九年级数学正弦和余弦人教版知识精讲

初三数学正弦和余弦人教版【同步教育信息】一.本周教学内容：正弦和余弦二.重点、难点：1.正弦和余弦的概念。2.正弦、余弦之间的关系。【典型例题】例1.填空题。（1）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，则sinA＝_________，cosA＝_________；sinB＝_________，cosB＝_________。cosB＝_________。（3）如上题图，若AC：BC＝1：2，则sinB＝_________。（5）sin30°＝_______，cos45°＝_______，sin60°＝_______。（6）比较下列各组值的大小。①sin15°_________sin20°；②cos40°_________cos50°；③cos32°_________sin58°；④sin10°_________cos10°。（7）sin210°＋cos210°＝_________，sin220°＋sin270°＝_________。解：（1）此题主要考察对正弦、余弦概念的理解。因此运用勾股定理求出斜边AB是此题的关键。（3）由AC：BC＝1：2，则可设AC＝x，BC＝2x（5）对于特殊角的正、余弦值，同学们一定要熟记。（6）本题主要是考察正弦、余弦在锐角范围内的变化规律，在∠A为锐角时，sinA随∠A增大而增大，cosA随∠A增大而减小，因此：①sin15°＜sin20° ②cos40°＞cos50°而对于③、④我们可以由互余角的正弦、余弦关系可以统一成正弦，或余弦再进行比较，故：③cos32°＝sin58° ④sin10°＜cos10°（7）由正弦、余弦定义可知，∠A为锐角时，sin2A＋cos2A＝1，且0<sinA<1，0<cosA<1，因此：sin210°＋cos210°＝1，而sin220°＋cos220°＝sin220°＋sin270°＝1。（9）由上题中的平方关系可得：（∠A是锐角）（10）由平方关系可知：1＝sin210°＋cos210°［小结］通过以上的练习，同学们应掌握以下几点：1.正弦、余弦的概念；2.正弦、余弦之间的关系：3.∠A为锐角时，正弦、余弦的增减性。例2.如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D点，若BD＝6，CD＝2，求sinB，sinC。分析：从图中可知，∠B可以看作是Rt△ABC或Rt△ABD的锐角，因此要求sinB，我们可以在这两个三角形中来寻找条件，显然运用射影定理的结论，在两个三角形中都比较容易求。解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，故由射影定理可得：又∵BD＝6，CD＝2，BC＝BD＋CD＝8在Rt△ABC中，［小结］运用定义来求锐角的正弦、余弦，往往需求出所需的边长，这就要运用勾股定理或相似三角形的性质来求出所需的边长。例3.分析：从已知条件可知△ABC不是直角三角形，而BC也不能直接求出。但结合∠B＝30°，∠C＝45°，我们可以过A点作高，然后构造两个直角三角形，通过这两个直角三角形的公共边AD，我们可以找到AB、AC的关系，结合已知，可求BD、CD。解：过点A作AD⊥BC于D在Rt△ABD中，同理在Rt△ADC中，例4.已知：如图，△ABC中，AC＝2，BC＝4，AB＝3。（1）求sinB；（2）过C作CD⊥BA于D，求CD的长。（1）分析：△ABC不是Rt△，且∠B的度数也不知，因此要求sinB只能根据正弦的定义构造Rt△来解决。显然过A作BC的高线较为简单。因为在题目中可知BC>AB>AC，则∠A最大，因此过A作BC的高一定在△ABC内部，而如果过C作AB边上的高，则AB边上的高在△ABC内部或是外部取决于∠A是锐角、直角或钝角。解：过A作AE⊥BC于E，则∠AEB＝∠AEC＝90°在Rt△ABE和Rt△ACE中，由勾股定理可得：设BE＝x，则CE＝4－x，故可列方程：在Rt△ABE中，由AE2＝AB2－BE2得：（2）分析：CD的求法比较多，由于22＋32＜42，因此可知∠BAC＞90°，故D点在BA的延长线上，我们可以依照上面求高AE的方法。由BC2－BD2＝AC2－AD2＝CD2，求得AD，进一步求得CD。另一方面由于AE、CD是三角形的高，故我们还可运用面积相等而得到式子AE·BC＝AB·CD，从而求出CD；第三种方法，我们可以由解：∵CD⊥BA∴∠CDB＝90°［小结］（1）在△ABC中，c为最长边；（2）知三角形三边，求三角形的高或面积。（3）利用角来转移比值关系。例5.解：例6.求sin15°的值：设△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，求sinB的值。解：作AB的中垂线DE，垂足为D，交BC于E，连结AE（如图）∵ED是AB的中垂线∴BE＝AE∴∠B＝∠DAE又∵∠AEC＝∠B＋∠DAE∴∠AEC＝2∠B＝30°在Rt△AEC中，设AC＝a由勾股定理可得：在△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理可得：在Rt△ABC中，例7.已知：关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两根为一直角三角形两锐角的正弦，且2m＋4n＋1＝０，求m、n的值。解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°，设sinA，sinB是原方程x2＋mx＋n＝0的两根，则由根与系数关系可得：∴sinA＝cosB把<1>、<2>代入<3>得：<4>、<5>联立方程组得：【模拟试题】一.选择题。1.在△ABC中，，则cosB的值为（）A. B. C. D.2.△ABC中，于D，下面结论中正确的是（）A. B.C. D.3.当下列各式中正确的是（）A. B.C. D.4.已知的大小关系是（）A. B.C. D.5.若x为锐角，且的值是（）A.m B. C. D.6.在直角三角形中，两锐角之比为1：2，则相应的这两个锐角的正弦值之比为（）A. B. C. D.2：17.在直角三角形中，若两直角边的比为7：24，则此三角形中最小角的余弦值为（）A. B. C. D.8.，则BC的长为（）A.3 B.4 C.6 D.89.若，则A＝（）。A.37° B.63° C.53° D.143°10.化简：等于（）A.0 B. C. D.11.已知为锐角，且，那么的取值范围是（）A. B.C. D.12.已知sinA和sinB是方程的两个根，∠A和∠B互为余角，则a等于（）A. B. C. D.二.填空题。1.已知：是锐角，且，则_______，_______。2.若_________。3.，则锐角的取值范围是__________。4.__________。5.若，则锐角________度。6.若锐角∠A的正弦等于，则cosA＝_________。7.在Rt△ABC中，，则AB＝______，BC＝______。8.比较大小：9.△ABC中，AC＝1，BC＝3，，则∠C＝______度，sinB＝_______。10.若α、β为锐角，且，则α＝_____度，β＝_____度。三.求下列各式的值。（1）（2）（3）（4）（5）四.解答题。1.锐角α在范围内时，关于x的方程有实数根。2.已知：如图，在△ABC中，，D是BC的中点，DE⊥AB于E，，，求DE的长。3.已知：sinA、sinB是关于x的方程的两个实数根，且∠A、∠B是一直角三角形中的两个锐角。求：（1）m的值；（2）A与B的度数。

【试题答案】一.选择题。1.B 2.B 3.A 4.C 5.A 6.B7.C 8.C 9.C 10.B 11.BDC二.填空题。1. 2.60° 3. 4.05.15° 6. 7. 8.＜，＞9.90°， 10.60°，60°三.求下列各式的值。（1） （2） （3）（4）1 （5）四.解答题。1.解：∵α是锐角∴0＜sinα＜1∴原方程是关于x的一元二次方程∴只有当时，原方程有实根即2.解：∵D