向量和矩阵的范数

第三章线性方程组的数值解法3.1向量与矩阵的范数3.2直接法3.3迭代法3.4迭代法的收敛性分析"范数"是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度高维向量的"长度"能否定义呢?为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代的收敛性，需要对n维向量空间中的向量以及矩阵引进“大小”的概念。

对于实数和复数，由于定义了它们的绝对值或模，这样我们就可以用这个度量来表示它们的大小（几何上就是长度），进而可以考察两个实数或复数的距离。

对于维线性空间，定义了内积以后，向量就有了长度（大小）、角度、距离等度量概念，这显然是3维现实空间中相应概念的推广。利用公理化的方法，可以进一步把向量长度的概念推广到范数。§3.1向量与矩阵的范数从向量的长度或模谈起，当且仅当时，等号成立。例1

复数

的长度或模指的是量显然复向量的模具有下列三条性质：，当且仅当时，等号成立。显然向量的模也具有下列三条性质：例2

维欧氏空间中向量的长度或模定义为定义3.3.1按某种规则(或映射)（一）向量的范数由(3)可推出不等式：--------(1)--------(2)--------(3)--------(4)显然并且由于例3.3.1

求下列向量的各种常用范数解向量范数是其分量的连续函数，即有下述定理：定理3.1（向量范数连续性定理）证明有限维向量空间的范数等价性定理定理3.2容易验证：

（1）‖x‖2≤‖x‖1≤

n1/2‖x‖2；

（2）‖x‖∞≤‖x‖2≤

n1/2‖x‖∞；

（3）‖x‖∞≤‖x‖1≤

n‖x‖∞。3种范数相互等价向量序列的收敛性定义3.3

如果向量序列{x(k)}⊂Rn和向量x∈Rn满足则称向量序列{x(k)}收敛于向量x，记为定理3.3

向量序列{x(k)}收敛于x的充分必要条件是由向量范数的等价性定理可得到结论：如果在一种范数意义下向量序列收敛时，则在任何一种范数意义下向量序列亦收敛证明：定义3.43.1.2矩阵的范数由于大多数与估计有关的问题中，矩阵和向量会同时参与运算，所以希望引进一种矩阵范数，它和向量范数相联系而且和向量范数相容，即为此我们引进矩阵的算子范数--------(3.5)定义3.5定理3.4--------(3.6)定理3.5

向量的常用范数可以得到常用的矩阵算子范数证明：对于2范数，应有

注意，

是半正定的对称阵，设其特征值为

以及其对应的正交规范特征向量为

则对任一满足

的向量

有

和

于是，有

另一方面，若取

，则有所以

例3.3.4求矩阵A的各种常用范数解由于特征方程为容易计算计算较复杂对矩阵元素的变化比较敏感(理论上)使用最广泛性质较好定义3.7如果n阶矩阵序列{A(k)}

⊂Rn×n和矩阵A∈Rn×n

满足（其中A(k)=(aij(k))n×n

,A=(aij)n×n）矩阵序列的收敛性则称矩阵序列{A(k)}收敛于矩阵A，记为定理3.6，Rn×n

中矩阵序列{A(k)}收敛于矩阵A的充分必要条件是定理3.7设A为任意n阶方阵，则对任意矩阵范数||A||，有：ρ(A)≤||A||证:设λ为A的任意一个特征值,X为对应的特征向量AX=λX两边取范数,得:||

AX||

=||λX

||=|λ|||

X

|||λ|||

X

||=||λX

||=||

AX||≤||

A||

||

X||由X

≠0,所以||

X

||>0,故有:|λ|≤||A||

所以特征值的最大值≤||A||，即ρ(A)≤||A||对任给的

存在

上的算子范数

使得定理3.8证明：由Jordan分解定理知，存在非奇异矩阵

，使得

其中，

=1或0，对于任意给定的

，令则有

在

上引入一个算子矩阵范数，定义如下

它所对应的向量范数，定义如下

该范数对于矩阵

有

定理证明补充定理3.9--------(3.8)证明3.1.3、方程组的性态条件数与摄动理论（一）线性代数方程组的性态

判断一个计算方法的好坏，可用方法是否稳定、解的精确度高低以及计算量、存储量大小等来衡量。然而，对于不同的问题，同一方法却可以产生完全不同的效果，这就涉及到所提供问题的性态，即“好、坏”。例3.3.5

可见，在上述方程组中，系数误差的小扰动对解的影响不大。可见，在上述方程组中，系数误差的小扰动对解的影响很大。思考:求解时,A

和的误差对解

有何影响？

设A

精确，有误差，得到的解为，即绝对误差放大因子又相对误差放大因子

设精确，A有误差，得到的解为，即(只要

A充分小，使得是关键的误差放大因子，称为A的状态数(条件数)，记为cond(A),定义3.9定义3.8矩阵A的条件数与所取范数有关。通常记显然，当A对称时，条件数有下列性质：定理3.9推论1推论2常数项b的扰动对解的影响系数矩阵A的扰动对解的影响定义3.3.8例3.3.6

试求例3.3.5中两个线性代数方程组的条件数解因而，第二个方程组的性态远比第一个方程组坏，从而对系数的敏感程度要高得多。值得强调的是，线性代数方程组的性质是问题本身的固有性质。用一个稳定的方法去解一个良态的方程组，必然得到较准确的结果。同样用一个稳定的方法去解一个病态的方程组，结果就可能很差。例3.3.7

解线性代数方程组的精确解为用列选主元消元法计算：回代后得到计算结果完全不可靠，实际上，此时因此，方程组病态！如把方程组的系数舍入成两位有效数字例3.3.8设有线性代数方程组试分析其性态。试分别计算两组方程组的精确解。它的精确解为x1=-6.222...x2=38.25…x3=-33.65...它的精确解为x1=x2=x3=1.条件数不是很好。两个解相差大，说明解对系数矩阵敏感程度高事实上，上例中矩阵A是三阶Hilbert矩阵n阶Hilbert矩阵是有名的病态矩阵，它随着矩阵阶数的增大，条件数迅速增大。解

“病态”方程的经验判断

“病态”问题的处理方法例3.3.10

解等价的方程组解回代后得到用列选主