勒让德多项式及球函数课件

第三篇特殊函数本篇主要内容：勒让德多项式及球函数；贝塞尔函数和柱函数.本篇重点：勒让德多项式和贝塞尔函数.本篇特点：加强了思维能力的训练,以及计算机仿真绘图在特殊函数中的应用.第三篇特殊函数本篇主要内容：勒让德多项式及球函数1第十九章勒让德多项式球函数19.1勒让德方程及其解的表示19.1.1勒让德方程勒让德多项式在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程第十九章勒让德多项式球函数19.1勒让德方程及其2

（19.1.1）在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程和球谐函数方程（19.１.2）(19.1.2)式的解与半径无关，故称为球谐函数，或简称为球函数．（19.1.13球谐函数方程进一步分离变量，令得到关于的常微分方程

（19.1.3）

称为阶连带勒让德方程.令

和

把自变数从换为，则方程（19.1.3）可以化为下列阶连带勒让德方程

形式的球谐函数方程进一步分离变量，令得到关于的常微分方程4

（19.1.4）

若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与无关，则，即有

（19.1.5）

称为阶勒让德（legendre）方程．

（19.1.4）若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即5同样若记，，则上述方程也可写为下列形式的阶勒让德方程

(19.1.6)

同样若记，，则上述方程也可写为下列形式的阶勒让德方程619．1．2勒让德多项式的表示1.勒让德多项式的级数表示我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解为

（19.1.7）式中

上式具有多项式的形式，故称为阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．19．1．2勒让德多项式的表示1.勒让德多项式的级数表示7式（19.1.7）即为勒让德多项式的级数表示．注意到,故可方便地得出前几个勒让德多项式:

式（19.1.7）即为勒让德多项式的级数表示．注意到,故可8勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真)得到勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真)9计算，这应当等于多项式的常数项．

如为（即为奇数）时，

则只含奇

数次幂，不含常数项，所以

（19.１.8）

（即为偶数）时，

则含有常数项，即

（19.１.7）中

的那一项，所以

（19.１.9）

式中记号

而因此，．计算，这应当等于多项式的常数项．如为（即为奇数）时，则只102勒让德多项式的微分表示

（19.1.10）

上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式．下面证明表达式(19.1.10)和（19.1.7）是相同的．【证明】

用二项式定理把展开2勒让德多项式的微分表示（11把上式对x求导次．凡是幂次的项在次求导过程中成为零，所以只需保留幂次的项，即的项，应取，并且注意到

因此有把上式对x求导次．凡是幂次的项在次求导过程中成为零，所以只需123.勒让德多项式的积分表示根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有容易证明微分表示（19.1.10）也可表示为环路积分形式

（19.1.11）为平面上围绕并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式．点的任一闭合回路，3.勒让德多项式的积分表示根据柯西积分公式的高阶导数，并取正13式（19.1.11）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分．

(19.1.12)【证明】

取为圆周，圆心在，半径为．在上有：并注意到式（19.1.11）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分．14代入（19.1.12）得到这即为勒让德多项式的拉普拉斯积分表示．从该积分还很容易看出

（19.1.13）

代入（19.1.12）得到这即为勒让德多项式的拉普拉斯积分表15利用拉普拉斯积分表示（19.1.12），还可以证明

，

（19.1.14）【证明】回到原来的变量，，则如从

利用拉普拉斯积分表示（19.1.12），还可以证明，1619.2勒让德多项式的性质19.2.1勒让德多项式的性质

1.勒让德多项式的零点对于勒让德多项式的零点，有如下结论：（i）的个零点都是实的，且在内；（ii）的零点与的零点互相分离．

2.奇偶性根据勒让德多项式的定义式，作代换容易得到

（19.2.1）

即当为偶数时，勒让德多项式为偶函数，为奇数时为奇函数

19.2勒让德多项式的性质19.2.1勒让德多项式的性173.勒让德多项式的正交性及其模不同阶的勒让德多项式在区间上满足(19.2.2)其中当时满足，(19.2.3)称为正交性．相等时可求出其模

(19.2.4)3.勒让德多项式的正交性及其模不同阶的勒让德多项式在区间上满18下面给出公式（19.2.2），及其模(19.2.4)的证明

【证明】（1）正交性

勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有两式相减，并在[-1,1]区间上对x积分，得下面给出公式（19.2.2），及其模(19.2.4)的证明19因为上面等式左边的积分值为所以当时，必然有

根据

成立．（2）模（利用分部积分法证明）为了分部积分的方便，把上式的用微分表示给出，则有因为上面等式左边的积分值为所以当时，必然有根据成立20注意到以为级零点，

故其阶导数

必然以为一级零点，从而上式已积出部分的值为零

再进行次分部积分，即得

注意到以为级零点，故其阶导数必然以为一级零点，从而上式已21是次多项式，其阶导数也就是最高幂项的阶导数为．故

再对上式分部积分一次容易看出已积出部分以为零点．

至此，分部积分的结果是使的幂次降低一次，的幂次升高一次，且积分乘上一个相应的常数因子．是次多项式，其阶导数也就是最高幂项的阶导数为．故再对上式分22继续分部积分（计次），即得

故勒让德多项式的模为

且有

继续分部积分（计次），即得故勒让德多项式的模为且234.广义傅里叶级数定理19.2.1在区间[-1,1]上的任一连续函数,可展开为勒让德多项式的级数

（19.2.5）

其中系数

(19.2.6)在实际应用中,经常要作代换,此时勒让德方程的解为，这时有

(19.2.7)

4.广义傅里叶级数定理19.2.1在区间[-1,124其中系数为

（19.2.8）19.2.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）

例19.2.1

将函数按勒让德多项式形式展开.【解】根据（19.2.5）设考虑到

，由(19.2.6)显然有其中系数为（19.2.8）19.2.2.勒让德多项式的应25所以例19.2.2

将函数展开为勒让德多项式形式

【解】用直接展开法令

，则由

我们知道：所以例19.2.2将函数展开为勒让德多项式形式【解26可设

考虑到勒让德函数的奇偶性，显然由项的系数，显然得出故有

可设考虑到勒让德函数的奇偶性，显然由项的系数，显然得出故有27下面我们给出一般性结论：结论1：设为正整数，可以证明：结论2：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数为奇函数，则展开式（19.2.5）系数若需展开的函数为偶函数，则展开式（19.2.5）系数

下面我们给出一般性结论：结论1：设为正整数，可以证明：结论28例19.2.3

以勒让德多项式为基，在[-1,1]区间上把展开为广义傅里叶级数．【解】本例不必应用一般公式，事实上，是三次多项式（注意既非奇函数，也非偶函数），设它表示为例19.2.3以勒让德多项式为基，在[-1,1]区间上把29比较同次幂即得到由此得到例19.2.4(p354-355)比较同次幂即得到由此得到例19.2.4(p354-3553019.3勒让德多项式的生成函数（母函数）

19.3.1勒让德多项式的生成函数的定义

如图19.2所示，设在一个单位球的北极放置一带电量为的正电荷，则在球内任一点（其球坐标记作）的静电势为

（19.3.1）

静电势遵从拉普拉斯方程，且以球坐标系的极轴为对称轴，

因此，应具有轴对称情况下拉普拉斯方程一般解(19.2.14)的形式，19.3勒让德多项式的生成函数（母函数）19.3.1勒31勒让德多项式及球函数课件32即

（19.3.2）

首先不妨研究单位球内的静电势分布．在球心，电势应该是有限的，故必须取

（19.3.3）

为确定系数，在上式中令，并注意到则得到

（19.3.4）

即（19.3.2）首先不妨研究单位球内的静电势分布．33将上式左边在的邻领域上展为泰勒级数

（19.3.5）

比较（19.3.4）和（19.3.5）即知

于是（19.3.3）成为

(19.3.6)若考虑单位球内、球外的静电势分布，则有

（19.3.7）

将上式左边在的邻领域上展为泰勒级数（19.3.534

于（19.3.6）中代入，即为

（19.3.8）

因此或叫作勒让德多项式的生成函数（或母函数）

于（19.3.6）中代入，即为（19.3.83519.3.2勒让德多项式的递推公式根据勒让德多项式的母函数可以导出勒让德多项式的递推公式．

先把（19.3.6）写成

（19.3.9）

对求导

对上式两边同乘以，得

（19.3.10）

19.3.2勒让德多项式的递推公式根据勒让德多项式的母函36相反，若对（19.3.8）两边对求导上式两边同乘以，得将（19.3.8）式代入上式左边得到

比较上式两边项的系数，得另一含导数的递推公式相反，若对（19.3.8）两边对求导上式两边同乘以，得将（137将（19.3.9）代入上式左边对上式，比较两边的项的系数，得即

（19.3.11）上式即为勒让德多项式的一个递推公式

将（19.3.9）代入上式左边对上式，比较两边的项的系数，得38例19.3.1求

【解】

例19.3.1求【解】39例19.3.2

求积分

【解】利用递推公式（19.3.11）

．

故有例19.3.2求积分【解】利用递推公式（19.3.114019.4连带勒让德函数19.4连带勒让德函数4119.5球函数19.5.1球函数的方程及其解1.球函数方程根据分离变量法，在球坐标系中将下列亥姆霍兹方程实施分离变量

(19.5.1)

式中

19.5球函数19.5.1球函数的方程及其解1.球42令

，

则得到由亥姆霍兹方程实施分离变量所满足的方程

(19.5.2)与拉普拉斯方程分离变量导出的方程欧拉方程（19.1.1）

(19.5.3)已经有所区别．关于(19.5.3)的解在贝塞尔函数部分讨论令，则得到由亥姆霍兹方程实施分离变量所满足的方程43而角度部分的解，满足下列方程

(19.5.4)上式由亥姆霍兹方程实施分离变量所得的方程（19.5.4）与拉普拉斯方程导出的（19.1.2）球函数方程具有相同的形式，仍为球函数（或球谐函数）．球函数方程（19.5.4）再分离变量，令得到两组本征值问题（i）

（19.5.5）本征值为

本征函数为

而角度部分的解，满足下列方程(19.5.4)上44(ii)

(19.5.6)本征值

本征函数

在

区域中求解，

得到与本征值相应的本征函数

实际上应由下列两个本征函数之积组成，即为

（19.5.7）其中是变量相应于本征值的本征函数；

是变量相应于本征值（对于确定的）的本征函数

(ii)(19.5.6)本征值本征函452.球函数表达式（1）复数形式的球函数表达式为了使得(19.5.7)所表示的函数系构成正交归一系，必须添加适当常系数，于是定义

(19.5.8)

为球谐函数的本征函数（相应于本征值，并称它为球函数（球谐函数）表达式．