么问题〔体力不计，b工0〕。nih/2xh/2.l/2l/2I解：将应力函数P=by2代入相容方程dx4dx2dy2dy4可知，所给应力函数P=by2能满足相容方程。由于不计体力,对应的应力分量为=2b,bd=2b,bdx2=0,txydxdy=0对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，hy=-2，l=0，m=-1，f=-(t).=上边，hy=-2，l=0，m=-1，f=-(t).=0，f=-(◎)xyhy=-2yh=0；y=-2下边，hy=—，l=0，m=1，f=(t).=0，f=(◎).=0；xxhy=2左边，lx=-2，l=-1，m=0，f=-(b)xx=-=-2b，12f=-(T)xyl=0；丄x=-21x=t，l=1，m=0，f=(b)xxf=(T=2b，12可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数右边，xyx==0。129=by2能解决矩形板在x方向受均布拉力〔b〉0〕和均布压力〔b〈0〕的问题。6、证明应力函数Q=axy能满足相容方程，并考察在如下图的矩形板和坐标系中能解决什么问题〔体力不计，a工0〕。解：将应力函数Q=axy代入相容方程+竺=+竺=0+2dx4dx2dy2dy4可知，所给应力函数Q=axy能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为a宜=0，c旦=0，t=4=-axdy2ydx2xydxdy对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，hy=-2，l=0，m=-1，f=-(t).=a，f=-(a)xyhy=-2yh=0；y=-2下边，hy=—，l=0，m=1，f=(t)xx=-a，hy=2f=Q)h=0；h'2左边，x=-2，17m=0，f=-(b)xxx=-=0，丄2f=-(T)=a；xylx=-2右边，lx=—2lT,m=0,f=(g)=0,f=(t)二一a右边，lx=—2xxlyxy厶x=x=22可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a,而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数®=axy能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如下图的矩形截面的长坚柱，密度为P，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。x解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设b=0。x由此可知xdy2将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式将上式代入应力函数所应满足的相容方程那么可得d4fi(x)jd4f2(x)dx4dx4=0这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解〔全柱内的y值都应该满足它〕可见它的系数和自由项都应该等于零，即=0dx4d4f\x)dx4=0这两个方程要求f(x)=Ax3jBx2jCxjI，f(x)=Dx3jEx2jJxjK12代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得申=y(Ax3+Bx2+Cx)+Dx3+Ex2对应应力分量为xdy2d20b==y(6Ax+2B)+6Dx+2E-pgyydx2t=-d20=-3Ax2-2Bx-Cxydxdy以上常数可以根据边界条件确定。左边，x=0，l=-1，m=0，沿y方向无面力，所以有-(t)=C=0xyx=0右边，x=b，1=1，m=0，沿y方向的面力为q,所以有(t)=-3Ab2-2Bb=qxyx=b上边，y=0，1=0，m=-1，没有水平面力，这就要求r在这局部边界上合成的主矢量和主矩xy均为零，即fb(T)dx=00xyy=0将t的表达式代入，并考虑到C=0,那么有xyJb(fb(T)dx=00xyy=0将t的表达式代入，并考虑到C=0,那么有xyJb(-3Ax2-2Bx)dx=-Ax3-Bx2|b=-Ab3-Bb2=0而fb(r)・0dx=0自然满足。又由于在这局部边界上没有垂直面力，这就要求r在这局部边界上0xyy=0y合成的主矢量和主矩均为零，即JbQ)dx=0,0yy=0b(G)xdx=00yy=0将G的表达式代入，那么有y[b(6Dx+2E)dx=3Dx2+2毗=3Db2+2Eb=0Jb(6Dx+2E)xdx=2Dx3+Ex20b=2Db3+Eb2=00由此可得A=-b，B=q，C=0，D=0，E=0应力分量为G=0,G=2qf1-耳_Pgy,xybIxtxy=qXf3X-2]bIb丿虽然上述结果并不严格满足上端面处〔y=o〕的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=o处这一结果应是适用的。8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为f=-〒，x0xdVd20d20f=-，其中V是势函数，那么应力分量亦可用应力函数表示为，G=+V,G=+V，ycyxoy2yex2T=-哭，试导出相应的相容方程。xyexey证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量7，GxyT应当满足平xy衡微分方程0gOTyx,OV=0Oxl-OyOxOGOT+iy-OV=01分〕OyOxOy还应满足相容方程X+bLg+』乞+乞ISxSy丿〔对于平面应力问题〕xy++Qxy)_1(Sff厶一+l-y(SxSy丿

对于平面应变问题〕并在边界上满足应力边界条件〔1分〕。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。首先考察平衡微分方程。将其改写为TOC\o"1-5"\h\z—(b—v_oSxxSy<s()St一G—V+—x^_0SyySx这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为£(b-v)SxxSyyx使得根据微分方程理论，一定存在某一函数A〔x，y〕，使得b—b—V=SAxSySA—T_-yxSx同样，将第二个方程改写为2C—vleC)〔i分〕yx可见也一定存在某一函数B〔x,y〕，使得_SByxSy由此得代入以上各式，得应力分量SASBA旦，B旦SySxbQ+V，b旦+V,xSy2ySx2Txy_S2*dxdy为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数*6,y)必须满足一定的方程,将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得竺+V+竺dy2dx2+V1=(1+简写为£x2dy2人(d20d20_2_+_2_

dy2dx2丿=—2'd2+d2'.dx2dy2丿V4Q=—(l—卩)V2V将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得'd2d2Y+(dx2d2人旦+V+凹+Vdy2dx2简写为(d20d20_+_Ldy2dx2丿=—2'd2+jdx2、1'd2Jd2'L丿1-y\(dx2Idy2丿d2\1(d2V++內2丿1—|L1(dx2VV4^=—1—2”V2V1一卩9、如下图三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为P，试用纯三次的应力函数求解。解：纯三次的应力函数为申=ax3+bx2y+cxy2+dy3相应的应力分量表达式为txy=—dxdy=—2bxtxy=—dxdy=—2bx—2cyg=—xf=2cx+6dy,c=—yf=6ax+2by—pgy,xdy2xydx2y这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适中选择各个系数，是否能满足应力边界条件。上边，y=0，l=0，m=—1，没有水平面力，所以有—(t)=2bx=0xyy=0对上端面的任意x值都应成立，可见b=0同时，该边界上没有竖直面力，所以有

对上端面的任意x值都应成立，可见因此，应力分量可以简化为—(b)=6ax=0yy=0a=0b=2cx对上端面的任意x值都应成立，可见因此，应力分量可以简化为—(b)=6ax=0yy=0a=0b=2cx+6dy，xb=-pgy，e=-2cyyxyk2=-sina，m=cos(—a)=cosa=-sina，m=cos(—a)=cosa，没有面力，所以有xyx\=xtanamb+le=0

yxyy=xtana由第一个方程，得-(2cx+6dxtana\ina-2cxtanacosa=-4cxsina-6dxtanasina=0对斜面的任意x值都应成立，这就要求-4c-6dtana=0由第二个方程，得2cxtanasina-pgxtanacosa=2cxtanasina-pgxsina=0对斜面的任意x值都应成立，这就要求2ctana-pg=0〔］分〕由此解得c=1pgcota〔1分〕，d=—1pgcot2a23从而应力分量为b=pgxcota-2pgycot2a,b=-pgy,e=-pgycotaxyxyh设三角形悬臂梁的长为l,高为h,那么tana=了。根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿x方向的分量为0,沿y方向的分量为-2p曲。因此，所求bx在这局部边界上合成的主矢应为零,exy应当合成为反力-2Pglh。Jh(b)dy=/cota-2pgycot2ady=pglhcota-pgh2cot2a=00xx=l0Jh()dy=Jh(-pgycota')dy=—pgh2cota=^-pglh

0xyx=l022可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。x10、设有楔形体如下图，左面铅直，右面与铅直面成屈，下端作为无限长，承受重力及液体压力,楔形体的密度为p，液体的密度为p2,试求应力分量。

解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的x函数形式。取坐标轴如下图。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两局部组成：一局部由重力引起，应当与pg成1正比〔g是重力加速度〕另一局部由液体压力引起，应当与Pg成正比。此外，每一局部还与a，x，y有关。由于应力2的量纲是L-iMT-2，pg和pg的量纲是L-2MT-2，a是量纲一的12量，而X和y的量纲是L,因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是AP1gx，BP1gy，Cp2gx，Dp2gy四项的组合，而其中的A,B，C，D是量纲一的量，只与a有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式，因此，假设申=ax3+bx2y+cxy2+dy3相应的应力分量表达式为d2Qd2®d20g二-xf=2cx+6dy,c=-yf=6ax+2by-pgy,T=-=-2bx-2cyxdy2xydx2y1xydxdy这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适中选择各个系数，是否