塑性本构方程

第八章E塑va形lua本tio构n

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Ltd.引言:塑性变形规律的复杂性,到目前为止这个塑性本构关系问题还没有得到满意的解决.经典塑性本构关系的理论分为两大类:(1)全量理论,又称为形变理论,它认为在塑性状态下仍有应力和应变全量之Ev间al的ua关t系io.n包on括ly：.ateHdenwciktyh(亨As奇po)理s理e论.S（li1d9e2s4）fo：r不.N考ET虑3弹.5性C变li形en和t材Profi料硬化。C（o（p理yr想ig刚ht塑2形00模4-型2）011

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Ltd.Nadai理论（1938）：考虑有限变形和材料硬化，但总变形中不考虑弹性变形。Il’yushin(伊柳辛)理论（1943）：考虑有限变形和材料硬化。(2)增量理论,

又称为流动理论,

它认为在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间的随动关系.增量理论能够反映应力历史的相关性，但数学处理相对复杂。塑性力学早期的增量理论有Levy-Mises(莱维-米泽斯)理论和Prandtl-Reuss(普朗特-罗伊Ev斯a)l)理ua论ti.on

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wi2t0h世A纪s纪p5o0s年e.代Sl，i随d随e着s

fDrourc.kNerE公T

3设.和5和C稳li定e材nt料Profi的定义C，o正py交ri流gh动t法20则04概-念2念0的11提A出sp，os塑e

性Pt力y

学Lt有d.了很大的发展。这些定义和概念建立了屈服面或加载面与塑性应变的联系，为塑性应力-应变关系的描述提供了统一方法。Shield和Ziegler指出,建立塑性本构关系需要考虑三个基本要素:yy(1)初始屈服条件;(2)流动法则;(3)加载条件.其中(1)在第六章已经解决,本章要解决第(2);(3)点.Evaluation

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Ltd.§8-1 塑性应变增量进入塑性状态后，应变不仅取决于应力状态

，而且还取决于达到该应力状态的历史，描述历史引入一个内变量

。Evaluation

only.at材ed料w从i从t当h

A前s状po态se卸.S载li后d，es恢f复o复r的.N应E变T

3为.弹5弹C性li应e变nt，P保r保ofi留的应变为C塑op性yr应ig变ht。2即00在4某-某2一01状1

态As下po的se应P变ty可L分td解.

为：假设卸载过程为弹性与开始卸载时的E应va力luat和i内on变o量nly.有关ated

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ProfiCopyri非gh线t弹20性04-2011

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Ltd.加载塑性引起弹性性质改变为常张量，可由弹性本构方程确定弹性本构方程Evaluation

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Ltd.卸载过程中卸载完成，应力状态为零，

对应的残余变形即塑性应变：Evaluation

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Ltd.对应的塑性增量由：

得：由：

得：屈服面法线方向的梯度方向卸载.§8-2 加卸载判别准则(1)理想塑性材料的加载和卸载准则.理论塑性材料是无硬化的,屈服条件与加载历史无关,,初始屈服面和后继屈服面是重合的.即如图所示弹性状态;Evaluation

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Cli加en载t

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Ltd.卸载中性变载加载卸载(2)硬化材料的加,卸载准则.对于硬化材料,后继屈服面和初始屈服面不同,与塑性变形的大小和历史有关.加,卸载准则为:加载;卸载.生新的塑性变形.Evaluation

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Ltd.后继屈服面中性变载;中性变载是指不产§8-3

Drucker公设和Ilyushin公设一、Drucker公设1.稳定材料和不稳定材料.材料的拉伸应力应变曲线可能有:Evaluation

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Ltd.所示的材料,随加载应力,应变都增加,材料是硬化的.

在这一变形工程中,附加应力在应变增量上作正功,这种特性的材料被称为稳定材料或硬化材料.

所示,应力应变曲线在过D点以后,

应变增加,应力减小,此时应力增量作负功,

这种特性的材料被称为材料不稳定或软化材料.

所示,与能量守恒矛盾,所以不可能.2.Drucker公设从右边的单向拉伸应力应变曲线看,对于稳定材料,如果从开始加载到再到,然后卸载,此时弹性应变可以恢复,相应的弹性形不能恢复被保留下来,消留下来.它们是恒大于零的:第二式中的等号适用于理想塑性材料.Drucker把它引伸到复杂应力情况,这就是Drucker公设.Drucker公设在塑性力学中有重要意义.应变能完成释放,但塑性变Evaluation

only.at耗ed的w塑i性th应A变sp能o是se图.上Sl的i红des

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Profi框包围的两块Co面p积yrA,iBg被ht保2004-2011

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Ltd.3.屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来,由Drucker公设的第一式,把它看成是两个矢量的点积.图示即面内, 的活动范围是 点的切线方向到反切线方向(),要与它夹角是锐角就一定在法线方向上,并且屈服面一定是外凸的.如果屈服面不是外凸的,如左图所示,夹角有可能是钝角,Drucker公设不成立.为这两个矢量的夹角,E必va定l为ua锐t角io.n

only.at在ed这w种i情th况A下sp,ose一.S定l在id屈e服s

面for

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Profi点的外法线方Co向pyr上i,g因ht为20点04在-屈20服11

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Ltd.因为,所以这就是加载准则.上面提到 是在屈服面的 点的外法线方向上.

这称为

塑性应变增量的法向性.

我们知道如果屈服函数为势函数,

屈服面即为等势面,

它的外法线方向和它的梯度方向一致,

则和梯度矢量的分量成正比,即其中 为一个大于零的比E例v例a系lu数a.t称i为o为n与o屈nl服y条.

件相关联的ate塑d性w流it动h法A则sp.o也s称e.为S塑li性d应e应s变f增or量.的N正ET交3流.动5

法Cl则ient

Profi对研究塑性力Co学p的y的r本ig构h关t系20有0重4-要2意01义1.Aspose

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Ltd.Drucker公设的第二式是加载准则.它的几何意义是当不为零时, 的方向必须指向加载面外法线一侧,

即二、Ilyushin共设Drucker共设是在应力空间中进行讨论的，只适用于稳定材料。对应变软化材料（非稳定材料）---岩土材料---不能完全适用。Ilyushin在应变空E间va中lu提a出ti的on塑o性nl共y.设可适用于ated稳w定it材h

料As和po非se稳.定Sl材id料es。for

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Profi将加载C面op中yr的i应gh力t

由20应04变-2表0示11，A得sp到os应e变Pt空y间Lt表d.示的加载面。Ilyushin共设认为：在一个应变循环中，只要产生塑性变形，外力所做的功不小于零。在弹性范围内,广义Hooke定律可以表达为也可以表示为:我们来证明一下:所以可以写成两个相应分解张量之间的关系.§8-4全量理论及本构方程（p:278)Evaluation

only.ated由w应i力th和A应sp变o的se分.解Sl式i,d即es

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Profi代入上面广Co义pHyoroikeg定ht律2的0公04式-,2考01虑1到Aspose

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Ltd.所以也可写成如下形式当应力从加载面卸载,也服从广义Hooke定律,写成增量形式这是七个方程第二个式子是六个方程,但因为有

,

所以有5个是独立的.从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致的.

应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比.第二式也可以写成 ,把它代入等效应力的表达式就可以得到下面的第二E式v,a然lu后a有tion

only再.代回上面第ated一w式i得th到A下sp面o的se第.二Sl式i.des

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Ltd.—、全量理论Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本构关系,这是一个全量型的关系,类似于广义Hooke定律.在小变形的情况下作出下列关于基本要素的假定:体积变形是弹性的,即塑性应变张量和应E力v偏al张ua量t成io比n例only.ated总w的it偏h应A变sp张o量s量e：.Slides

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Ltd.这个假定就是应力和应变的定性关系,即方向关系和分配关系.方向关系指应变偏量主轴和应力偏量主轴重合,也即应变主轴和应力主轴重合,而分配关系是指应变偏量和应力偏量成正比.形式上和广义Hooke定律相似,但这里的比例系数不是

一个常数.这是一个非线性关系.下面我们来看一下这个系数等于什么?因为等效应力和等效应变的公式为:出的 曲线与单轴拉伸时的 曲线相近，在工定

。把 代入上面右式并考虑上面左式得到(3)等效应力是等效应变的函数

,实验证明：当材料为不可Ev压al缩u时at，i按on照o不n同ly应.力路径所得ated程w计i算th中A视s为p为o相se同.。Sl即i单de一s曲f线or假.定NE.可T

用3.单5轴Cl拉i伸en曲t线P确rofiCopyright

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Ltd.综上所述,全量型塑性本构方程为注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律.加载的标志是等效应力E成va单lu调a增ti长o.n

on下ly降.时为卸载过ate程d

,wi它t服h

从As增p量osHeoo.kSel定i律de.s

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Ltd.对可压缩材料，按照不同应力路径所得出的 曲线与单轴拉伸时的 曲线不一致，不能用单轴拉伸曲线确定

。对单一曲线假定做修改，表述为：按照不同应力路径所得出的 曲线与单轴拉伸时的 曲线一致。Evaluation

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Ltd.二、全量理论的基本方程及边值问题的提法设在物体

内给定体力

,在应力边界

上给定面力

,

在位移边界

上给定位移为E,valuation

only.at要ed求w确it定h

物A物s体po内se处.S于l塑i塑des

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Profi性变形状态C的op各yr点ig的h应t应2004-2011

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Ltd.

力

,

应变

和位移

.按照全量理论,确定这些基本未知量的基本方程有平衡方程几何方程Evaluation

only.ate本构wd本i方th程Aspose.Slides

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Ltd.其中边界条件这就是对于全量理论的塑性力学的边值问题.三、全量理论的适用范围全量理论适用小变形并且是简单加载.简单加载：在加载过程中物体每一点的各个应力分量按比例增长.即其中 是某一非零的参考应力状态,是单调增加的参数.向都保持不变.这样定义的简单加载说明E,v在al加u载at时i物on体o内n应l应y变.和应力的主方ate•d但w是it物h体A内sp的o内s内e力.S是l不id能e事s

先fo确r定.的NE,T那3么.5如C何l判ie断n加t

载P载r过ofi程是简单加C载o?pyIlr’igyuhsthi2n0指04出-,2在01符1合A下sp列o三s三e个P条ty件L时t,d可.以证明物体内所有各点是处于简单加载过程:荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零.材料是不可压缩的.等效应力和等效应变之间幂指数关系,即这就是Il’yushin简单加载定律.有人认为只有第(1)条就可以了.§8-5理想弹塑性材料的增量本构关系一、Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss流动法则塑性应力应变关系的重要特点时它的非线性和不唯一性.全量理论则企图直接建立全量形式表示的与加载路径无关的本构关系,一般是不正确的E.valuation

only.ate本d构w关it系h应A该sp是os它e们.S的l增id量e之s

间fo的r关.N系E.T这3就.5是C增l量i量e理nt论P,r也ofi就是流动法则Co.pyright

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Ltd.这里介绍两个增量理论.即Levy-Mises流动法则和Prandtl-

Reuss流动法则.1.

Levy-Mises流动法则

这个理论认为应变增量主轴和应力主轴重合,

应变增量分量与相应的应力偏量分量成比例,

即式中的比例系数决定于质点的位置和荷载的水平.这一理论是

Levy和Mises分别在1871年和1931年独立提出的,所以被称为

Levy-Mises流动法则.这个关系式不包括弹性变形部分,所以只适用刚塑性体.2.

Prandtl-Reuss流动法则

这个理论考虑了塑性状态变形中又由塑性不可压缩性,体积变化是弹性的,有Reuss流动法则Evaluation

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Profi的弹性变形部Co分p,y并ri认g为ht弹2性00变4形-2服0从11广A义sHpoooskee定P律ty;L而t对d.于塑性变形部分,被认为塑性应变增量的主轴和应力偏量的主轴重合.即这就是Prandtl-二、理想弹塑性材料的增量本构方程对于理想弹塑性材料,后继屈服面和初始屈服面是重合的.若采用Mises条件,有屈服函数Prandtl-Reuss本构关系Evaluation

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Ltd.又因为应变比能的增量为上式第一项是体积比能增量,第二项为形状变形比能,记为这样考虑Levy-Mises定E律v有al:uation

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Ltd.所以有理想弹塑性材料的增量型本构方程可以写为如果塑应变增量比弹性应变增量大得多：或Levy-Mises本构关系即理想刚塑性材料的增量本构方程Evaluation

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Ltd.关于比例因子比例因子的

不能通过本构方程确定。对于一个材料的微元体，给定应力，使材料进入屈服后。公式确定的是塑性应变增量实际问题中，如已屈服的微元体周围的物体仍为弹性，由变形协调条件，微元体的变形要受到周围物体的限制，而不能任意发展，这时

是确定的。但不能由微元体本身的本构关系确定，而是由问题的整体条件确定。的讨论：的方向，E即va各lu分at量io的n

o比nl例y.关系，但ate大d

w小it是h任As意po的se，.S即lides是fo任r

意.N正ET值3.。5

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Ltd.§8-6 弹塑性硬化材料的增量型本构方程对于弹塑性硬化材料,采用等向硬化模型,取Mises屈服条件,即上式微分得到Evaluation

only.ated(对w于it理h想A弹s弹p塑os性eM.iSslesi条de件s为for.N)ET

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Ltd.去掉弹性理想弹塑性是函数 对自变量的导数,

有简单的物理意义,

见上图.在线性强化时 时常数.Evaluation

only.ate所d所w以ith

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Ltd.也称为塑性模量。将上面得到的 代入Levy-Mises流动法则就得到弹塑性硬化材料的增量型本构方程:或写成:Evaluation

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Ltd.例题3-1

如图所示,

一薄壁圆管,其材料的拉伸硬化曲线为线性.试根据增量理论分别对下列三种加载路径求管的总轴向应变

和切向应变(1)先拉后扭OAB

(2)先扭后拉OCBEvaluation

only.at(e3d)拉wi扭th同A时sp,o并se保.S持lides

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Profi比例,如C图oOpBy.right

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Ltd.屈服曲线解:根据题意薄壁圆管的应力只有在弹塑性阶段本构关系有:那么Mises屈服条件是一椭圆:名义应力为,

其它为零.F为塑性模量（

）下面分三个路径进行计算.Evaluation

only.ate每d一w加it载h路As径p分os为e弹.S性l和ides

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Profi弹塑性两个C阶o段py,right

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Ltd.在弹性阶段本构关系有:屈服曲线(1)OAB路径,分OA和AB段.OA段是弹性阶段,A点是屈服点,则有AB段是弹塑性阶段,从Mises屈服条件得Evalu保at持i不on变o,n,ly.at变ed化w,i其th它A应sp力os分e.量Sl为i零de,s则fo有r

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Ltd.代入弹塑性本构关系,沿路径AB积分,Evaluation

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Ltd.屈服曲线得到:屈服曲线总应变为Evaluation

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Ltd.屈服曲线(2)OCB路径总应变OC段是弹性阶段,C点是屈服点,则有Evaluation

only.atCeB段d段w是i弹th塑A性s阶po段s,e.Slides

f保or持.不NE变T,3.5

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Profi变化,其它应力分量为零,则有Copyright

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Ltd.代入弹塑性本构关系,Evaluation

only.ate沿d

路wi径thCBA积sp分os,e.Slides

fo并r加.N上ETOC3段.5变C形li，en得t

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Ltd.屈服曲线屈服曲线(3)OB路径总应变时屈服，即弹性阶段变形：Evaluation

only.ate弹d塑wi性t阶h

段As应p力os分e.量S：lides

for.，N其ET它3应.力5

分Cl量i为en零t。ProfiCopyright

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Ltd.代入弹塑性本构关系,Evaluation

only.ate沿d

路wi径th积A分sp,ose.Slides

for.并NE加T

上3.弹5

性Cl段ie变nt形P,r得ofiCopyright

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Ltd.屈服曲线可以看到应力状态相同,由于路径不同所得应变状态不同.(1)OAB路径总应变(2)OCB路径总应变Evaluation

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Ltd.(3)OB路径总应变§8-7增量理论的基本方程及边值问题的提法问题的提法 在加载过程的某一瞬时,

已知 ,

和外荷载的增量:Evaluation

only.ated求w:ith

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Ltd.基本方程这些基本物理量必须满足增量型基本方程.是卸载或中性变载, 是加载.其中边界条件在弹塑性区交界面上还应满足一定的连续条件.上述条件下可求出 这15个量,

然后叠加到原来的 上,

最后确定新的屈服面,

再求下一步增量.Evaluation

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Ltd.§8-8全量理论与增量理论的比较增量理论在加载过程中最后的应变状态取决于应变路径,而全量理论不管应变路径.特别是在中性变载情况,两者相差最明显.因为九个实验观察,对中性变载不产生塑性应变的改变,增量理论反映了这一特点,而按全量理论只要应力分量改变,塑性应变也要发生改变.这是因为加载条件中的中性变载就是增量理论

的塑性部分等于零.不能.在小变形且简单加载的情况下,这两个理论是一致的.现在我们来证明一下,下面是这两个理论.增量理论全量理论小变形且简单加载Evaluation

only.ate•d增w量i理th论A在sp中o性se区.可Sl以i保de证s应f力or应.变NE的T连3续.5性C,l而i全e全n量t理Pr论ofiCopyright

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Ltd.简单加载各分量成比例代入增量理论公式,因为简单加载所以在加载过程中主方向不变,又是小变形,下面积分存在.增量理论第一式有:Evaluation

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Ltd.增量理论第二式有:上面就证明了在简单加载,小变形情况下:增量理论=全量理论.虽然增量理论比较合理,但全量理论仍有很大的工程应用范围.这不仅因为全量理论适用于简单加载,数学处理方便,而且对于偏离简单加载一个相当大的范围全量理论也适用.Evaluation

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Ltd.§8-9塑性势理论前面所