【优化探究】高三数学二轮复习 专题演练1-6-1第一讲 空间几何体

PAGEPAGE6【优化探究】2023届高三数学二轮复习专题演练1-6-1第一讲空间几何体一、选择题1．(青岛摸底)如图，在以下四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()A．②③④B．①②③C．①③④ D．①②④解析：①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．答案：A2．(高考课标全国卷)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为eq\r(2)，那么此球的体积为()A.eq\r(6)π B．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)π D．6eq\r(3)π解析：利用截面圆的性质先求得球的半径长．如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，那么OO′＝eq\r(2)，O′M＝1，∴OM＝eq\r(（\r(2)）2＋1)＝eq\r(3)，即球的半径为eq\r(3)，∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.答案：B3．(高考江西卷)假设一个几何体的三视图如下图，那么此几何体的体积为()A.eq\f(11,2) B．5C.eq\f(9,2) D．4解析：三视图复原为实物图，利用六棱柱体积公式求解．由三视图可知，此几何体为直六棱柱，且底面的面积为4，高为1，那么体积V＝Sh＝4.答案：D4．(郑州模拟)一个几何体的三视图如下图，那么这个几何体的外表积为()A．6＋eq\r(5) B．6＋2eq\r(5)C．8＋eq\r(5) D．8＋2eq\r(5)解析：由三视图知，该几何体是一个底面为直角三角形的直棱柱，其外表积等于2×(eq\f(1,2)×1×2)＋(2×eq\r(12＋22)＋1×2＋2×2)＝8＋2eq\r(5)，选D.答案：D5．如图，正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为4，动点E、F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，那么三棱锥A′­EFQ的体积()A．与点E、F位置有关B．与点Q位置有关C．与点E、F、Q位置都有关D．与点E、F、Q位置均无关，是定值解析：因为VA′－EFQ＝VQ－A′EF＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×2×4)×4＝eq\f(16,3)，故三棱锥A′­EFQ的体积与点E、F、Q的位置均无关，是定值．答案：D二、填空题6．(高考山东卷)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，那么三棱锥D1­解析：利用三棱锥的体积公式直接求解．VD1­EDF＝VF­DD1E＝eq\f(1,3)S△D1DE·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)7．在三棱锥A­BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，那么该三棱锥的外接球的外表积为________．解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝62,b2＋c2＝52,c2＋a2＝52))，得a2＋b2＋c2＝43，即(2R)2＝a2＋b2＋c2＝43，易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的外表积为4πR2＝43π.答案：43π8．(高考辽宁卷)一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为________．解析：将三视图复原为直观图后求解．根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，所以S＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.答案：38三、解答题9．某商店门口标识墩的直观图以及正视图和俯视图如下图，墩的上半局部是正四棱锥P­EFGH，下半局部是长方体ABCD­EFGH.(1)请画出该标识墩的侧视图；(2)求该标识墩的体积．解析：(1)由于墩的上半局部是正四棱锥P­EFGH，下半局部是长方形ABCD­EFGH，故其侧视图与正视图全等．该标识墩的侧视图如下图．(2)由三视图易得，长方体与正四棱锥的底面均是边长为40cm的正方形，长方体的高为20cm，正四棱锥的高为60cm.故该标识墩的体积V＝VP－EFGH＋VABCD­EFGH＝eq\f(1,3)×40×40×60＋40×40×20＝64000(cm3)．10．已知某几何体的直观图和三视图如下图，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)假设M为CB的中点，证明：MA∥平面CNB1；(2)求这个几何体的体积．解析：(1)证明：取CB1的中点P，连接MP，NP.因为M为CB的中点，所以MP∥BB1，且MP＝eq\f(1,2)BB1.由三视图可知，四边形ABB1N为直角梯形，AN∥BB1且AN＝eq\f(1,2)BB1，那么MP∥AN且MP＝AN，所以四边形ANPM为平行四边形，所以AM∥NP.又因为AM平面CNB1，NP平面CNB1，所以AM∥平面CNB1.(2)因为该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，所以BC⊥BA，BC⊥B1B.又BB1与BA相交于点B，连接BN，所以BC⊥平面ABB1N，所以BC为三棱锥C­ABN的高．取BB1的中点Q，连接QN，因为四边形ABB1N是直角梯形且AN＝eq\f(1,2)BB1＝4，所以四边形ABQN为正方形，所以NQ⊥BB1，又BC⊥平面ABB1N，NQ平面ABB1N，所以BC⊥NQ，又BC与BB1相交于点B，所以NQ⊥平面C1B1BC，所以NQ为四棱锥N­CBB1C1的高．所以该几何体的体积V＝VC­ABN＋VN－CBB1C＝eq\f(1,3)CB·S△ABN＋eq\f(1,3)NQ·S四边形BCC1B1＝eq\f(1,3)×4×eq\f(1,2)×4×4＋eq\f(1,3)×4×4×8＝eq\f(160,3).11．(高考陕西卷)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝eq\f(π,2).(1)证明：CB1⊥BA1；(2)已知AB＝2，BC＝eq\r(5)，求三棱锥C1­ABA1的体积．解析：(1)证明：如下图，连接AB1.∵三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝eq\f(π,2)，∴AC⊥平面ABB1A1故AC⊥BA1.又∵AB＝AA1，∴四边形ABB1A1∴BA1⊥A