2021中考数学压轴题·题型组合卷（四）及答案解析

中考压轴题•题型组合卷(四)

(满分：30分)

一、选择、填空题(共2小题，每小题3分，共6分)

1.在平面直角坐标系中，将抛物线y=/+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°,所得抛物线的解析式是()

A.y=-(x+1)2+2B.y=-(x-1)2+4

C.y--(x-1)2+2D.y--(x+1)2+4

2.如图所示，在菱形ABC。中，AB=4,120°,ZvlEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边8C、CD1.

滑动，且E、F不与&C、O重合.当点E、F在BC、CD上滑动时，则的面积最大值是

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二、解答题(共2小题，每小题12分，共24分)

3.如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=/平移，使平移后的抛物线经过点A(-3,0)、B(1,0).

(1)求平移后的抛物线的表达式.

(2)设平移后的抛物线交y轴与点C,在平移后的抛物线的对称轴上有一动点P,当BP与CP之和最小时，P

点坐标又是多少？

(3)若y=/与平移后的抛物线对称轴交于。点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点M,使

得以M、0、。为顶点的三角形△BO。相似？若存在，求点M坐标；若不存在，说明理由.

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4.如图，在△ABC中，已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC丝△£>£下,将△£>£尸与△ABC重合在一起，ZkABC不动,

△QEF运动,并满足：点E在边8c上沿B到C的方向运动，且OE始终经过点A,EF与4c交于M点.

（1）求证：AABEsAECM；

（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由;

（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积.

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参考答案

一、选择、填空题（共2小题，每小题3分，共6分）

1.在平面直角坐标系中，将抛物线），=y+2r+3绕着它与y轴的交点旋转180°,所得抛物线的解析式是（）

A.y=-（x+1）2+2B.y=-（x-1）2+4

C.y--（x-1）-+2D.y--（x+1）2+4

【分析】先将原抛物线化为顶点式，易得出与y轴交点，绕与y轴交点旋转180。，那么根据中心对称的性质,

可得旋转后的抛物线的顶点坐标，即可求得解析式.

【解答】解：由原抛物线解析式可变为：y=（x+1）2+2,

，顶点坐标为（-1，2）,与y轴交点的坐标为（0,3）,

又由抛物线绕着它与y轴的交点旋转180。，

新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点（0,3）中心对称，

新的抛物线的顶点坐标为（1,4）,

.•.新的抛物线解析式为:y=-（x-1）2+4.

【点评】本题主要考查了抛物线一般形式及于），轴交点，同时考查了旋转180。后二次项的系数将互为相反数，难

度适中.

2.如图所示，在菱形A8C。中，AB=4,ZBAD=120°,ZiAEF为正三角形，点、E、F分别在菱形的边8C、CD1.

滑动，且£尸不与B、C、。重合.当点E、尸在BC、CD上滑动时，则ACE尸的面积最大值是_亚_.

【分析】先求证AB=4C,进而求证△ABC、ZVIC。为等边三角形，得N4=60°,AC=AB进而求证

ACF,可得5AABE=SZ\ACF,故根据S四边形AECF=SAAEC+SAACF=SAAEC^SM8E=SAABC即可解题；当正三角形AEF

的边4E与8c垂直时，边AE最短.△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当4E最短时，正三角形AEP

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的面积会最小，又根据SACEF=S四边形4ECF-SMEF,则△CEF的面积就会最大.

【解答】解：如图，连接AC,

:四边形ABC£>为菱形，ZBAD=UO°,

Nl+NE4c=60°,Z3+ZEAC=60°,

.*.Z1=Z3,

'：ZBAD^\20Q,

.•./ABC=60°,

AABC和MACD为等边三角形，

AZ4=60°,AC=AB,

.,.在△ABE和△ACF中，

'/1=N3

<AC=AC，

ZABC=Z4

A/\ABE^/\ACF(ASA),

••S/sABE=S^ACFf

S四边形AECF=Szx4EC+SAACF=SaAEC+Sa4BE=SzkABC，是定值，

作4”_L8C于“点，则8"=2,

*,•S四边形AB2—BH2=4>\/^，

由“垂线段最短”可知：当正三角形AE尸的边AE与8c垂直时，边AE最短，

・・・△AM的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小,

又SACEF=S四边形AECF-SAAEF,贝Ij

此时△CEb的面积就会最大，

22=

:.SACEF=SwnmAECF-SAA£F=4V3-yx2V3X(2»/3)-(^)V3.

故答案为：Vs

【点评】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，根据△ABE丝ZVICF,得出

四边形AECF的面积是定值是解题的关键.

二、解答题(共2小题，每小题12分，共24分)

3.如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=/平移，使平移后的抛物线经过点A(-3,0)、8(1,0).

(1)求平移后的抛物线的表达式.

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(2)设平移后的抛物线交y轴与点C,在平移后的抛物线的对称轴上有一动点尸，当BP与CP之和最小时，P点

坐标又是多少？

(3)若y=/与平移后的抛物线对称轴交于。点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点使得

以M、0、。为顶点的三角形△BOD相似？若存在，求点M坐标；若不存在，说明理由.

【分析】(1)设平移后抛物线的表达式为(x+3)(x-1).由题意可知平后抛物线的二次项系数与原抛物线

的二次项系数相同，从而可求得“的值，于是可求得平移后抛物线的表达式；

(2)先根据平移后抛物线解析式求得其对称轴，从而得出点C关于对称轴的对称点C'坐标，连接BC',与

对称轴交点即为所求点P,再求得直线BC'解析式，联立方程组求解可得；

(3)先求得点。的坐标，由点。、B、E、。的坐标可求得02、OE、DE、8。的长，从而可得到△EDO为等腰

三角直角三角形，从而可得到NMOO=NBOO=135°,故此当吼=毁或®_=毁时，以M、0、。为顶点的

DOOBDOOD

三角形与△80。相似.由比例式可求得MO的长，于是可求得点M的坐标.

【解答】解：(1)设平移后抛物线的表达式为(x+3)(x-1).

•.•由平移的性质可知原抛物线与平移后抛物线的开口大小与方向都相同，

平移后抛物线的二次项系数与原抛物线的二次项系数相同.

•••平移后抛物线的二次项系数为1，即“=1.

.,.平移后抛物线的表达式为)=(x+3)(x-1),

整理得：y=7+2x-3.

(2)：y=f+2x-3=(x+1)2-4,

抛物线对称轴为直线x=-1,与y轴的交点C(0,-3),

则点C关于直线x=-1的对称点C'(-2,-3),

如图1,

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连接B,C,与直线x=-1的交点即为所求点P,

由3(1,0),C'(-2,-3)可得直线8C'解析式为y=x-1,

则卜=x-l,

|x=-l

解得产-1，

ly=-2

所以点P坐标为(-1,-2)；

则DE=OE=l,

...△OOE为等腰直角三角形，

；.NDOE=NODE=45°,N8OO=135°,OD=近,

，BO=泥，

VZBOD=135°,

...点M只能在点。上方，

'：ZBOD=ZODM=135°,

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...当业=毁或］/=毁时，以M、0、。为顶点的三角形△BOQ相似，

DOOBDOOD

①若吼=毁，则粤=返，解得QM=2,

DOOBV21

此时点M坐标为(-1,3)；

②若吼=2殳，则%=3,解得。M=l,

DOODV2V2

此时点M坐标为(-1,2)；

综上，点M坐标为(-1,3)或(-1,2).

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了平移的性质、翻折的性质、二次函数的图

象和性质、待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定，证得

=135°是解题的关键.

4.如图，在△ABC中，已知AB=4C=5,BC=6,且将△£)£尸与△ABC重合在一起，△ABC不动，

△DEF运动,并满足：点E在边BC上沿8到C的方向运动，且QE始终经过点A,EF与AC交于M点.

(1)求证：AABEsAECM；

(2)探究：在△OEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出8E的长；若不能，请说明理由；

(3)当线段AM最短时，求重叠部分的面积.

BE

【分析】(1)由AB=AC,根据等边对等角，可得NB=NC,又由△ABCWaOE尸与三角形外角的性质，易证

得NCEM=NBAE,则可证得：AABE^AECM；

(2)首先由且/AME>NC,可得AEWAM,然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注

意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；

(3)首先设BE=x,由△ABES/XECM,根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=--A(x-3)

555

2+9,继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，继而求得重叠部分的面积.

5

【解答】(1)证明：•；A8=4C,

；.NB=NC,

NAEF=ZB,

又；NAEF+NCEM=ZAEC=/B+NBAE,

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:.NCEM=NBAE,

：.△ABES^ECM；

(2)能.

解：VZAEF=ZB=ZC,且NAME>NC,

NAME〉ZAEF,

.♦.AEWAM；

当AE=EM时，则MABE艺XECM,

：.CE=AB=5,

.'.BE=BC-EC=