中考二次函数压轴题解题通法(重点中学整理)(同名4825)

第第页中考二次函数压轴题———解题通法研究二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，在宜宾市的拔尖人才考试中同样有二次函数大题，在成都，绵阳，泸县二中等地的外地招生考试中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。所以二次函数综合题自然就成了相关出题老师和专家的必选内容。我通过近６年的研究，思考和演算了上1000道二次函数大题，总结出了解决二次函数压轴题的通法，供大家参考。几个自定义概念：三角形基本模型：有一边在X轴或Y上，或有一边平行于X轴或Y轴的三角形称为三角形基本模型。动点（或不确定点）坐标“一母示”：借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式，用一个字母把该点坐标表示出来，简称“设横表纵”。如：动点P在y=2x+1上，就可设P（t,2t+1）.若动点Ｐ在ｙ＝，则可设为Ｐ（ｔ，）当然若动点M在X轴上，则设为（t,0）.若动点M在Ｙ轴上，设为（０，ｔ）．动三角形：至少有一边的长度是不确定的，是运动变化的。或至少有一个顶点是运动，变化的三角形称为动三角形。动线段：其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。定三角形：三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称为定三角形。定直线：其函数关系式是确定的，不含参数的直线称为定直线。如：ｙ＝３ｘ－６。X标，Y标：为了记忆和阐述某些问题的方便，我们把横坐标称为x标，纵坐标称为y标。直接动点：相关平面图形（如三角形，四边形，梯形等）上的动点称为直接动点，与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标“一母示”是针对直接动点坐标而言的。1.求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离”，还是“点线距离”，再运用两点之间的距离公式或点到x轴（y轴）的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进行化简，即可证得两线段相等。２、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为t），借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题： 先用点斜式（或称K点法）求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可。4、“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题（方法1）先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式（注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率（k）相等），再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y消掉，得到一个关于x的的一元二次方程，由题有△=-4ac=0（因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以-4ac=0）从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出x、y的值，即为切点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。（方法2）该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离。（方法3）先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导数等于定直线的斜率时，求出的点的坐标即为符合题意的点，其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。5.常数问题：（1）点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。（2）三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度，再表示出动点（其坐标需用一个字母表示）到定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。（3）几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K点法设出直线方程，求出与抛物线（或其它直线）的交点坐标，再运用两点间的距离公式和根与系数的关系，把问题中的所有线段表示出来，并化解即可。6.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点，其坐标很易求出（利用求交点坐标的方法）。7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题：“在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题（简称“一边固定两边动的问题）：割），列出面积方程”。19.“在相关函数解析式不确定（系数中还含有某一个参数字母）的情况下，题中又含有动图形（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”（即动解析式和动图形相结合的问题）。如果动图形不是基本模型，就先把动图形的面积进行转化或分割（转化或分割后的图形须为基本模型），设出动点坐标（一母示），利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程（或方程组）。解此方程，求出相应点的横坐标，再利用该点所在函数图象的解析式，表示出该点的纵坐标（注意，此时，一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式，这样会把所有字母消掉）。再注意图中另一个点与该点的位置关系（或其它关系，方法是常由已知或利用（2）问的结论，从几何知识的角度进行判断，表示出另一个点的坐标，最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式，得到仅含一个字母的方程，解之即可。如果动图形是基本模型，就无须分割（或转化）了，直接先设出动点坐标（一母式），然后列出面积方程，往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同。一句话，该问题简称“双动问题”，解题方法是“转化（分割），设点标，建方程，再代入，得结论”。中考二次函数压轴题分析【凉山州中考】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A,B,两点，抛物线经过A,B,两点，并与x轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点。(1)求抛物线的解析式及点C的坐标.(2)若点P在第二象限内，过点P作PDx轴于D，交AB于点E.当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时ＰＥ等于多少？YXYXOBPCA【广安市中考】在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=3/4。将△OAB绕着原点O逆时针旋转90o，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180o，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2。（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标；（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。【乐山中考】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标.【成都中考】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数(为常数)的图象与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线(为常数，且≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于，两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．【2013绵阳市中考】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；[来*源%:zz#step&@.com]ABCDOXYl（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使ABCDOXYl [中~国&%教*育出^版网][来&*~源:中^教%网]【自贡市中考】如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线B