湖北省武汉市东西湖区第三中学高三数学文测试题含解析

湖北省武汉市东西湖区第三中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数参考答案：A【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性．【解答】解：由y=2cos2（x﹣）﹣1=cos（2x﹣）=sin2x，∴T=π，且y=sin2x奇函数，即函数y=2cos2（x﹣）﹣1是奇函数．故选A．2.将某师范大学4名大学四年级学生分成2人一组，安排到A城市的甲、乙两所中学进行教学实习，并推选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有（）A．24种 B．12种 C．6种 D．10种参考答案：B【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：1、把4名大四学生分成2组，每2人一组，2、将分好的2组对应甲、乙两所中学，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：1、把4名大四学生分成2组，每2人一组，有C42C22=3种分组方法，2、将分好的2组对应甲、乙两所中学，有A22=2种情况，推选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有3×2A22=12种；故选：B．3.已知函数f（x）＝x3＋ax＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为（）

A.－2B.－C.－2或一D.不存在参考答案：B4.要得到函数，y＝sin2x的图象，可以把函数y＝（sin2x－cos2x）的图象（）

A.向左平移个单位B.向右平移个单位

C.向左平移个单位D.向右平移个单位参考答案：A5.已知函数f（x）=log（x2+）﹣||，则使得f（x+1）＜f（2x﹣1）的x的范围是（）A．（0，2） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（2，+∞）参考答案：A【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据函数的单调性和奇偶性将问题转化为|x+1|＞|2x﹣1|，解出即可．【解答】解：x＞0时，f（x）=log（x2+）﹣是减函数，x＜0时，f（x）=log（x2+）+是增函数，且f（﹣x）=f（x）是偶函数，若f（x+1）＜f（2x﹣1），则|x+1|＞|2x﹣1|，解得：0＜x＜2，故选：A．6.已知a＞0，且a≠1，若ab＞1，则（）A．ab＞b B．ab＜b C．a＞b D．a＜b参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对a进行分类讨论，结合不等式的基本性质及指数函数的单调性判断四个不等式关系成立与否可得答案．【解答】解：当a∈（0，1）时，若ab＞1，则b＜0，则a＜b不成立，当a∈（1，+∞）时，若ab＞1，则b＞0，则ab＜b不成立，a＞b不一定成立，故选：A．7.已知函数，，若在区间内，函数与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A、 B、

C、

D、参考答案：C8.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T的值为（）A．57 B．120 C．183 D．247参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的T，k的值，可得当k=63时满足条件k＞60，退出循环，输出T的值为120，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得T=0，k=1T=1不满足条件k＞60，k=3，T=4不满足条件k＞60，k=7，T=11不满足条件k＞60，k=15，T=26不满足条件k＞60，k=31，T=57不满足条件k＞60，k=63，T=120满足条件k＞60，退出循环，输出T的值为120．故选：B．【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．9.已知点P是双曲线右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心，若，则双曲线的离心率（

）

A．4

B．

C．2

D．参考答案：C略10.公比为2的等比数列{}的各项都是正数，且=16，则=（

）A.1

B.2

C.4

D.8参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．参考答案：130

15【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,元时,李明得到的金额为,符合要求.元时,有恒成立,即,即元.所以的最大值为.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质?数学的应用意识?数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.12.不等式的解集是___________。

参考答案：原不等式等价为或，即或，解得或，所以原不等式的解集为。13.函数f（x）=ln（+1）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=．参考答案：，x∈（0，+∞）【考点】反函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用反函数的求法求解即可．【解答】解：函数f（x）=ln（+1）（x＞0），f（x）∈（0，+∞）．+1=ey，解得x=，函数f（x）=ln（+1）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=，x∈（0，+∞）．故答案为：，x∈（0，+∞）．【点评】本题考查反函数与原函数的关系，考查计算能力．注意函数的定义域．14.已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，1]【考点】指数函数单调性的应用．

【专题】综合题．【分析】由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数，又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞）?[a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围【解答】解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数所以[1，+∞）?[a，+∞），故有a≤1故答案为（﹣∞，1]【点评】本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断，集合包含关系的判断，解题的关键是根据指数函数的单调性将问题转化为集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力，属于指数函数中综合性较强的题型．15.参考答案：略16.不等式的解集为,则______参考答案：略17.若（a﹣2i）i=b+i（a，b∈R），则=．参考答案：2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数的运算和复数相等可得a和b的方程组，解方程组可得答案．解答：解：∵（a﹣2i）i=b+i，∴2+ai=b+i，∴，∴=2故答案为：2点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数相等，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)设数列的各项都为正数，其前项和为，已知对任意，是

和的等比中项．（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设集合，，且，若存在∈，使对满足

的一切正整数，不等式恒成立，试问：这样的正整数共有多少个？参考答案：解：（Ⅰ）由已知，，且．…………………1分当时，，解得．

…………………2分当时，有．于是，即．于是，即．因为，所以．故数列是首项为2，公差为2的等差数列，且．……4分（Ⅱ）因为，则，

…………5分所以．……7分因为随着的增大而增大，所以当时取最小值．故原不等式成立．

………………10分（Ⅲ）由，得，所以．

…12分由题设，，，…，，，，…，．因为∈M，所以，，…，均满足条件．………………14分且这些数组成首项为，公差为的等差数列．

设这个等差数列共有项，则，解得．故集合M中满足条件的正整数共有450个．

…16分19.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．参考答案：（1）（2）最大值为，最小值为．（1）因为，所以，．又因为，所以曲线在点处的切线方程为．（2）令，解得．又，，；故求函数在区间上的最大值为和最小值．20.设T是矩阵所对应的变换，已知且（1）设b>0，当△POA的面积为，，求a,b的值；（2）对于（1）中的a,b值，再设T把直线变换成，求c的值.参考答案：21.已知抛物线与过焦点且斜率为l的直线交于A，B两点，若｜AB｜＝2。（1）