工作范文小波分析理论

1第1章

小波分析的基本理论1.1

傅里叶变换到小波分析1.2

常用小波函数介绍◆1.3 连续小波变换1.4

离散小波变换◆1.5 矢量小波变换1.6 多分辨分析与Mallat算法◆1.7 提升小波变换◆1.8 小波包分析1小波分析属于时频分析的一种。传统的信号分析是建立在傅里叶(Fourier)变换的基础上的，但是，傅里叶分析使用的是一种全局的变换，即要么完全在时域，要么完全在频域，它无法表述信号的时频局域性质，而时频局域性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅里叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了幌盗行碌男藕欧治隼砺郏憾淌备道镆侗浠弧⑹逼捣治觥Gabor变换、小波变换、RandonWigner变换、分数阶傅里叶变换、线性调频小波变换、循环统计量理论和调幅－调频信号分析等。1其中，短时傅里叶变换和小波变换也是因传统的傅里叶变

换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅里叶变换

分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的

一个短时间间隔内是平稳(伪平稳)的，并移动分析窗函数，使f(t)g(t－t)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅里叶

变换是一种单一分辨率的信号分析方法(因为它使用一个固定的短时窗函数)，在信号分析上还存在着不可逾越的缺陷。1小波变换是一种信号的时间—尺度(时间—频率)分析方法，它具有多分辨率分析(Multi-resolutionAnalysis)的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。11.1.1

傅里叶变换傅里叶变换是众多科学领域(特别是信号处理、图像处理、量子物理等)里的重要的应用工具之一。从实用的观点看，当人们考虑傅里叶分析的时候，通常是指(积分)傅里叶变换和傅里叶级数。1.1

傅里叶变换到小波分析1定义1.1

函数f

(t)∈L1(R)的连续傅里叶变换定义为(1.1)F(w)的傅里叶逆变换定义为(1.2)1为了计算傅里叶变换，需要用数值积分，即取f(t)在R上的离散点上的值来计算这个积分。在实际应用中，我们希望在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作，对信号的要求是：在时域和频域应是离散的，且都应是有限长的。下面给出离散傅里叶变换(Discrete

FourierTransform，DFT)的定义。1(1.4)为序列{X(k)}的离散傅里叶逆变换(IDFT)。在式(1.4)中，n相当于对时间域的离散化，k相当于频率域的离散化，且它们都是以N点为周期的。离散傅里叶变换序列{X(k)}是以2p为周期的，且具有共轭对称性。1若f(t)是实轴上以2p为周期的函数，即f(t)∈L2(0，2p)，则f(t)可以表示成傅里叶级数的形式，即(1.5)傅里叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把f(t)这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和。这样我们就可将对原函数f(t)的研究转化为对其权系数，即其傅里叶变换F(w)的研究。从傅里叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。1在进行傅里叶变换时，如果能合理运用它的有关性质，运算将很方便。下面列出了傅里叶变换的一些常用性质。12.位移性质设F(w)为函数f(t)的傅里叶变换，则有(1.7)该性质表明，时间函数f(t)沿t轴向左或向右位移t0的傅里叶或

。变换等于f(t)的傅里叶变换乘以因子傅里叶逆变换亦具有类似的位移性质。14.积分性质设F(w)为函数f(t)的傅里叶变换，如果当t→＋∞时，，则有(1.9)15.乘积定理设F1(w)和F2(w)分别为f1(t)和f2(t)的傅里叶变换，则有和(1.10)分别为其中，f1(t)和f2(t)为t的实函数；F1(w)和F2(w)的共轭函数。16.能量积分设F(w)为函数f(t)的傅里叶变换，则有(1.11)该式又称为巴塞瓦(Parseval)等式。1f＝x＋3.5*randn(1，length(t))；%在信号中加入白噪声%画出原始信号的波形图subplot(321)；plot(f)；Ylabel(¢幅值¢)；Xlabel(¢时间¢)；title(¢原始信号¢)；y＝fft(f，1024)；

%对原始信号进行离散傅里叶变换，参加DFT的采样点个数为1024p＝y.*conj(y)/1024；

%计算功率谱密度1图1.11从图1.1(a)中我们看不出任何频域的性质，但从信号的功率谱图(图1.1(b))中，我们可以明显地看出该信号是由频率为50

Hz和300

Hz的正弦信号和频率分布广泛的白噪声信号组成的，也可以明显地看出信号的频率特性。1虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机地结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅里叶谱是信号的统计特性。从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅里叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。11.1.2

短时傅里叶变换由于标准傅里叶变换只在频域里有局部分析的能力，而在时域里不存在局部分析的能力，因此Dennis

Gabor于1946年引入了短时傅里叶变换(Short-time

FourierTransform)。短时傅里叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为(1.12)1其中，“*”表示复共轭；g(t)为有紧支集的函数；f(t)为被分析的信号。在这个变换中，ejwt起着频限的作用，g(t)起着时限的作用。随着时间t的变化，g(t)所确定的“时间窗”在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。因此g(t)往往被称为窗口函数，S(w，t)大致反映了时刻为t、频率为w时f(t)

的“信号成分”的相对含量。这样，信号在窗函数上的展开就可以表示为在［t－d，t＋d］、［w－e

，w＋e

］这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，d和e分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高。1图1.21由此可见，短时傅里叶(STFT)虽然在一定程度上克服了标准傅里叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数g(t)确定后，矩形窗口的形状就确定了，t、w只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。可以说STFT实质上是具有

单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数g(t)。因此，STFT用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率(即d要小)，而波形变化比较平缓的时刻，主频是低频，则要求比较高的频率分辨率(即e要小)，而短时傅里叶不能兼顾两者。11.1.3

小波分析小波分析方法是一种窗口大小(即窗口面积)固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为数学显微镜。正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。信号长度越长，频率分辨率越好1设y(t)∈L2(R)(L2(R)表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间)，其傅里叶变换为Y(w)。当Y(w)满足允许条件(Admissible

Condition)：(1.13)时，我们称y(t)为一个基本小波或母小波(Mother

Wavelet)。将母函数y(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列。1对于任意的函数f(t)∈L2(R)的连续小波变换为(1.16)其逆变换为(1.17)1小波变换的时频窗口特性与短时傅里叶的时频窗口不

一样。其窗口形状为两个矩形［b－aDy，b＋aDy］×［(±w0－DY)/a，(±w0＋DY)/a］，窗口中心为(b，±w0/a)，时窗和频窗宽分别为aDy和DY/a。其中，b仅仅影响窗口在相平面时间轴上的位置，而a不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是调节性的：在低频时，小波变换的时间分辨率较低，而频率分辨率较高；在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。1这便是它优于经典的傅里叶变换与短时傅里叶变换的地方。从总体上来说，小波变换比短时傅里叶变换具有更好的时频窗口特性。11.1.4

小波分析与傅里叶变换的比较小波分析是傅里叶分析思想方法的发展与延拓，它自产生以来，就一直与傅里叶分析密切相关，它的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅里叶分析，二者是相辅相成的。两者相比较主要有以下不同点。(1)傅里叶变换的实质是把能量有限信号f(t)分解到以{ejwt}为正交基的空间上去；小波变换的实质是把能量有限信号f(t)分解到W－j(j＝1，2，…，J)和V－j所构成的空间上去。1(2)傅里叶变换用到的基本函数只有sin(wt)、cos(wt)、exp(jwt)，具有唯一性；小波分析用到的函数(即小波函数)则具有不唯一性，同一个工程问题用不同的小波函数进行

分析有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析应用

到实际中的一个难点问题(也是小波分析研究的一个热点问

题)，目前，往往是通过经验或不断的试验(对结果进行对

照分析)来选择小波函数。1(3)在频域中，傅里叶变换具有较好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅里叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，如sin(w1t)＋0.345sin(w2t)＋4.23cos(w3t)。但在时域中，傅里叶变换没有局部化能力，即无法从信号f(t)的傅里叶变换F(w)中看出f(t)在任一时间点附近的性态。事实上，F(w)dw是关于频率为w的谐波分量的振幅，在傅里叶展开式中，它是

由f(t)的整体性态所决定的。(4)在小波分析中，尺度a的值越大相当于傅里叶变换中w的值越小。1(5)在短时傅里叶变换中，变换系数S(w，t)主要依赖

于信号在［t－d，t＋d］片段中的情况，时间宽度是2d(因为

d是由窗函数g(t)唯一确定的，所以2d是一个定值)。在小波变换中，变换系数Wf(a，b)主要依赖于信号在［b－aDy，b＋aDy］片段中的情况，时间宽度是2aDy，该时间宽度是随着尺度a的变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。1(6)若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅里叶变换不同之处在于：对短时傅里叶变换来说，带通滤波器的带宽Df与中心频率f无关；相反，小波变换带通滤波器的带宽Df则正比于中心频率f，即(C为常数)亦即滤波器有一个恒定的相对带宽，称之为等Q结构(Q为滤波器的品质因数，且有

)。1与标准傅里叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数y(x)具有多样性。但小波分析在工程应用中的一个十分重要的问题是最优小波基的选择问题，这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前，主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，并由此选定小波基。1.2

常用小波函数介绍1但在众多小波基函数(也称核函数)的家族中，有一些小波函数被实践证明是非常有用的。我们可以通过waveinfo函数获得工具箱中的小波函数的主要性质，小波函数y和尺度函数f可以通过wavefun函数计算，滤波器可以通过wfilters函数产生。在本节中，我们主要介绍一下MATLAB中常用到的小波函数。1在这里，我们画出db4和db8小波的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图1.4所示。Daubechies小波函数提供了比Haar组更有效的分析和综合。Daubechies系中的小波基记为dbN，N为序号，且N＝1，2，…，10。在MATLAB中，可以输入命令waveinfo(¢db¢)获得

Daubechies函数的一些主要性质。11.2.3

Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系Biorthogonal函数系的主要特性体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中，通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。众所周知，如果使用同一个滤波器进行分解和重构，对称性和重构的精确性将成为一对矛盾，而采用两个函数，将有效地解决这个问题。设函数用于信号分解，而函数y用于信号重构，则分解和重构的关系式为(1.21)1Biorthogonal函数系通常表示成biorNr.Nd的形式：Nr＝1

Nd＝1，3，5Nr＝2Nd＝2，4，6，8Nr＝3Nd＝1，3，5，7，9Nr＝4Nd＝4Nr＝5Nd＝5Nr＝6Nd＝8其中，r表示重构(Reconstruction)；d表示分解(Decomposition)。1在这里，我们画出bior2.4和bior4.4小波(分别用于分解与重构)的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图1.5所示。在MATLAB中，可输入命令waveinfo(¢bior¢)获得该函数的主要性质。11.2.5SymletsA(symN)小波系Symlets函数系是由Daubechies提出的近似对称的小波函数，它是对db函数的一种改进。Symlets函数系通常表示为symN(N＝2，3，…，8)的形式。在这里，我们画出sym4和sym8小波的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图1.7所示。在MATLAB中，可输入waveinfo(¢sym¢)获得该函数的主要性质。1图1.71当N为奇数时，k＝0；当N为偶数时，k＝1。式(1.30)可以用来构造滤波器。它的双尺度关系为(1.31)当N为偶数时，f是对称的，x＝1/2；当N为奇数时，f是反对称的，x＝0。11.2.10

其他一些实数小波简介下面介绍几个MATLAB工具箱中的实数小波函数。1.RbioNr.Nd小波RbioNr.Nd函数是reverse双正交小波。在MATLAB中，可输入waveinfo(¢rbio¢)获得该函数的主要性质。1f

(p)2＝1(1.35)在MATLAB中，可输入waveinfo(¢cgau¢)获得该函数的主要性质。12.Cmor小波Cmor是复数形式的morlet小波，其表达式为(1.36)其中，fb是带宽参数，fc是小波中心频率。在MATLAB中，可输入waveinfo(¢cmor¢)获得该函数的主要性质。13.Fbsp小波Fbsp是复频域B样条小波，表达式为(1.37)其中，m是整数型参数；fb是带宽参数；fc是小波中心频率。在MATLAB中，可输入waveinfo(¢fbsp¢)获得该函数的主要性质。14.Shan小波Shan函数是复数形式的shannon小波。在B样条频率小波中，令参数m＝1，就得到了Shan小波，其表达式为(1.38)其中，fb是带宽参数；fc是小波中心频率。在MATLABA中，可输入waveinfo(¢shan¢)获得该函数的主要性质。下面，我们将MATLAB工具箱中15个小波(或小波系)的一些主要的性质加以对比，见表1-1。1表1-1MATLAB工具箱中15个小波(或小波系)的主要性质1续表11.3.1

一维连续小波变换定义1.3

设y(t)∈L2(R)，其傅里叶变换为Y(w)，当Y(w)满足允许条件(完全重构条件或恒等分辨条件)：(1.39)1.3

连续小波变换1时，我们称y(t)为一个基本小波或母小波(MotherWavelet)。将母函数y(t)经伸缩(Dilation)和平移(Translation)后得：(1.40)称为一个小波序列。其中，a为伸缩因子；b为平移因子。1对于任意的函数f

(t)∈L2(R)的连续小波变换为(1.41)其重构公式(逆变换)为(1.42)1由于基小波y(t)生成的小波ya，b(t)在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，因此y(t)还应该满足一般函数的约束条件(1.43)故Y(w)是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条件(1.39)，Y(w)在原点必须等于0，即1为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，除了完全重构条件外，还要求小波y(t)的傅里叶变换满足下面的稳定性条件：(1.44)式中，0<A≤B<∞。从稳定性条件可以引出一个重要的概念。1定义1.4(对偶小波)

若小波y(t)满足稳定性条件式(1.44)，则定义一个对偶小波(t)，其傅里叶变换(w)由下式给出(1.45)1图1.141上式相应的逆变换为(1.63)二进小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移参量保持连续变化，因此二进小波不破坏信号在时间域上的平移不变量，这也正是它同正交小波基相比具有的独特优点。1图1.151双正交小波为(1.73)二维双正交小波变换由对应的小波基确定，正变换的二维小波基为1(1.74)反变换的二维小波基为(1.75)11.4.6

平稳小波变换常用的离散二进小波变换在尺度间的正交小波基是非一致降样取样的，随着尺度的增大，取样间隔以2的指数变大，因而不能从多尺度的角度很好地匹配信号的局部特征，故该方法在信号的奇异点容易产生振荡效应。平稳小波变换是在正交小波变换的基础上提出的，它是一种冗余小波变换，使用冗余离散小波基，具有平移不变性，因而信号在冗余离散小波基上的表示可看成是信号在一系列离散小波基上表示的平均，小波系数和尺度系数与原始信号等长，可以很好地削弱离散二进小波变换中的振荡效应。图1.16描述了平稳小波变换分解的基本步骤。1图1.161图1.16表明了平稳小波变换与正交小波变换不同，平

稳小波变换在每次分解时不进行下抽样。由于平稳小波变换去除了下抽样处理，包含在小波系数中的信息是冗余的，这种冗余性有利于找到尺度内与尺度间小波系数之间的依赖关系，使建立在小波系数邻域上的系数方差估计精度有了很大的提高。平稳小波变换的重构过程是：首先对变换后的小波系数分别进行偶抽样和奇抽样，将偶抽样和奇抽样后的小波系数分别进行重构；然后求它们的平均值。1平稳小波变换的分解公式为(1.76)(1.77)其中，cj，k为尺度系数(近似部分的系数)；dj，k为小波系数(细节部分的系数)；

、分别表示在h0、h1两点间插入的2j－1个零；h0＝〈f1，0，f0，k〉，h1＝〈y1，0，y0，k〉；y为尺度函数；φ为小波函数；n＝0，1，…，N－1，N是信号长度。1平稳小波变换的重构公式为(1.78)分别为h0(k)、h1(k)的对偶基。11.5.1

矢量小波传统意义的小波变换是以Hilbert空间中的内积作为展开式，我们统称为数量积小波变换。近年来，人们提出并研究了一种新的小波分析——矢量积小波分析。1.5

矢量小波变换1定义1.7数量积小波的尺度函数的双尺度方程表达式为(1.79)其中，hk为V－1子空间的基函数的展开系数。1定义1.9

矢量积小波函数是数量积小波函数的推广，是它的矩阵表现形式，其尺度函数的双尺度方程可表示为(1.81)其中，f为r维矢量；h*(k)为r×r维矩阵。1时提出了多分辨分析(Multi-ResolutionAnalysis)的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，将此之前的所有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变换的快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相当于快速傅里叶变换算法在经典傅里叶分析中的地位。Meyer1于.16986年多创造分性辨地构分造析出具与有M一a定l衰la减t性算的法光滑函数，其二进制伸缩与平移构成L2(R)的规范正交基，才使小波得到真正的发展。1988年，S.Mallat在构造正交小波基1图1.171在理解多分辨分析以及下一节的小波包分析时，我们必须牢牢把握一点：其分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近L2(R)空间的正交小波基(或正交小波包基)，这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。从图1.17可以看出，多分辨分析只对低频空间进

行进一步的分解，使频率的分辨率变得越来越高。下面我们就看多分辨分析是如何构造正交小波基的。1定义1.11

空间L2(R)中的多分辨分析是指L2(R)中满足如下条件的一个空间序列{Vj}j∈Z：①单调性：②逼近性：③伸缩性：，对任意j∈Z。。。伸缩性体现了尺度的变化、逼近正交小波函数的变化和空间的变化具有一致性。④平移不变性：对任意k∈Z，有fj(2－j/2t)∈Vj

fj(2－j/2t－k)∈Vj。1⑤Riesz基存在性：存在f(t)∈V0，使得{f(2－j/2t－k)|k∈Z}构成Vj的Riesz基。对于条件⑤，可以证明，存在函数f(t)∈V0，使它的整数平移系{f(2－j/2t－k)|k∈Z}构成Vj的规范正交基，我们称f(t)为尺度函数(Scaling

Function)。定义函数(j，k∈Z)(1.85)fj，k(t)＝2－j/2f(2－jt－k)则函数系{fj，k(t)|k∈Z}是规范正交的。设以Vj表示图1.17分解中的低频部分Aj，Wj表示分解中的高频部分Dj，则Wj是Vj在Vj＋1中的正交补，即(1.86)1显然(1.87)则多分辨分析的子空间V0可以用有限个子空间来逼近，即有(1.88)1空间列{Wj|j∈Z}具有以下性质：①f(t)∈Wj②f(t)∈Wj③f(t－2jn)∈Wj(j，n∈Z)；f(2t)∈Wj＋1(j∈Z)；，当|j|→∞时，对任意f∈L2(R)和Vj一0样，我们希望找出一个确定的函数y(t)∈W

，使得对每个j∈Z，函数系{yj，n|n∈Z}构成空间Wj的规范正交基。其中，yj，n(t)＝2－j/2y(2－jt－n)。1若令fj∈Vj代表分辨率为2－j的函数f∈L2(R)的逼近(即函数

f

的低频部分或“粗糙像”)，而dj∈Wj代表逼近的误差(即函数f

的高频部分或“细节”部分)，则式(1.88)意味着：f0＝f1＋fd＝f2＋d2＋d1＝…＝fN＋dN＋dN－1＋…＋d2＋d1(1.89)注意到f＝f0，所以上式可简写为(1.90)1这表明，任何函数f∈L2(R)都可以根据分辨率为2－N时f

的低频部分(“粗糙像”)和分辨率2－j(1≤j

≤N)下f的高频部分(“细节”部分)完全重构，这恰好是著名Mallat塔式重构算法的思想。从包容关系，我们很容易得到尺度函数f(t)的一个极为有用的性质。注意到f0，0(t)∈V0∈V－1，所以f(t)＝f0，0(t)可以用V－1子空间的基函数f－1，k(t)＝21/2f(2t－k)展开令展开系数为hk，则(1.91)这就是尺度函数的双尺度方程。1另一方面，由于V－1＝V0

W0，故y(t)＝y0，0(t)∈W0∈W－1，这意味着小波基函数y(t)可以用V－1子空间的正交基f－1，k(t)＝21/2f(2t－k)展开，令展开系数为gk，即有(1.92)这就是小波函数的双尺度方程(尺度函数的双尺度方程和小波函数的双尺度方程在1.5节已经提及)。1双尺度方程式(1.91)和式(1.92)表明，小波基yj，k(t)可由尺度函数f(t)的平移和伸缩的线性组合获得，其构造归结为滤波器H(w)(h(k)的频域表示)和G(w)(g(k)的频域表示)的设计。由y(t)的二进伸缩平移张成的空间1则①Wj⊥Vj，WjVj＝Vj＋1，从而，Wj⊥Wj¢，j≠j¢。②{yj，n}n∈Z是Wj中的标准正交基，从而{yj，n}j，n∈Z是L2(R)中的标准正交基，即小波正交基。1综合以上分析，我们可以归纳出为了使fj，k(t)＝2－j/2f(2－jt－k)构成Vj子空间的正交基，生成元f(t)(尺度函数)应该具有下列基本性质：①尺度函数的容许条件，

。②能量归一化条件：

。③尺度函数f(t)具有正交性，即〈f(t－l)，f(t－k)〉＝d(k－k，l∈Z。11.6.2

Mallat算法(快速小波变换FWT)Stephane

Mallat利用多分辨分析的特征构造了快速小波变换算法，即Mallat算法。假定选择了空间Wm和函数f，且f0n是正交的，设{ymn；m，n∈Z}是相伴的正交小波基，f和y是实的。把初始序列分解到相应于不同频带空间的层。由数据列C0∈L2(Z)可构成函数f：(1.93)1或者(1.94)这个函数显然属于V0，对这个函数现在就可以用多分辨分析。需要计算相对于f

的迭代Pj

f

和对应于在两个迭代层次的差Qj

f。由于V0＝V1

W1的元素

f

可以被分解为它的属于V1和W1的分支：(1.95)1与j无关，由此可得(1.113)或者C2＝HC1(1.114)类似地有D1＝GC1(1.115)此式显然可根据需要多次迭代，在每一步都可看到(1.116)其中，Cj＝HCj－1，Dj＝GCj－1。1上述为Mallat算法的分解过程。迭代Cj是原始C0越来越低的分解形式，每次采样点比它前一步减少一倍，Dj包含了Cj和Cj－1之间的信息差。Mallat算法可在有限的L步分解后停止，即把C0分解为D1，…，DL和CL。若开始C0有N个非零元，则在分解中非零元的总数(不算边的影响)是N/2＋N/4＋…＋N/2L＋N/2L＝N。这说明，在每一步中，Mallat算法都保持非零元总数。算法的分解部分如下：假若已知Cj和Dj，则(1.117)1因而(1.118)或者(1.119)1重构算法也是一个树状算法，而且与分解算法用的是同样的滤波系数。算法的分解和重构结构图如图1.18和图1.19所示。1图1.181图1.1911.7.1提升小波变换的概述传统的第一代小波变换是在欧氏空间内通过基底的平移和伸缩构造小波基的，不适合非欧氏空间的应用，因此小波提升方案应运而生，它是构造第二代小波变换的理想方法。1.7

提升小波变换1提升的实现形式给出了小波完全的空间域解释，它具有许多优良的特性：结构简单、运算量低、原位运算、节省存储空间、逆变化可以直接反转实现，以及可逆的整数到整数变换，便于实现。在高速处理、移动手持设备、低功耗设备的应用中具有很大的吸引力。提升小波在1996年由Sweldens提出后，在许多领域都得到了广泛应用。在静态图像处理中，提升小波已被选做JPEG2000的变换核。它提供了多精度的功能，同基于JPEG2000的标准相比，在很低的比特率时具有较好的压缩DCT的JPEG性能，并且提供了在同一个编码结构内有效的失真和无失真压缩。1在视频领域，使用提升小波方法自适应地对任意形状的物体进行编码，显著提高了编码效率，在静止图像编码上明显优于MPEG4；视频物体的主观评价效果更好，具有比MPEG4更少的块效应。通过提升小波的梯形结构，提出的渐进性的小波逆变换合成(PIWS)算法来保证一个局域场景的再现只需要使用部分的压缩数据，这样减少了数据访问量和计算开销，实现了在3D环境下从压缩数据集中实时再现3D。提升小波用于一维信号消噪和图像消噪也得到了良好的效果。通过将水印加入到提升结构正在处理的小波系数中，进一步增强了安全性。1提升小波可以在原有小波的基础上构造出更有效的适用于特殊应用的小波。它从另一个角度给小波的构造和性质作出了解答。同时，它也把数值分析领域的“细分插值”、

“均值插值”、“高阶矩”、“欧拉算法”等概念和小波分析的“消失矩”、“尺度函数”、“小波函数”等概念巧妙地融为一体。11.7.2

提升法的步骤二维离散小波变换最有效的实现方法之一是采用Mallat算法，通过在图像的水平和垂直方向交替采用低通和高通滤波实现。这种传统的基于卷积的离散小波变换计算量大，计算复杂度高，对存储空间的要求较高，不利于硬件实现。提升小波的出现有效地解决了这一问题。提升算法相对于Mallat算法而言，是一种更为快速有效的小波变换实现方法，被誉为第二代小波变换。它不依赖于傅里叶变换，继承了第一代小波的多分辨率特征，采用原位操作，计算速度快，计算时无需额外的存储开销。1Daubechies已经证明，任何离散小波变换或具有有限长滤波器的滤波变换都可以被分解成为一系列简单的提升步骤，所有能够用Mallat算法实现的小波，都可以用提升算法来实现。提升算法给出了双正交小波简单而有效的构造方法，使用了基本的多项式插补来获取信号的高频分量，然后通过“保持原信号的均值和高阶矩不变”的限制条件来获取信号的低频分量。提升算法的基本思想是，将现有的小波滤波器分解成基本的构造模块，分步骤完成小波变换。1提升方案把第一代小波变换过程分为以下三个步骤：分解(Split)、预测(Predict)和更新(Update)。提升算法的分解和重构如图1.20所示。1图1.201(1)分解。将输入信号si分为两个较小的子集si－1和di－1，di－1也称为小波子集。最简单的分解方法是将输入