第三节 格林公式及其应用

第三节格林公式及其应用第1页，课件共50页，创作于2023年2月一、格林公式设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD区域连通性的分类第2页，课件共50页，创作于2023年2月边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.第3页，课件共50页，创作于2023年2月格林公式定理1第4页，课件共50页，创作于2023年2月证明(1)yxoabDcdABCE第5页，课件共50页，创作于2023年2月同理可证yxodDcCE第6页，课件共50页，创作于2023年2月证明(2)D两式相加得第7页，课件共50页，创作于2023年2月第8页，课件共50页，创作于2023年2月GDFCEAB证明(3)由(2)知第9页，课件共50页，创作于2023年2月第10页，课件共50页，创作于2023年2月1.简化曲线积分简单应用例1计算曲线积分其中AnO为由点A(a,0)至点O(0,0)的上半圆周x2+y2=ax(a>0).第11页，课件共50页，创作于2023年2月解如果添加有向线段OA，则AnO+OA=L是一条正向的封闭曲线.我们设由它围成的区域为D.因为P(x,y)=exsiny–

my,Q(x,y)=excosy

-

m，所以yxODnA(a,0)第12页，课件共50页，创作于2023年2月则由格林公式得第13页，课件共50页，创作于2023年2月而第14页，课件共50页，创作于2023年2月2.简化二重积分xyo第15页，课件共50页，创作于2023年2月第16页，课件共50页，创作于2023年2月解第17页，课件共50页，创作于2023年2月xyoLyxo第18页，课件共50页，创作于2023年2月xyo(注意格林公式的条件)第19页，课件共50页，创作于2023年2月3.计算平面面积第20页，课件共50页，创作于2023年2月解第21页，课件共50页，创作于2023年2月第22页，课件共50页，创作于2023年2月二、平面上曲线积分与路径无关的条件设G是一个开区域，如果对G内任意指定的两点

A

与

B，以及G内从点A

到点

B

的任意两条不相同的分段光滑曲线L1、L2，等式

y

x

OL1L2GBA恒成立，则称曲线积分在G内与路径无关.这时，我们可将曲线积分记为第23页，课件共50页，创作于2023年2月命题在区域G中，曲线积分与路径无关的充要条件是：对G内任意一条闭曲线

C，有第24页，课件共50页，创作于2023年2月证先证必要性.设AnBmA是D内任意一条闭曲线.因为曲线积分在G

内与路径无关，所以因此

y

x

OBGmnA第25页，课件共50页，创作于2023年2月再证充分性.设A、B是G

内的任意两点，AnB与AmB是G

内的任意两条路径.因为对G内任意一条闭曲线C，所以由题设有恒有因此

y

x

OBDmnA这就说明了曲线积分与路径无关.第26页，课件共50页，创作于2023年2月定理2第27页，课件共50页，创作于2023年2月两条件缺一不可有关定理的说明：第28页，课件共50页，创作于2023年2月证充分性：(x,y)G，所以对G内任意一条正向封闭曲线L1及其围成的区域D1，因为D1

G，所以D1是单连域，由格林公式有因为于是由定理1知，曲线积分在G内与路径无关.第29页，课件共50页，创作于2023年2月必要性：于是由格林公式知，这结果与沿G内沿任意闭曲线的曲线积分为零的假设矛盾.第30页，课件共50页，创作于2023年2月例5计算其中L是摆线x=t–sint,y=1-cost，从点A(2p,0)到点O(0,0)的一段弧.解显然，用这段路径来计算是很复杂且困难.能否换一条路径呢？其中P(x,y)=x2y+3xex,第31页，课件共50页，创作于2023年2月再选一条路径L1：由A(2p,0)沿x轴到原点.审查一下：由L与L1所围的平面域是否单连通域.P(x,y)与Q(x,y)偏导数是否连续，现在是连续的.所围的域是单连通域，这样可以换为在L1上求曲线积分，即xyOL1LA第32页，课件共50页，创作于2023年2月因为L1上dy=0，y=0所以上式为即第33页，课件共50页，创作于2023年2月例6计算解如果不换路径，计算非常困难，为了换路径，先要计算P、Q的偏导数.其中L由点A(-

p,-

p)经曲线y=pcosx到点B(p,-

p)(如图).则yxLOAB第34页，课件共50页，创作于2023年2月再考虑换一条路径.以为半径的圆周，由A经大半圆到B为L1，如果换成由A经直线到B为L1，则L与L1所围的平面域内函数P(x,y)与Q(x,y)在原点处偏导数不存在.这就是说它们所围的域不是单连通域.所以不满足将L换为L1的条件，作一个以原点为圆心，则此时，L与L1所围的平面域内函数P(x,y)，Q(x,y)的偏导就连续了.即L与L1所围的平面域为单连通域.这就可以将L换为L1.L1的参数方程为第35页，课件共50页，创作于2023年2月代入，得第36页，课件共50页，创作于2023年2月从例5，例6中我们可以归纳一下换积分路径的步骤：则可进行下一步，否则就是积分与路径有关.1.计算是否相等.如果2.选一条路径(与原路径同起、终点)L1，使与原路径L所围平面域上函数P(x,y)与Q(x,y)偏导数连续，即所围的区域为单连通域，则可将路径L换为L1.第37页，课件共50页，创作于2023年2月三、二元函数的全微分求积如果在区域G上存在函数u(x,y)，使得则称在G内为二元函数u(x,y)的全微分，也称u(x,y)为在区域G上的一个原函数.第38页，课件共50页，创作于2023年2月定理3第39页，课件共50页，创作于2023年2月证明必要性：设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,所以从而在D内每一点都有第40页，课件共50页，创作于2023年2月充分性：在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),

与路径无关,有函数

第41页，课件共50页，创作于2023年2月由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数:具有性质：du=Pdx+Qdy

u(x,y)为

Pdx+Qdy

在域G

内的一个原函数.第42页，课件共50页，创作于2023年2月具体计算xyo可采用如右图的路径：这里起点可任意取，但必须在单连通的开区域G内。第43页，课件共50页，创作于2023年2月解第44页，课件共50页，创作于2023年2月第45页，课件共50页，创作于2023年2月例8.

验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。第46页，课件共50页，