【优化探究】高三数学二轮复习 阶段达标检测2

PAGEPAGE10【优化探究】2023届高三数学二轮复习阶段达标检测2(时间：120分钟总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．(高考北京卷)已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，那么A∩B＝()A．(－∞，－1) B．{－1，－eq\f(2,3)}C．(－eq\f(2,3)，3) D．(3，＋∞)解析：∵3x＋2>0，∴x>－eq\f(2,3).∴A＝{x|x>－eq\f(2,3)}．又∵(x＋1)(x－3)>0，∴x>3或x<－1.∴B＝{x|x<－1或x>3}．∴A∩B＝{x|x>－eq\f(2,3)}∩{x|x<－1或x>3}＝{x|x>3}．答案：D2．(武汉调研)已知a，b，a＋b，a－b均为非零向量，那么(a＋b)·(a－b)＝0是|a|＝|b|的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(a＋b)·(a－b)＝0a2－b2＝0|a|2＝|b|2|a|＝|b|.答案：C3．(荆州模拟)曲线y＝x2与曲线y＝8eq\r(x)所围成的封闭图形的面积为()A.eq\f(64,3) B.eq\f(128,3)C．16 D．48解析：两曲线的交点坐标为(0，0)，(4，16)，两曲线所围成的封闭图形的面积为eq\i\in(0,4,)(8eq\r(x)－x2)dx＝(eq\f(16,3)x－eq\f(x3,3))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(4,0))＝eq\f(16,3)×8－eq\f(64,3)＝eq\f(64,3).答案：A4．函数y＝x·ex在点(1，e)处的切线方程为()A．y＝ex B．y＝x－1＋eC．y＝－2ex＋3e D．y＝2ex－e解析：因为y′＝ex＋xex，所以y′eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝1))＝e＋e＝2e，所以函数y＝x·ex在点(1，e)处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e.答案：D5．(高考辽宁卷)执行如下图的程序框图，那么输出的S值是()A．4 B.eq\f(3,2)C.eq\f(2,3) D．－1解析：根据程序框图的要求一步一步地计算判断．根据程序框图，程序执行的步骤为S＝4，i＝1<6；S＝－1，i＝2<6；S＝eq\f(2,3)，i＝3<6；S＝eq\f(3,2)，i＝4<6；S＝4，i＝5<6；S＝－1，i＝6<6不成立，输出S＝－1.答案：D6．(高考江西卷)以下命题中，假命题为()A．存在四边相等的四边形不是正方形B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数C．假设x，y∈R，且x＋y>2，那么x，y至少有一个大于1D．对于任意n∈N＋，Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)都是偶数解析：选项B中，假设z1＋z2为实数，那么保证z1，z2虚部互为相反数即可，并不需要z1，z2互为共轭复数，如z1＝1－i，z2＝2＋i.故B不对．答案：B7．根据给出的数塔猜想123456×9＋7＝()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111……A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113解析：对题中所给信息进展归纳推理可得答案为B.也可以由123456×9＋7得到的数的个位数为1，排除选项A、C、D，应选B.答案：B8．(高考天津卷)以下函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为()A．y＝cos2x，x∈RB．y＝log2|x|，x∈R且x≠0C．y＝eq\f(ex－e－x,2)，x∈RD．y＝x3＋1，x∈R解析：利用逐项排除法求解．选项A中函数y＝cos2x在区间(0，eq\f(π,2))上单调递减，不满足题意；选项C中的函数为奇函数；选项D中的函数为非奇非偶函数，应选B.答案：B9．已知函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)，f(2011)·g(－2012)<0，那么y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是()解析：由f(2011)·g(－2012)<0，知0<a<1，根据函数g(x)＝loga|x|(0<a<1)的图象和函数f(x)＝ax－2(0<a<1)的图象，知选项B正确．应选B.答案：B10．(高考天津卷)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，λ∈R.假设eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，那么λ＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1±\r(2),2)C.eq\f(1±\r(10),2) D.eq\f(－3±2\r(2),2)解析：先用向量eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))表示出向量eq\o(BQ,\s\up6(→))，eq\o(CP,\s\up6(→))，再根据向量的运算列方程求解．eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→)))＝[eq\o(BA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))]·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,2)，所以4λ2－4λ＋1＝0.所以λ＝eq\f(1,2).答案：A11．(高考浙江卷)假设从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，那么不同的取法共有()A．60种 B．63种C．65种 D．66种解析：先找出和为偶数的各种情况，再利用分类加法计数原理求解．满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1，3，5，7，9中，任意取4个，有Ceq\o\al(4,5)＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2，4，6，8中任取2个，有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,4)＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．答案：D12．(高考山东卷)设函数f(x)＝eq\f(1,x)，g(x)＝－x2＋bx，假设y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么以下判断正确的选项是()A．x1＋x2>0，y1＋y2>0B．x1＋x2>0，y1＋y2<0C．x1＋x2<0，y1＋y2>0D．x1＋x2<0，y1＋y2<0解析：利用函数与方程的转化思想求解．设F(x)＝x3－bx2＋1，那么方程F(x)＝0与f(x)＝g(x)同解，故其有且仅有两个不同零点x1，x2.由F′(x)＝0得x＝0或x＝eq\f(2,3)b.这样，必须且只需F(0)＝0或F(eq\f(2,3)b)＝0.因为F(0)＝1，故必有F(eq\f(2,3)b)＝0，由此得b＝eq\f(3,2)eq\r(3,2).不妨设x1<x2，那么x2＝eq\f(2,3)b＝eq\r(3,2).所以F(x)＝(x－x1)(x－eq\r(3,2))2，比拟系数得－x1eq\r(3,4)＝1，故x1＝－eq\f(1,2)eq\r(3,2).x1＋x2＝eq\f(1,2)eq\r(3,2)>0，由此知y1＋y2＝eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)<0.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分)13．(高考湖南卷)(2eq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)解析：根据二项式定理的通项公式求解．∵(2eq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))6＝(eq\f(2x－1,\r(x)))6＝eq\f(（2x－1）6,x3)，又∵(2x－1)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(2x)6－r(－1)r，令6－r＝3，得r＝3.∴T3＋1＝－Ceq\o\al(3,6)(2x)3＝－20×23·x3＝－160x3.∴(2eq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))6的二项展开式中的常数项为－160.答案：－16014．(高考湖北卷)假设eq\f(3＋bi,1－i)＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，那么a＋b＝________．解析：利用复数相等的条件求出a，b的值．eq\f(3＋bi,1－i)＝eq\f(（3＋bi）（1＋i）,2)＝eq\f(1,2)[(3－b)＋(3＋b)i]＝eq\f(3－b,2)＋eq\f(3＋b,2)i.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3－b,2)，,\f(3＋b,2)＝b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝3.))∴a＋b＝3.答案：315．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．假设一月份至十月份销售总额至少达7000万元，那么x的最小值是________．解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，那么一月份到十月份的销售总额是3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根据题意有3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，那么25t2＋25t－66≥0，解得t≥eq\f(6,5)或者t≤－eq\f(11,5)(舍去)，故1＋x%≥eq\f(6,5)，解得x≥20.答案：2016．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x＋1），x>0,－x2－2x，x≤0，))假设函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，那么实数m的取值范围是________．解析：函数f(x)的图象如下图，函数f(x)＝－x2－2x(x≤0)的最大值是1，故只要0<m<1即可使方程f(x)＝m有三个相异的实数根，即函数g(x)＝f(x)－m有3个零点．答案：(0，1)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)设命题p：函数f(x)＝(a－eq\f(3,2))x是R上的减函数，命题q：函数f(x)＝x2－4x＋3在[0，a]上的值域为[－1，3]，假设“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．解析：∵f(x)＝(a－eq\f(3,2))x是R上的减函数，∴0<a－eq\f(3,2)<1.∴eq\f(3,2)<a<eq\f(5,2).∵f(x)＝(x－2)2－1在[0，a]上的值域为[－1，3]，那么2≤a≤4.∵“p且q”为假，“p或q”为真，∴p、q为一真一假．假设p真q假，得eq\f(3,2)<a<2，假设p假q真，得eq\f(5,2)≤a≤4，综上可知：a的取值范围是(eq\f(3,2)，2)∪[eq\f(5,2)，4]．18．(12分)已知函数f(x)＝(x＋2)|x－2|.(1)假设不等式f(x)≤a在[－3，1]上恒成立，求实数a的取值范围；(2)解不等式f(x)>3x.解析：(1)当x∈[－3，1]时，f(x)＝(x＋2)|x－2|＝(x＋2)(2－x)＝－x2＋4.∵－3≤x≤1，∴0≤x2≤9.于是－5≤－x2＋4≤4.即函数f(x)在[－3，1]上的最大值等于4.∴要使不等式f(x)≤a在[－3，1]上恒成立，实数a的取值范围是[4，＋∞)．(2)不等式f(x)>3x，即(x＋2)|x－2|－3x>0.当x≥2时，原不等式等价于x2－4－3x>0，解得x>4或x<－1.又∵x≥2，∴x>4.当x<2时，原不等式等价于4－x2－3x>0，即x2＋3x－4<0，解得－4<x<1.满足x<2.综上可知，原不等式的解集为{x|x>4或－4<x<1}．19．(12分)已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x1、x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)＝1.(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解不等式f(2x2－1)<2.解析：(1)证明：因对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，令x1＝x，x2＝－1，那么有f(－x)＝f(x)＋f(－1)．又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，从而f(－1)＝0，于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(2)证明：设0<x1<x2，那么f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1·eq\f(x2,x1))＝f(x1)－[f(x1)＋f(eq\f(x2,x1))]＝－f(eq\f(x2,x1))，由于0<x1<x2，所以eq\f(x2,x1)>1，从而f(eq\f(x2,x1))>0，故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)由于f(2)＝1，所以2＝1＋1＝f(2)＋f(2)＝f(4)，不等式可化为f(2x2－1)<f(4)，结合(1)(2)已证结论，可得上式等价于|2x2－1|<4且2x2－1≠0.解得{x|－eq\f(\r(10),2)<x<eq\f(\r(10),2)，且x≠±eq\f(\r(2),2)}．20．(12分)某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料本钱为20元，加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，出厂价为x元(25≤x≤40)．根据市场调查知，日销售量q(单位：个)与ex成反比，且当每个玩具的出厂价为30元时，日销售量为100个．(1)求该玩具厂的日利润y元与每个玩具的出厂价x元之间的函数关系式；(2)假设t＝5，那么每个玩具的出厂价x为多少元时，该工厂的日利润y最大？并求最大值．解析：(1)设日销量q＝eq\f(k,ex)(k≠0)那么eq\f(k,e30)＝100，∴k＝100e30∴日销量q＝eq\f(100e30,ex).∴y＝eq\f(100e30（x－20－t）,ex)(25≤x≤40)．(2)当t＝5时，y＝eq\f(100e30（x－25）,ex)(25≤x≤40)∴y′＝eq\f(100e30（26－x）,ex)(25≤x≤40)由y′>0得x∈[25，26)，由y′<0得(26，40]，∴函数在[25，26]上递增，在[26，40]上递减，∴当x＝26时，ymax＝100e4.即当每个玩具的出厂价为26元时，工厂的日利润最大，最大值为100e4元．21．(13分)(大同模拟)已知函数f(x)＝ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值．(1)求实数a的值；(2)假设关于x的方程f(x)＝－eq\f(5,2)x＋b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．解析：(1)∵f′(x)＝eq\f(1,x＋a)－2x－1，又函数f(x)在x＝0处取得极值，∴f′(0)＝eq\f(1,a)－1＝0，得a＝1.(2)由(1)知，f(x)＝ln(x＋1)－x2－x.令g(x)＝f(x)＋eq\f(5,2)x－b＝ln(x＋1)－x2＋eq\f(3,2)x－b，x∈(－1，＋∞)，那么g′(x)＝eq\f(1,x＋1)－2x＋eq\f(3,2)＝eq\f(－（4x＋5）（x－1）,2（x＋1）).令g′(x)＝0得x＝1.此时g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：∴当x＝1时，g(x)取得极大值也是最大值．由题设可知函数g(x)在区间[0，2]上有两个不同的零点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（1）>0,g（0）≤0,g（2）≤0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln2＋\f(1,2)－b>0,－b≤0,ln3－1－b≤0))解得ln3－1≤b<ln2＋eq\f(1,2)，∴b的取值范围是[ln3－1