九年级数学上册湘教版湘教版九年级数学上册全课件

1.了解反比例函数的基本概念及确定反比例函数自变量的范围；2.学会根据实际情况确定反比例函数自变量的取值范围；

(重点、难点)3.学会利用反比例函数的基本形式建立简单的数学模型.学习目标1当路程s=100m时，时间t(s)与速度v(m/s)的关系是：

导入新课问题1

2016年里约奥运会上，“闪电”博尔特延续传奇，再度夺得百米金牌.那么他所用的时间t和速度v之间有着怎样的数量关系呢？观察与思考vt=100或2当面积

S=15m2

时,长y(m)与宽x(m)的关系是：

问题2

小明想要在家门前草原上围一个面积约为15平方米的矩形羊圈，那么羊圈的长y（单位：m）和宽x（单位：m）之间有着什么样的关系呢？

xy=15或3反比例函数的定义一问题1：一群选手在进行全程为3000m的赛马比赛时，各选手的平均速度与所用时间之间有怎样的关系？（1）写出它们之间的关系式（2）利用（1）的关系式完成下表：t(s)121137139143149v(m/s)24.7921.9021.5820.9820.13讲授新课4随着时间t的变化，

平均速度v发生了怎样的变化？（3）平均速度v是时间t的函数吗？为什么？v

随着t的增大而变小,随着t

的减小而变大.5问题2：我们知道，导体中的电流I,与导体的电阻R、导体两端的电压之间满足关系式U=IR，当U=220V时，（1）请用含有R的代数式表示I.（2）利用写出的关系式完后下表：R/Ω20406080100I/A115.53.662.752.26当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？（3）变量I是R的函数吗？为什么？I随着R的增大而变小,随着R的减小而变大.7一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成的形式，那么称

y

是

x

的反比例函数.（k为常数,

k≠0)其中x是自变量不能为0，常数k（k≠0）称为反比例函数的反比例系数.概念归纳8试一试下列函数是不是反比例函数？若是,请写出它的比例系数.是，k=3不是，它是正比例函数不是是，k=1是，9反比例函数的三种表达方式：（注意：k≠0）归纳总结10例1:若函数是反比例函数，求k的值，并写出该反比例函数的解析式.典例精析解：由题意得4-k2=0，且k-2≠0，解得k=-2.因此该反比例函数的解析式为

11做一做1.已知函数是反比例函数，则k必须满足

.2.当m

时，是反比例函数.k≠2且k≠-1=±112因为x作为分母,不能等于零，因此自变量x的取值范围是所有非零实数.

但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数自变量的取值范围.例如，在前面得到的中,t的取值范围是t＞0．反比例函数自变量的取值范围及函数值二问题：反比例函数的

(k≠0)自变量x的取值范围是什么呢？13

例2：已知反比例函数.求这个函数自变量的取值范围.分母不得为零解析：由于此反比例函数的自变量x位于分母的位置，所以其取值范围为：.典例精析14用待定系数法求反比例函数三典例精析例3：已知y是x的反比例函数，当x=-4时，y=3.（1）写出y与x之间的函数表达式；（2）当x=-2时，求y的值；（3）当y=12时，求x的值.解：（1）设∵当x=-4时，y=3，∴3=

，解得k=-12.因此，y和x之间的函数表达式为y=；15（2）把x=-2代入y=-，得y=- =6；（3）把y=12代入y=-，得12=-，x=-1.

（1）求反比例函数表达式时常用待定系数法，先设其表达式为y=kx（k≠0），然后再求出k值；（2）当反比例函数的表达式y=kx（k≠0）确定以后，已知x（或y）的值，将其代入表达式中即可求得相应的y（或x）的值.

总结16例4：已知y与x-1成反比例，当x=2时，y=4.（1）用含有x的代数式表示y；（2）当x=3时，求y的值.解：（1）设y=

（k≠0）， 因为当x=2时，y=4，所以4=， 解得k=4. 所以y与x的函数表达式是y=

；

（2）当x=3时，y==2.

17建立简单的反比例函数模型四例5：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则y与x的函数关系式为

.典例精析18解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，所以所以

xy=360(定值)，即y与x成反比例关系．所以因此，当菱形的面积一定时，它的一条对角线长y是另一条对角线长

x

的反比例函数.例6：如图所示，已知菱形ABCD的面积为180，设它的两条对角线

AC，BD的长分别为x，y.写出变量y与x之间的函数表达式，并指出它是什么函数.ABCD19方法归纳

反比例函数模型在物理学中应用最为广泛，一定条件下，公式中的两个变量可能构成反比例关系，进而可以构建反比例函数的数学模型.列出反比例函数解析式后，注意结合实际问题写出自变量的取值范围.20当堂练习1.生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，x和y成反比例函数关系的个数有

（

）

（1）x人共饮水10kg，平均每人饮水ykg（2）底面半径为xm，高为ym的圆柱形水桶的体积为10m3（3）用铁丝做一个圆，铁丝的长为xcm，做成圆的半径为ycm（4）在水龙头前放满一桶水,出水的速度为x，放满一桶水的时间y

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个B212.(1)若是反比例函数，则m的取值范围是

.

(2)若是反比例函数，则m的取值范围是

.

(3)若是反比例函数，则m的取值范围是

.

且223.已知y与

成反比例,并且当x=3时,y=4,求x=1.5时,y的值.解：由题意知∵当x=3时，y=4,∴∴k=36

即：∴当

x=1.5时，y=16.待定系数法234.小明家离学校1000m，每天他往返于两地之间，有时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速度为v(m/min)，所用的时间为t(min)．

(1)求变量v和t之间的函数表达式；

(2)星期二他步行上学用了25min，星期三他骑自行车上学用了8min，那么他星期三上学时的平均速度比星期二快多少呢？

24解：(1)

(t>0)．

(2)当t＝25时，；

当t＝8时，，

125－40＝85(m/min)．答：小明星期三上学时的平均速度比星期二快85m/min.25反比例函数待定系数法求反比例函数表达式课堂小结建立反比例函数模型26见本课时练习课后作业27学习目标1.了解反比例函数图象绘制的一般步骤并学会绘制简单的反比例函数图象．2.了解并学会应用反比例函数图象的基本性质．

(重点、难点)281．什么是反比例函数？2．反比例函数的定义中需要注意什么？（1）k是非零常数.（2）xy=k．一般地，形如

y=(k是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数．kx—3．还记得一次函数的图像与性质吗？导入新课回顾与思考29函数正比例函数表达式图象形状k>0k<0位置增减性位置增减性y=kx(k是常数，k≠0）

直线（经过原点）第一、三象限从左到右上升，y随x的增大而增大第二、四象限

从左到右下降，y随x的增大而减小k

(k是数,k≠0)x

≠0y=x反比例函数？304.如何画函数的图象？函数图象画法描点法列表描点连线想一想：

正比例函数y=kx(k≠0)的图象的位置和增减性是由谁决定的？我们是如何探究得到的？反比例函数的图象与性质又如何呢？31作反比例函数的图象及画法一讲授新课问题：如何画反比例函数的图象？

解析：画函数的图象步骤一般分为：列表描点连线三个步骤，需要注意的是在反比例函数中自变量x不能为0．解：列表如下x…-6-5-4-3-2-1123456…y…-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21…32描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得的图象．123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-4-6-556xy=x6yO33方法归纳

绘制反比例函数的图象与绘制一次函数的图象的步骤基本一致，不同之处在于反比例函数图象为曲线，连线时应该尽量保证线条自然，图象是延伸的，注意不要画成有明确端点．曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交．34

画反比例函数的图象？

解析：画出函数的图象一般分为列表描点连线解：列表如下注意1.自变量x需要取多少值?为什么?2.取值时要注意什么?x-8-4-3-2-112348y-1-2-4-88421练一练35描点、连线：x-8

–7

–6

–5

–4

–3

-2

-1

O

1

2

34

5

6

7

8y-1-2-3-4-5-6-7-887654321●●●●●●●●●●●●36问题：观察前面两个已经绘制出来的图象，它们位置有着什么共同特征呢？它们的图象都由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与x轴、y轴都不相交.总结归纳一般地，当k＞0时，反比例函数的图象由分别在第一、三象限内的两条曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交.37C

反比例函数y=

的图象大致是（)yA.xyoB.xoD.xyoC.xyo练一练38反比例函数的性质二性质问题：观察下面图象，在每一个象限内，函数值y随自变量x的变化如何改变？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小xyO39例1：已知反比例函数的图象过点(-2，-3)，函数图象上有两点A(

)，B(5，y2)

,则y1与y2的大小关系为()A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.无法确定C解析：由题可知反比例函数解析式为，因为A、B两点均在函数图象上，并且都在第一象限内，根据xA>xB，得y1<y2故选C．典例精析40例2:如图所示的曲线是函数(m为常数)图象的一支．(1)求常数m的取值范围；(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限的交点为A(2，n)，求点A的坐标及反比例函数的解析式．（2）∵两个函数的交点为A(2，n)，

∴解得

∴点A的坐标为(2，4)；反比例函数的解析式为y＝.

解：（1）由题意可得，m－5＞0，解得m＞5.41当堂练习

１．已知反比例函数的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是________.42B2.在反比例函数(k>0)的图象上有两点A(x1,y1)，

B(x2,y2)且x1>x2>0，则y1-y2的值为()

A．正数B．负数

C．非正数D．非负数433.已知反比例函数

(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)．(1)求这个函数的表达式；(2)判断点B(-1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；(3)当-3<x<-1时，求y的取值范围．44解：(1)∵反比例函数

(k为常数，k≠0)的图象经过点

A(2，3)，∴把点A的坐标代入表达式，得，解得k=6，∴这个函数的表达式为．

(2)∵反比例函数的表达式为

，∴6=xy分别把点B，C的坐标代入，得(－1)×6=－6≠6，则点B不在该函数图象上,∵3×2=6，则点C在该函数图象上．45(3)∵当x=-3时，y=-2；当x=-1时，y=-6，且

k>0，∴当x<0时，y随x的增大而减小，∴当-3<x<-1时，-6<y<-2．46性质：在每个象限内，y随x的增大而减小图象：分别位于第一、三象限课堂小结图象的画法（描点法）：列表、描点、连线47见本课时练习课后作业48学习目标1.了解反比例函数的相关性质．（重点、难点）2.理解双曲线的概念以及其与反比例函数的联系．（重点、难点）3.利用双曲线的性质解决简单的数学问题．49观察与思考导入新课问题

下表是一个反比例函数的部分取值，想一想这些点如果在平面直角坐标系中是怎样一种情况呢？可以试着动手画一画．x-6-3-2-11236y1266-6-3-2-150作反比例函数图象的步骤一讲授新课问题：如何画反比例函数的图象？

解析：通过上节课学习可知画图象的三个步骤为列表描点连线需要注意的是在反比例函数中自变量x不能为0．解：列表如下x…-6-5-4-3-2-1123456…y…11.21.5236-6-3-2-1.5-1.2-1…51描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得的图象．123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-4-6-556yxy=

x6O52

图象的画法与图象的画法类似，但在解题的时候要注意图象所在的象限．方法归纳53反比例函数的图象与性质二概念归纳图象性质由两条曲线组成，分别位于第二、四象限它们与x轴、y轴都不相交问题：观察已经绘制出来的图象，它有着什么样的特征呢？在每个象限内，y随x的增大而增大xyO54典例精析D例1：反比例函数的图象大致是（)yA.xyoB.xoD.xyoC.xyo55例2：若双曲线y=的两个分支分别在第二、四象限，则k的取值范围是()A.k＞ B.k＜C.k= D.不存在解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有2k-1＜0，解得k＜

.故选B.B典例精析56双曲线的概念及性质三问题：观察前面绘制出来的图象，想一想它们有什么样的共同点与特征呢？xyxy双曲线

是轴对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形．OO57例3：如图，已知直线y=mx与双曲线的一个交点坐标为(-1,3)，则它们的另一个交点坐标是()A.(1,3)B.(3,1)C.(1,-3)D.(-1,3)xyCO58例4：点(2，y1)和(3，y2)在函数上，则y1

y2．（填“>”“<”或“=”）<解析：由题意知该反比例函数位于第二、四象限，且y随着自变量x的增大而增大，故y1<y2．59当堂练习１．若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，则k的取值可能是

()A.1B.2C.3D.4A602.下列关于反比例函数的三个结论：

(1)它的图象经过点（-1，12）和点（10，-1.2）

(2)它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小

(3)它的图象在二、四象限内其中正确的是

（填序号）．(1)(3)613.已知反比例函数的图象的一支如图所示．(1)判断k是正数还是负数；(2)求这个反比例函数的表达式；(3)补画这个反比例函数图象的另一支．解：(1)因为反比例函数的图象在第二象限，所以k是负数．62(2)设反比例函数的表达式为将(-4，2)代入其中，解得k=-8，所以反比例函数的表达式为:(3)根据反比例函数图象的中心对称性可补画出另一支，图象略．634.下列关于反比例函数的三个结论：

(1)它的图象经过点（-1,12）和点（10，-1.4）；

(2)它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小；

(3)它的图象在二、四象限内.其中正确的是

（填序号）．(1)(3)5.如果点（a,-2a）在双曲线上，那么在第几象限内，y随x的增大而__________增大64性质：在每个象限内，y随x的增大而增大图象：双曲线，分别位于第二、四象限课堂小结图象的画法（描点法）：列表、描点、连线65见本课时练习课后作业66学习目标1.归纳总结反比例函数的图象与性质．（重点）2.理解并掌握反比例函数的系数k的几何意义．（重点、难点）67观察与思考导入新课x问题

如图所示，对于反比例函数，在其图象上任取一点P，过P点作轴于Q点并连接OP．ＯＱＰy试着猜想的面积与反比例函数的关系，并探讨反比例函数中k值的几何意义．想一想68用待定系数法确定反比例函数的解析式一讲授新课思考：已知反比例函数中的某个点的坐标，可以确定该反比例函数的解析式吗？例1：已知反比例函数的图象经过点P(2，4)(1)求k的值，并写出该函数的表达式；

(2)判断点A(-2，-4)，B(3，5)是否在这个函数的图象上；

(3)这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？69

解：(1)因为反比例函数的图象经过点

P（2，4），即点P

的坐标满足这一函数表达式，因而，解得k=8.

因此，这个反比例函数的表达式为.

(2)把点A，B的坐标分别代入，可知点A的坐标满足函数表达式，点B

的坐标不满足函数表达式，所以点A在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上.70

用待定系数法确定反比例函数的解析式，已知反比例函数上一点的坐标，要求解析式，只要把这点的坐标代入即可求得．(3)因为k＞0，所以这个反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，函数值y随自变量

x的增大而减小.方法归纳71反比例函数解析式中k的几何意义二合作探究1.在反比例函数的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写表格：

4

4S1=S2S1=S2=kS1的值S2的值S1与S2的关系猜想与k的关系P（2,2）Q（4,1）12345-1-3-2-4-51234-1-2-3-4-55xyOQPS1S2722.若在反比例函数中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：S1的值S2的值S1与S2的关系猜想与k的关系P（-1,4）Q（-2,2）4

4S1=S2S1=S2=-kyxoPQS1S273由前面的探究过程，可以猜想:若点P是图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=|k|.合理猜想74yxOPS我们就k<0的情况给出证明：设点P的坐标为(a,b)AB∵点P(a,b)在函数的图象上，∴，即ab=k∴S矩形AOBP=PB·PA=-a·b=-ab=-k；若点P在第二象限，则a<0，b>0若点P在第四象限，则a>0，b<0∴S矩形AOBP=PB·PA=a·（-b）=-ab=-k.BPA综上，S矩形AOBP=|k|.自己尝试证明k>0的情况.75方法归纳点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形AOBQ=

推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO=Q对于反比例函数，AB|k|反比例函数的面积不变性yxO76典例精析例2.如图，在函数的图像上有三点A、B、C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则（）yxOA.SA>SB>SCB.SA<SB<SCC.SA=SB=SCD.SA<SC<SBABCC77

例3：如图,过反比例函数图象上的一点P,作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为6,则k=

.yxOPA﹣12

当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k＜0.归纳78例4：如图所示，点A在反比例函数的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．xyＯCA分析：先设点A的坐标，然后用A的坐标表示△AOC的面积，进而求出k的值．79解：

∵A在反比例函数的解析式上

∴

∴

∴∴反比例函数的表达式为

80方法归纳

过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴与向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于的一半．81反比例函数的图象与性质的综合应用三问题：回顾一下前两课中所学的反比例函数的图象与性质．并完成下表．

反比例函数kk>0k<0图象性质图象位于第一、三象限图象位于第二、四象限在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大82例5：下图是反比例函数的图象.根据图象，回答下列问题：（1）k

的取值范围是k＞0还是k

＜0？说明理由；（2）如果点A（-3，y1），B（-2，y2）是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小.83解：(1)由图可知，反比例函数图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，因此，k＞0.

(2)因为点A(-3，y1)，B(-2，y2)是该图象上的两点，且-3＜0，-2＜0，所以点A，B都位于第三象限.

又因为-3＜-2，由反比例函数图象的性质可知：

y1>y2．84反比例函数与一次函数的综合四问题：回顾正比例函数与反比例函数的性质．完成下表．类别正比例函数反比例函数关系式图象的形状性质k>0k<0过原点的直线双曲线图象过一、三象限y随x的增大而增大图象位于一、三象限在每个象限里y随x的增大而减小图象过二、四象限y随x的增大而减小图象位于二、四象限在每个象限里y随x的增大而增大85例6：在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是()D.xyoC.xyA.yxB.xyoDoo86例7：已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P（-3，4）.试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.

由于这两个函数的图象交于点P（-3，4），则点P（-3，4）是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个表达式.因此

,解得，解：设正比例函数、反比例函数的表达式分别为和，其中k1，k2

为常数，且均不为零.87因此，这两个函数表达式分别为和，它们的图象如图所示.P88例8：

如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．解：(1)由反比例函数定义可知k＝(－1)×(－4)＝4.∴y＝，而M(2，m)在反比例函数图象上．∴m＝2，∴M(2，2)．即在一次函数图象上有∴∴y＝2x－2;(2)由图中观察可知，满足题设x的取值范围为x<－1或0<x<2.891.如图，函数y＝-x与函数的图象相交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为(

)A．2B．4C．6D．8当堂练习D90解析：∵过反比例函数图象上的点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，∴

＝＝|k|＝2，由直线和双曲线的对称性可知OC＝OD，AC＝BD，∴

＝

＝＝

＝2，∴四边形ACBD的面积为：

＋

＋

＋＝4×2＝8.故选D.912．如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么(x2－x1)(y2－y1)的值为________．24923.如图所示，反比例函数（k≠0）的图象上有一点A,AB

∥x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的表达式是（ ）A. B. C. D.yxOABC934．

已知直线l平行于直线y＝2x＋1，并与反比例函数的图象交于点A(a，1)．求直线l的函数表达式．解：∵反比例函数的图象过点A(a，1)，∴，∴a=1，∴点A的坐标为(1，1)．∵直线l平行于直线y=2x＋1，∴可设直线l的函数表达式为y=2x＋b，把点

A(1，1)的坐标代入，得1=2×1＋b，∴b=-1，∴直线l的函数表达式为y＝2x-1.94课堂小结k>0性质：在每个象限内，y随x的增大而减小k<0图象：第一、三象限性质：在每个象限内，y随x的增大而增大图象：第二、四象限95见本课时练习课后作业961.学会利用反比例函数解决简单几何问题；（重点、难点）2.利用反比例函数构建数学模型解决实际问题.（重点、难点)学习目标97导入新课观察与思考问题:使劲踩气球时，气球为什么会爆炸？在温度不变的情况下，气球内气体的压强p与它的体积V

的乘积是一个常数k.即pV=k(k为常数，k＞0).98讲授新课反比例函数在实际生活中的应用一例1：某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？典例精析99由p＝得p＝p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数．(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？当S＝0.2m2时，p＝＝3000(Pa)．答：当木板面积为0.2m2时压强是3000Pa．100(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象．图象如下当p≤6000Pa时，S≥0.1m2．0.10.5O0.60.30.20.4100030004000200050006000p/PaS/101例1.市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有怎样的函数关系?(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2,施工队施工时应该向下掘进多深?(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时,碰上了坚硬的岩石.为了节约建设资金,储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)?102解:(1)根据圆柱体的体积公式,我们有

S×d=变形得即储存室的底面积S是其深度d的反比例函数.市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.

(1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有怎样的函数关系?103把S=500代入,得解得d=20

如果把储存室的底面积定为500m²,施工时应向地下掘进20m深.(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m²,施工队施工时应该向下掘进多深?解:104根据题意,把d=15代入,得解得S≈666.67当储存室的深为15m时,储存室的底面积应改为666.67m²才能满足需要.(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时,碰上了坚硬的岩石.为了节约建设资金,储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)?解:105圆柱体的体积公式是什么？第（2）问和第（3）问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？【反思小结】（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S，深度为d，满足基本公式：圆柱的体积＝底面积×高，由题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式.（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，（3）问则是与（2）相反．小组讨论106我们学习过反比例函数，例如，当矩形面积一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数解析式可以写为（S为常数，S≠0）．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数解析式．实例：

；函数解析式：

．

解：实例，三角形的面积S一定时，三角形底边长y是高x的反比例函数，其函数解析式可以写为（S为常数，S≠0）．做一做107S(mm2)y(m)100P(4,32)O6解：由P点可知反比例函数为：当S为1.6时，代入可得y=80

故当面条粗1.6mm2时，面条长80米．练一练：你吃过拉面吗？一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(m)是面条的粗细（横截面积）

S(mm2)的反比例函数．其图象如图所示，则当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是多少米？108反比例函数在物理问题中的应用二

物理中也有一些问题是与反比例函数息息相关的，一起来看看下面的例子．典例精析例3：蓄电池的电压为定值.使用此电源时，用电器的额电流I（A）与电阻R(Ω)之间的函数关系如下图所示109(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？解：

(1)由题意设函数表达式为I＝∵A(9，4)在图象上，∴U＝IR＝36．∴表达式为I＝．即蓄电池的电压是36V．110R／Ω345678910I／A(2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？解：当I≤10A时,解得R≥3.6Ω.所以可变电阻应不小于3.6Ω．1297.265.14.543.6111方法归纳

反比例函数应用的常用解题思路是：（1）根据题意确定反比例函数关系式：（2）由反比例关系式及题中条件去解决实际问题．112(1)当矩形的长为12cm时，宽为

，当矩形的宽为4cm，其长为

.(2)如果要求矩形的长不小于8cm，其宽

.当堂练习１．已知矩形的面积为24cm2，则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（）至多3cm2cm6cmA1132.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）

A.

不大于B.

小于

C.

不小于D.

大于C1143.码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把货物装载完毕恰好用了8天时间．货物到达目的地后开始卸货，则：（1）卸货速度v(吨/天)与卸货时间t(天)之间有怎样的函数关系？（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须不超过5日卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？115解析：(1)从题设中我们不难发现：v和t之间的函数关系，实际上是卸货速度和卸货时间的关系，根据卸货速度＝货物总量÷卸货时间，就可得到v和t的函数关系，根据题中每天以30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把货物装载完毕恰好用了8天时间．根据装货速度×装货时间＝货物总量，可以求出轮船装载货物的总量，即货物的总量为30×8＝240(吨)．所以v与t的函数表达式为116(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，求平均每天卸载货物至少多少吨．即求当t≤5时，v至少为多少吨．由得

，t≤5，所以≤5

.因为v>0，所以240≤5v，解得v≥48，所以船上的货物要在不超过5日内卸载完毕，平均每天至少卸载48吨货物．117反比例函数的应用实际问题与反比例函数审题、准确判断数量关系应用类型物理问题与反比例函数一般解题步骤建立反比例函数的模型根据实际情况确定自变量的取值范围实际问题的求解课堂小结118见本课时练习课后作业1191.了解一元二次方程的概念；（重点）2.掌握一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式；（重点）3.能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型．（难点）学习目标120导入新课复习引入没有未知数1.下列式子哪些是方程？2+6=82x+35x+6=22x+3y=8x-5＜18代数式一元一次方程二元一次方程不等式分式方程1212.什么叫方程？我们学过哪些方程？含有未知数的等式叫做方程.我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.3.什么叫一元一次方程？含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.想一想：什么叫一元二次方程呢？122问题1

如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）.解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为3x2

cm2.整理，得该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？一元二次方程的概念及一般形式讲授新课根据题意有，200cm150cm123问题2

如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x整理，得该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？根据题意有124观察与思考方程①、②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点:①都是整式方程;②只含一个未知数;③未知数的最高次数是2.125知识要点一元二次方程的概念

像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)二次项系数一次项系数常数项126ax2+bx+c=0强调：“=”左边最多有三项，一次项、常数项可不出现，但二次项必须有;“=”左边按未知数

x

的降幂排列;“=”右边必须整理为0.127想一想为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c可以为零吗？当

a=0时bx＋c=0当

a≠0，b=0时

ax2＋c=0当

a≠0，c

=0时

ax2＋bx=0当

a≠0，b

=c

=0时

ax2

=0总结：只要满足a≠0，b，

c

可以为任意实数.128典例精析例1

下列选项中，关于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含两个未知数化简整理成x2-3x+2=0少了限制条件a≠0提示

判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.129例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2-x=2x2(2)(a-1)x∣a∣+1

-2x-7=0.解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；

(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．130例3：下列方程是一元二次方程吗？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x(1–x)

+10=2(

x+2)（2）5x(

x+1)

+7=5x2-4.分析：根据一元二次方程的概念，以上的方程都需要进行整理，使右边为0，再根据左边的式子进行判断.131（1）3x(1–x)

+10=2(

x+2)去括号，得3x-3x2+10=2x+4.移项，合并同类项，得-3x2+x+6=0，这是一元二次方程，其中二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6.思考：可以写成3x2-x-6=0

吗？那么各项系数又是多少？常数项是多少呢？132去括号，得移项，合并同类项，得这是一元一次方程，不是一元二次方程.（2）5x(

x+1)

+7=5x2-4.5x2+5x+7=5x2-4.5x+11=0，133当堂练习１.请用线把左边的方程与右边所对应的方程类型连接起来：2x2+5x=x2-3(x+1)2-1=x2+43x+5=2x-1一元一次方程一元二次方程分式方程134

2.下列方程哪些是一元二次方程?(1)7x2－6x＝0(2)2x2－5xy＋6y＝0(5)x2＋2x－3＝1＋x2解:(1)(4)(6)1353.填空：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项-21313-540-53-21364．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．4尺2尺xx－4x－2137解：设竹竿的长为x尺，则门的宽度为(x－4)尺，长为(x－2)尺，依题意得方程：(x－4)2＋(x－2)2＝x2即：x2－12x＋20＝0138一元二次方程一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数．课堂小结概念：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式139见本课时练习课后作业140学习目标1.理解并掌握一元二次方程的根的概念;2.会用直接开平方法解形如的方程．（重点、难点）141导入新课问题：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据题意，得：10×6x2＝1500，由此可得x2＝25，根据平方根的意义，得x＝±5，即x1＝5，x2＝－5．但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dm.142讲授新课一元二次方程的解(根)一前面题解得的x1＝5，x2＝－5也叫作10×6x2＝1500的根．一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根．143典例精析例1：已知x=1是一元二次方程x2-mx+2m=0的一个解，则m的值是()

A.-1B.1C.0D.0或1解析：把x=1代入一元二次方程x2-mx+2m=0

可得m=-1.A144

例2：已知a是方程x2+2x－2=0

的一个实数根,求2a2+4a+

2017的值.解：由题意得方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．145直接开平方法解一元二次方程二问题1：能化为(x+m)2=n(n≥0)的形式的方程需要具备什么特点？左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为(x+m)2=n(n≥0).问题2：x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±3，如果x换元为2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？146试一试

解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解:根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得

x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.147（2）当p=0

时，方程(I)有两个相等的实数根=0；（3）当p<0

时,因为任何实数x，都有x2≥0

，所以方程(I)无实数根.探究归纳

如果我们把x2=4，

x2=0，

x2+1=0变形为x2=p

呢？一般的，对于方程x2=p,(I)

（1）当p>0

时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根，；

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳148

例3

利用直接开平方法解下列方程:(1)x2=6；(2)

4x2－25=0.解：（1）x2=6，直接开平方，得（2）移项，得直接开平方，得典例精析149在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到:（2x+1)2=2②得对照上面解方程(I)的方法，你认为怎样解方程（2x+1）2=2.探究交流于是，方程（2x+1）2=2的两个根为150上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.解题归纳151例4

解下列方程：⑴（x＋1）2=2；

典例精析

解析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.即x1=-1+，x2=-1-解：（1）∵x+1是2的平方根，∴x+1=152解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.例4

解下列方程：（2）（x－1）2－4=0；即x1=3，x2=-1.解：（2）移项，得（x-1）2=4.∵x-1是4的平方根，∴x-1=±2.153∴x1=

，

x2=例4

解下列方程：(3)12（3－2x）2－3=0.解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.解：(3)移项，得12（3-2x）2=3，两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.∵3-2x是0.25的平方根，∴3-2x=±0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5154

首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解.1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？

如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2=p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流155当堂练习1．一元二次方程x2－4＝0的根为(

)A．x＝2B．x＝－2C．x1＝2，x2＝－2D．x＝42．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是(

)A．0个B．1个C．2个D．3个3．一元二次方程x2＝7的根是

．C

C

1564．若代数式3x2－6的值为21，则x的值是

．5．解下列方程：

(1)2y2－100＝0；(2)(x＋6)(x－6)＝64.解析：由题意可得方程：3x2－6＝21；解这个方程得：x1=3，x2=-3.解：x2-36=64

x2=100

x=±10解：2y2=100

y2=501576.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0，求m的值.二次项系数不为零不容忽视解：将x=0代入方程m2-4=0，解得m=±2.∵m+2≠0，∴m≠-2，综上所述：m=2.158拓广探索

已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)一个根为1,求a+b+c的值.解：由题意得思考:1.若a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根吗?解：由题意得∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根是1.2.若a-b+c=0,4a+2b+c=0，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根吗?x=2159直接开平方法解一元二次方程课堂小结一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根160见本课时练习课后作业161学习目标1.理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．（重点）2.通过配方法体会“等价转化”的数学思想．162填一填：1.如果x2=a,那么x=

.2.若一个数的平方等于9,则这个数是

;若一个数的平方等于7,则这个数是

.3.完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2

=

.±3(a±b)导入新课163配方法的概念及思路一讲授新课合作探究问题1：你能填上适当的数使等式成立吗？(1)x2＋6x＋____＝(x＋____)；(2)x2－6x＋____＝(x－____)；(3)x2＋6x＋5＝x2＋6x＋____－___＋5＝(x＋____)－____．93939349222164问题2：方程x2+4x=12怎么解.

我们已经知道，如果能把方程写成（x+n）2=d（d≥0）的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解.因此，我们在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，即加上22；为了使等式仍然成立，应当再减去22.为此，把方程写成：x2+4x+22-22=12，因此，有x2+4x+22=22+12.即（x+2）2=16.解得x1=2，x2=-6.165一般地，像上面这样，在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.这种解一元二次方程的方法叫作配方法.配方是为了直接运用平方根的意义，从而把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.知识要点166典例精析例1：用配方法解下列方程：(1)x2+10x+9=0解：

配方，得x2+10x+52-52+9=0因此(x+5)2=16由此得x+5=4或x+5=-4解得

x1=-1x2=-9利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程二167解：配方，得x2-12x+62-62-13=0因此(x-6)2=49由此得

x-6=7或x-6=-7解得