中考模拟好题汇编第3讲 函数与导数小题（解析版）

文档来源网络侵权联系删除PAGEPAGE1仅供参考第3讲函数与导数小题一、多选题1．（2021·全国高三专题练习）已知函数，若，则（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先分析得到在上单调递增，得到，由于二次函数不是单调函数，不一定成立，所以选项A错误；，所以选项B正确；由于函数，不是单调函数，所以不一定成立.所以选项C错误；因为函数，函数在上单调递增，所以选项D正确.【详解】因为，所以在上单调递增，由可得，所以，所以选项B正确；又因为函数，函数在上单调递增，所以，所以选项D正确；由于二次函数不是单调函数，所以当时，不一定成立，所以选项A错误；由于函数，不是单调函数，所以当时，不一定成立.所以选项C错误.故选：BD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是想到利用导数分析得到函数的单调性，研究函数的问题，一般先要通过探究函数的奇偶性、单调性和周期性等，再求解函数问题.2．（2021·山东高三专题练习）函数，则下列说法正确的是（）A． B．C．若有两个不相等的实根，则 D．若均为正数，则【答案】BD【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A，由函数性质判断BC，设，且均为正数，求得，再由函数性质判断D．【详解】由得：令得，当x变化时，变化如下表：x0单调递增极大值单调递减故，在上递增，在上递减，是极大值也是最大值，时，时，，且时，时，，，A．，故A错B．，且在单调递增，故：B正确C．有两个不相等的零点不妨设要证：，即要证：在单调递增，∴只需证：即：只需证：……①令，则当时，在单调递增，即：这与①矛盾，故C错D．设，且均为正数，则且，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．3．（2021·广东深圳市·高三一模）已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】确定函数是增函数，然后比较自变量的大小后可得正确选项．【详解】易知是上的增函数，时，成立，成立，BD一定成立；与的大小关系不确定，A不一定成立；同样与的大小关系也不确定，如时，，C也不一定成立．故选：BD．4．（2021·广东湛江市·高三一模）已知函数f(x)=x3-3lnx-1，则（）A．f(x)的极大值为0 B．曲线y=f(x)在（1，f(1))处的切线为x轴C．f(x)的最小值为0 D．f(x)在定义域内单调【答案】BC【分析】直接对f(x)=x3-3lnx-1，求出导函数，利用列表法可以验证A、C、D;对于B:直接求出切线方程进行验证即可.【详解】f(x)=x3-3lnx-1的定义域为，令，得，列表得：x(0,1)1(1,+∞)-0+f(x)单减单增所以f(x)的极小值，也是最小值为f(1)=0，无极大值，在定义域内不单调；故C正确，A、D错误；对于B:由f(1)=0及，所以y=f(x)在（1，f(1))处的切线方程，即.故B正确.故选：BC【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.5．（2021·河北邯郸市·高三一模）已知函数，若关于x的方程恰有两个不同解，则的取值可能是（）A． B． C．0 D．2【答案】BC【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到，代入，令，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围.【详解】因为的两根为，所以，从而．令，则，．因为，所以，所以在上恒成立，从而在上单调递增．又，所以，即的取值范围是，故选：BC．【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数，利用导数求取值范围是解决本题的关键.6．（2021·全国高三专题练习）已知函数，其导函数为，设，则（）A．的图象关于原点对称 B．在R上单调递增C．是的一个周期 D．在上的最小值为【答案】AC【分析】对A：求出的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可；对B：利用的导数可判断；对C：计算，看是否等于即可；对D：设，根据对勾函数的单调性可得最值.【详解】的定义域是，其定义域关于坐标原点对称，且，所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故A项正确；由，得，则．恒成立，所以在上单调递增，并不是在R上单调递增，故B项错误；由，得函数的定义域是，故C项正确；设，当时，，此时，，根据对勾函数的单调性，在上单调递减，，故D项错误.故选：AC．7．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数，以下结论正确的是（）A．是偶函数 B．最小值为2C．在区间上单调递减 D．的零点个数为5【答案】ABD【分析】去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断.【详解】∵，，∴是偶函数，A正确；因为，由函数的奇偶性与周期性，只须研究在上图像变化情况.，当，，则在上单调递增，在上单调递减，此时；当时，，则在上单调递增，在上单调递减，此时，故当时，，B正确.因在上单调递减，又是偶函数，故在上单调递增，故C错误.对于D，转化为根的个数问题.因在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.当时，，，无实根.时，，无实根，，显然为方程之根.，，，单独就这段图象，，在上变化趋势为先快扣慢，故在内有1个零点，由图像知在内有3个零点，又，结合图象，知D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：研究函数性质往往从以下方面入手：（1）分析单调性、奇偶性、周期性以及对称性；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个容易画出图象的函数，将两个函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，利用数形结合的方法求解.8．（2021·江苏高三专题练习）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列成立的有（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】构造函数由已知可得在R上单调递增，利用单调性对各个选项进行分析判断即可.【详解】根据题意设其导数为由知在R上单调递增，对于A,由函数单调性得即，即，即，又由，则,必有，故A正确，B错误；对于C,，则，则有，即，即，故C正确，D错误；故选：AC【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，常用解题方法构造新函数，考查学生推理能力和计算能力，属于中档题.9．（2021·全国高三专题练习）设函数，则（）A．在单调递增 B．的值域为C．的一个周期为 D．的图像关于点对称【答案】BC【分析】根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解.【详解】令，则，显然函数为增函数，当时，为减函数，根据复合函数单调性可知，在单调递减，因为，所以增函数在时，，即的值域为；因为，所以的一个周期为，因为，令，设为上任意一点，则为关于对称的点，而，知点不在函数图象上，故的图象不关于点对称，即的图像不关于点对称.故选：BC【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.二、单选题10．（2021·广东广州市·高三一模）已知是自然对数的底数，设，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先设，利用导数判断函数的单调性，比较的大小，设利用导数判断，放缩，再设函数，利用导数判断单调性，得，再比较的大小，即可得到结果.【详解】设，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，时，，即，设，，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，即恒成立，即，令，，时，，单调递减，时，，单调递增，时，函数取得最小值，即，得：，那么，即，即，综上可知.故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，比较大小，本题的关键是：根据，放缩，从而构造函数，比较大小.11．（2021·全国高三专题练习）已知函数，若，，，则，，的大小关系正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出函数的定义域，判断函数为偶函数，再对函数求导判断出函数在上单调递增，然后作差比较的大小，可得，从而可比较出，，的大小【详解】由题可知：的定义域为，且，则为偶函数，，当时，，在上单调递增.又由所以，，故.故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查利用函数的单调性比较大小，考查导数的应用，考查对数运算性质的应用，考查了基本不等式的应用，解题的关键是判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，然后利用单调性比较大小，属于中档题12．（2021·全国高三专题练习）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用定义确定函数为偶函数，再利用单调性证明在上为增函数，所以不等式化简为，转化为在上恒成立，求出的取值范围.【详解】函数的定义域为，且，所以为偶函数.又当时,是增函数，任取，且，，，所以在上是增函数，即在上是增函数.所以不等式对任意恒成立，转化为，即，从而转化为和在上恒成立①若在上恒成立，则，解得；②若在上恒成立，，则，解得；综上所述，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：（1）把不等式转化为的模型；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.13．（2021·江苏常州市·高三一模）若则满足的x的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】按或0，，和四种情况，分别化简解出不等式，可得x的取值范围．【详解】①当或0时，成立；②当时，，可有，解得；③当且时，若，则，解得若，则，解得所以则原不等式的解为，故选：B14．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）若，“”是“函数在上有极值”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性与极值，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解.【详解】由题意，函数，则，令，可得，当时，；当时，，所以函数在处取得极小值，若函数在上有极值，则，解得．因此“”是“函数在上有极值”的充分不必要条件．故选：A．15．（2021·全国高三专题练习）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数奇偶性的定义判断各选项中函数的奇偶性，利用导数法判断各选项中函数在区间上的单调性，由此可得出合适的选项.【详解】对于A选项，由，解得，所以，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，A选项不满足条件；对于B选项，由，可得，即函数的定义域为.，该函数为奇函数，当时，，所以，函数在上单调递减，B选项满足条件；对于C选项，由，解得，所以，函数的定义域为，，该函数为奇函数，当时，，该函数在上为增函数，C选项不满足条件；对于D选项，函数的定义域为，，该函数为奇函数，当时，，该函数在上为增函数，D选项不满足条件.故选：B.【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论；（2）图象法：如果函数是以图象的形式给出或者函数的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；（4）复合函数法：先将函数分解为内层函数和外层函数，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.16．（2021·湖南岳阳市·高三一模）对于函数，若存在，使，则点与点均称为函数的“先享点”已知函数且函数存在5个“先享点”，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，判断出“先享点”的特征，之后根据存在5个“先享点”，等价于函数关于原点对称的图象恰好与函数有两个交点，构造函数利用导数求得结果.【详解】依题意，存在5个“先享点”，原点是一个，其余还有两对，即函数关于原点对称的图象恰好与函数有两个交点，而函数关于原点对称的函数为，即有两个正根，，令，，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，并且当和时，，所以实数a的取值范围为，故选：A.【点睛】该题考查的是有关新定义问题，结合题意，分析问题，利用等价结果，利用导数研究函数的性质，属于较难题目.17．（2020·山东高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数），若的零点为，极值点为，则（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】令可求得其零点，即的值，再利用导数可求得其极值点，即的值，从而可得答案．【详解】解：，当时，，即，解得；当时，恒成立，的零点为．又当时，为增函数，故在，上无极值点；当时，，，当时，，当时，，时，取到极小值，即的极值点，．故选：C．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题．三、填空题18．（2021·广东韶关市·高三一模）若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为__________．【答案】【解析】解：由y=ax2(a>0),得y′=2ax，由y=ex,得y′=ex，曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点，则，可得2