第三章随机向量

第三章随机向量第1页，课件共61页，创作于2023年2月1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E是一个随机试验，它的样本空间是={e}.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为上的二维随机向量或二维随机变量。简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y，称二元函数F(x,y)=P{X

x，Y

y}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。第一节二维随机向量及其分布上一页下一页返回第2页，课件共61页，创作于2023年2月(X,Y)的分布函数满足如下基本性质：

(2)

0F(x,y)1(1)F(x,y)是变量x,y的不减函数.

上一页下一页返回第3页，课件共61页，创作于2023年2月2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y)为二维离散型随机向量。设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2,…，且(X,Y)取各对可能值的概率为P{X=xi，Y=yj}=pij，i,j=1,2,…(1)

非负性:

pij≥0，i，j=1，2…；上一页下一页返回第4页，课件共61页，创作于2023年2月的联合分布律。和或随机变量的概率分布或分布律，离散型随机变量为二维称YXYXjipYYxXPij),(,...)2,1,(},{==££上一页下一页返回第5页，课件共61页，创作于2023年2月(X,Y)的分布律也可用表格形式表示YXy1y2…yj…x1x2..xip11p12…p1j…p21p22…p2j…......pi1pi2pij…上一页下一页返回第6页，课件共61页，创作于2023年2月例1:从一个装有2个红球,3个白球和4个黑球的袋中随机地取3个球,设X和Y分别表示取出的红球数和白球数,求(X,Y)的分布律,并求P{X≤1,Y<2},P{X+Y=2},及P{X=1}.解:X的可能值为0,1,2,Y的可能为0,1,2,3.(X,Y)的所有可能值为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1).由古典概率计算可得上一页下一页返回第7页，课件共61页，创作于2023年2月于是(X,Y)的分布可用表示YX01230124/8418/8412/841/8412/8424/846/8404/843/8400由(X,Y)的分布律,所求概率为上一页下一页返回第8页，课件共61页，创作于2023年2月上一页下一页返回第9页，课件共61页，创作于2023年2月3、二维连续型随机变量定义5：设(X,Y)为二维随机向量,(X,Y)的分布函数为F(x,y).若存在非负二元函数f(x,y),对于任意实数x,y，有上一页下一页返回第10页，课件共61页，创作于2023年2月上一页下一页返回第11页，课件共61页，创作于2023年2月上一页下一页返回第12页，课件共61页，创作于2023年2月上一页下一页返回第13页，课件共61页，创作于2023年2月11y=xoxy1Oyx1Oyx1Oyx上一页下一页返回第14页，课件共61页，创作于2023年2月

设G是平面上的有界区域,其面积为S,若二维随机变量(X.,Y)的概率密度为设(X,Y)在区域G上服从均匀分布,D为G内的一区域,即D

G,且D的面积为S(D),那么二维均匀分布则称(X,Y)在区域G上服从均匀分布.上一页下一页返回第15页，课件共61页，创作于2023年2月若(X.,Y)的概率密度为二维正态分布上一页下一页返回第16页，课件共61页，创作于2023年2月4、n维随机变量设E是一个随机试验,它的样本空间是=(e).设随机变量是定义在同一样本空间上的n个随机变量，则称向量为n维随机向量或n维随机变量。简记为设是n维随机变量，对于任意实数,称n元函数为n维随机变量

的联合分布函数。上一页下一页返回第17页，课件共61页，创作于2023年2月X和Y自身的分布函数分别称为二维随机向量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数，分别记为FX(x),FY(y)。当已知(X,Y)的联合分布函数F(x,y)时，可通过求得两个边缘分布函数第二节边缘分布上一页下一页返回第18页，课件共61页，创作于2023年2月例1：设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为上一页下一页返回第19页，课件共61页，创作于2023年2月上一页下一页返回第20页，课件共61页，创作于2023年2月1、二维离散型随机变量的边缘分布上一页下一页返回第21页，课件共61页，创作于2023年2月≠上一页下一页返回第22页，课件共61页，创作于2023年2月上一页下一页返回第23页，课件共61页，创作于2023年2月上一页下一页返回第24页，课件共61页，创作于2023年2月2、二维连续型随机变量的边缘分布设(X,Y)为二维连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，则从而知，X为连续型随机变量且概率密度为同理，Y也是连续型随机变量，其概率密度为上一页下一页返回第25页，课件共61页，创作于2023年2月yOx上一页下一页返回第26页，课件共61页，创作于2023年2月第三节条件分布1、二维离散型随机变量的条件分布律定义6:上一页下一页返回第27页，课件共61页，创作于2023年2月例1：一射手进行射击,每次射击击中目标的概率均为p(0<p<1)且假设各次击中目标与否相互独立,射击进行到击中目标两次为止.设以X表示到第一次击中目标所需要的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数.试求(X,Y)的联合分布律和条件分布律.解:由题意,{X=i}表示第i次首次击中目标,{Y=j}表示第j次击中目标,因而i<j,{X=i,Y=j}表示第i次和第j次击中目标而其余j-2次均未击中目标.于是(X,Y)的联合分布律为：上一页下一页返回第28页，课件共61页，创作于2023年2月上一页下一页返回第29页，课件共61页，创作于2023年2月LL,2,1}|{,,2,11122++=======----iijpqpqqpiXjYPYiXiijij的条件分布律为下在条件对于固定的上一页下一页返回第30页，课件共61页，创作于2023年2月2、二维连续型随机变量的条件分布定义7：

对固定的实数y，设对于任意给定的正数ε，P{y-ε<Y≤y+ε}>0,且若对于任意实数x，极限存在，则称此极限为在Y=y的条件下X的条件分布函数，记作P或记为.同样,在X=x条件下随机变量Y的条件分布函数上一页下一页返回第31页，课件共61页，创作于2023年2月设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为f(x,y)。若在点(x,y)处f(x,y)连续，边缘概率密度fY(y)连续，且fY(y)>0，则有：亦即上一页下一页返回第32页，课件共61页，创作于2023年2月类似地在相应条件下可得在X=x条件下Y的条件概率密度为若记为条件Y=y下X的条件概率函数，则由上式知：上一页下一页返回第33页，课件共61页，创作于2023年2月且有边缘概率密度当－1<y<1时有：解：(X,Y)的概率密度为例2：设随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)∣x2+y2≤1}上服从均匀分布，求条件概率密度。上一页下一页返回第34页，课件共61页，创作于2023年2月特别y=0和y=时条件概率密度分别为类似于条件概率的乘法公式，也有上一页下一页返回第35页，课件共61页，创作于2023年2月设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数，(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则上式等价于第四节随机变量的独立性定义8：

设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实数x和y，事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}，则称随机变量X与Y相互独立。由独立性定义可证“若X与Y相互独立，则对于任意实数x1<x2,y1<y2,事件{x1<X≤x2}与事件{y1<Y≤y2}相互独立”。上一页下一页返回第36页，课件共61页，创作于2023年2月结论推广：“若X与Y独立，则对于任意一维区间I1和I2，事件{X∈I1}与{Y∈I2}相互独立”。P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)=FX(x2)FY(y2)-FX(x2)FY(y1)-FX(x1)FY(y2)+FX(x1)FY(y1)=[FX(x2)-FX(x1)][FY(y2)-FY(y1)]=P{x1<X≤x2}P{y1<Y≤y2}所以事件{x1<X≤x2}与{y1<Y≤y2}是相互独立的。当（X,Y）为离散型或连续型随机向量时，可用它的分布律或概率密度来判别X与Y的独立性。上一页下一页返回第37页，课件共61页，创作于2023年2月例1:设二维随机变量(X,Y)的分布律如表所示。XY-102-1/22/201/202/2012/201/202/201/24/202/204/20问X与Y相互独立吗？解:X与Y的边缘分布律分别为X-1/211/2pi.1/41/41/2Y-102p.j2/51/52/5逐一验证可知，pij=pi.·p.j（i=1,2,3,j=1,2,3）。从而X与Y相互独立。上一页下一页返回第38页，课件共61页，创作于2023年2月例2:设X和Y都服从参数为1的指数分布，且相互独立，试求P{X+Y<1}。由于X与Y相互独立，所以(X,Y)的概率密度为于是解:设fX(x),fY(y)分别为X和Y的概率密度，则上一页下一页返回第39页，课件共61页，创作于2023年2月第五节两个随机变量的函数的分布1、二维离散型随机变量的函数分布

Y12101/321/31/3例设（X,Y）分布律为求

X+Y,X-Y,XY及X/Y的分布.解：先列出下表X上一页下一页返回第40页，课件共61页，创作于2023年2月P01/31/31/3(X,Y)(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)X

Y2334X

Y0

110XY1224X/Y11/221于是X+Y的分布律为X+Y234P02/31/3上一页下一页返回第41页，课件共61页，创作于2023年2月同理X-Y的分布律为X-Y-101P1/31/31/3X/Y124P02/31/3XY及X/Y的分布律分别为XY124P02/31/3上一页下一页返回第42页，课件共61页，创作于2023年2月设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数)。大部分情况下，Z是一连续型随机变量。为求Z的概率密度，可先求出Z的分布函数2、二维连续型随机变量的函数分布上一页下一页返回第43页，课件共61页，创作于2023年2月即首先找出上式右端的积分区域Dz。如果求得了FZ(z),那么可通过求出Z的概率密度。求解过程中，关键在于将事件{Z≤z}等价地转化为用(X,Y)表示的事件{g(X,Y)≤z}={(X,Y)},其中。上一页下一页返回第44页，课件共61页，创作于2023年2月例1：设且X与Y相互独立，求的概率密度。由于X与Y相互独立，于是(X,Y)的概率密度为先求Z的分布函数FZ(z)解：X和Y的概率密度分别为当z<0时FZ(z)=0当z≥0时上一页下一页返回第45页，课件共61页，创作于2023年2月所以于是可得的概率密度上一页下一页返回第46页，课件共61页，创作于2023年2月如果一随机变量的概率密度为上式，称该随机变量服从参数为

的瑞利分布。由题可知，若X,Y独立服从同一分布则服从参数为

的瑞利分布。设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，现求Z=X+Y的概率密度。令，则Z的分布函数为(1)和的分布上一页下一页返回第47页，课件共61页，创作于2023年2月固定z和y对积分作换元法，令x+y=u得于是：上一页下一页返回第48页，课件共61页，创作于20