《第9章 曲线拟合与数据分析》

第9章曲线拟合与数据分析·任课老师：程道建

副教授·E-mail:

chengdj@第9章曲线拟合与数据分析曲线拟合数据管理与数学运算统计分析及其他应用·

9.1曲线拟合·

回归分析概述所谓回归（regression）分析，就是一种处理变量与变量之间相互关系的数理统计方法。用这种数学方法可以从大量观测的散点数据中寻找到能反映事物内部的一些统计规律，并可以按数学模型形式表达出来。回归分析方法是处理变量之间相关关系的有效工具，它不仅提供建立变量间关系的数学表达式——经验公式，而且可对其进行拟合程度评价和显著性检验，从而检验经验公式的正确性。回归（regression）分析也可以称为拟合（fitting），回归是要找到一个有效的关系，拟合则要找到一个最佳的匹配方程，两者虽然略有差异，但基本一个意思。·

9.1曲线拟合回归分析的过程1）确定变量。包括自变量和因变量。2）确定数学模型。即自变量和因变量之间的关系。确定数学模型要注意两点：一是能否通过数据变换找到尽可能的模块。3）交由计算机软件进行反复逼近，必要时进行人为干预。4）根据运算结果，特别是相关系数进行检验。5）如果结果不满意，则重新修改模型参数再进行运算。·

9.1曲线拟合线性拟合线性拟合是数据分析中最简单又很重要的分析方法。Origin按以下方法把曲线拟合为直线：对X（自变量）和Y（因变量），线性回归方程为：Y=A+BX，参数A(截距)和B（斜率）由最小二乘法求算。线性拟合实例导入数据，通过【File】→【Import】命令打开安装目录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve

Fitting\Linear

Fit.dat文件。选中A、B列数据，生成散点图。通过【Analysis】→【Fitting】→【FitLinear】命令打开Linear

Fit对话框。·

9.1曲线拟合·

线性拟合4）选择默认设置，单击OK按钮生成拟合曲线及分析报表。拟合曲线分析报表·

9.1曲线拟合·

线性拟合–Linear

Fit对话框设置拟合参数设置对话框中，包含以下几项设置。1）Recalculate在这一项中，可以设置输入数据与输出数据的关系，包括Auto（当源数据数据变化后，自动更新）、Manual（手动更新）和None。·

9.1曲线拟合–Linear

Fit对话框设置Input

Data该项下面的选项用于设置输入数据区域以及误差数据区域。Fit

Options◆Errors

as

Weight：误差权重。◆Fix

Intercept（at）：截距限制。◆Fix

Slope（at）：斜率限制。◆UseReducedChi-Sqr：这个数据也能显示误差。◆ApparentFit：使用log坐标对指数衰减进行直线拟合。·

9.1曲线拟合–Linear

Fit对话框设置5）Quantities

to

ComputeFit

Parameters：拟合参数项。Fit

Statistics：拟合统计项。Fit

Summary：拟合摘要项。ANOVA：是否进行方差分析。Covariance

matrix：是否产生协方差Matrix。Correlation

matrix：是否显示相关性Matrix。·

9.1曲线拟合。–Linear

Fit对话框设置Residual

Analysis该项设置几种残差分析的类型。6）Output

Result该项用来定制分析报表Paste

Result

Tables

to

Graph：是否在拟合的图形上显示结果表格Output

Fitted

Values

To：报表输出位置。Output

Find

Specific

X/YTables：输出时包含一表格。自动计算X对应的Y值或Y对应的X值。（后面Find

specific

X/Y选中才出现此项）·

9.1曲线拟合–Linear

Fit对话框设置7）Fitted

Curves

Plot设置拟合图形选项PlotonOriginalGraph：在原图上作拟合曲线。Update

Legend

on

Original

Graph：更新原图上的图例。X

Data

Type：设置X列数据类型。Confidence

Bands：显示置信区间。Prediction

Bands：显示预计区间。Confidence

Level

for

Curves：设置置信度。·

9.1曲线拟合–Linear

Fit对话框设置8）Find

Specific

X/Y设置是否产生一个表格，显示在Y列或X列中寻找另一列对应的数据。（输出位置在Output

Result中设置）9）Residual

Plots用于输出各残差分析图。·

9.1曲线拟合·

线性拟合–关于分析报表分析报表（Analysis

Report

Sheets）较之旧版本，是新版本中的一个重要改进。新版本重新设计了全新的电子表格模块支持复杂的格式输出。另外在新版本中，新版本分析报表并不仅仅是用来显示分析结果的“静态”报表，而更像一种分析模板，也即是“动态”报表。新分析报表的特点：按树形结构组织，可根据需要进行收缩或展开；每个节点的输出内容可以是表格、图形、统计和说明；报表以电子表格（Workbook）形式呈现，分析报表附带的数据会生成新的电子表格。·

9.1曲线拟合–拟合结果分析报表Notes：记录用户、使用时间和拟合方程等信息。Input：显示数据的来源。3）Parameters：显示斜率、截距和标准差。·

9.1曲线拟合–拟合结果分析报表Statistics主要显示统计点个数，相关系数R-Square。Summary摘要信息显示，整合了斜率、截距和相关系数等主要信息。ANOVA显示方差分析的结果。·

9.1曲线拟合拟合结果分析报表Fitted

Curves

Plot显示拟合结果缩略图。Residual

vs.

Independent

Plot实验值与估计值的残差图。显示其他图表可以再ResidualPlots中设置。·

9.1曲线拟合·

多项式拟合对于并非有明显线性关系的数据，通常会考虑多项式拟合。理论上n值越大，拟合效果越好。但随着n的增大，拟合曲线就会产生剧烈震荡，并且项数的增多，如何解释其物理意义也是一个问题。在实际实验数据分析处理中，多项式拟合一般不会超过4次项。·

9.1曲线拟合多项式拟合多项式拟合实例导入数据，通过【File】→【Import】命令打开安装目录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve

Fitting\Polynomial

Fit.dat文件。选中A、B列数据，生成散点图。通过【Analysis】→【Fitting】→【FitPolynomial命令打开Polynomial

Fit对话框。其中的参数设置以及结果输出可参考线性拟合，其内容基本相同。·

9.1曲线拟合·

多项式拟合多项式次数二次多项式拟合结果·

9.1曲线拟合·

多元线性拟合在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。在Origin中同样可以是想多元线性回归分析。·

9.1曲线拟合多元线性拟合多元线性拟合实例导入数据，通过【File】→【Import】命令打开安装目录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve

Fitting\Multiple

LinearRegression文件。无需生成散点图，通过【Analysis】→【Fitting】→【Multiple

Linear

Regression】命令打开类似Linear

Fit对话框的Multiple

Regression对话框。·

9.1曲线拟合–多元线性拟合实例3）输入因变量（dependent）和自变量（independent），其他设置选择默认，单击OK即可输出下图分析报表。Summary中给出了截距（intercept），自变量（Indep1、2、3）的系数及相关系数。·

9.1曲线拟合·

非线性拟合对于实际实验，很多数据并不能处理成一种直线关系，除了多项式拟合外，Origin还提供了非线性函数进行拟合。在Origin中，使用NonLinearFitting（NLFit）对话框来完成这个工作。NLFit工具内置了超过200种的拟合函数，基本能够适合各种学科数据拟合的要求，每一个函数也可以使用具体函数进行定制。·

9.1曲线拟合·

非线性拟合–非线性模型拟合·

9.1曲线拟合Origin解非线性模型的算法Levenberg-Marquardt(L-M)method (列文伯格-马夸尔特法)：LM算法需要对每一个待估参数求偏导。对于Origin内置的拟合函数，Origin提供了求偏导的解析表达式，因此速 度快，拟合时，尽可能使用Origin的提供的内置拟合函数对于用户自定义的拟合函数，求偏导时，直接使用数值进行，速度较慢。 Origin也允许用户定义求偏导的表示式。2）Simplex

Method（单纯形算法）当L-M算法不能得出最佳的拟合结果时，可尝试使用该算法。·

9.1曲线拟合·

如何评价非线性拟合结果·

9.1曲线拟合非线性拟合非线性拟合实例导入数据，通过【File】→【Import】命令打开安装目录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve

Fitting\Gaussian.dat文件。选中A、B列数据，生成散点图。通过【Analysis】→【Fitting】→【

NonLinearCurve

Fit】命令打开NLFit对话框。选择默认设置，单击OK。·

9.1曲线拟合·

非线性拟合NLFit对话框非线性拟合结果·

9.1曲线拟合·

非线性拟合–NLFit对话框设置NLFit对话框主要由3部分组成，分别是上部的一组参数设置标签、中间的一组主要的控制按钮以及下部的一组信息显示标签。·

9.1曲线拟合–NLFit对话框设置对话框上部的一组标签，主要用来设置拟合的参数。1）Setting标签：包括4个子项。A、Function：包括Category（函数所属种类）、Function（具体的函数）、Description（函数描述）和File

Name（函数来源和名称）。·

9.1曲线拟合–NLFit对话框设置B、DataSelection：输入数据的设置。C、Fitted

Curves：拟合图形的一些参数设置。D、Advanced：一些高级设置，参考线性拟合部分。·

9.1曲线拟合–NLFit对话框设置2）Code标签：显示拟合函数的代码、初始化参数和限制条件。3）Parameter标签：此标签为参数列表，包括：Param（参数名）、Meaning（参数意义）、Fixed（是否为固定值）、Value（参数值）、Error（误差值）、Dependency（置信值）、Lowerconf

limits（参数值下限）、Upper

conf

limits（参数值上限）、Significant

Digits：有效数字个数。·

9.1曲线拟合–NLFit对话框设置4）bounds标签：各参数上下限、及上下限与参数的关系（有<<=、>、>=和Disable5个选项）。·

9.1曲线拟合–NLFit对话框设置对话框中间一组控制按钮从左至右包括：1）Create/Edit

Fitting

Function:新建/编辑拟合函数。2）Save

FDF

File：保存拟合函数。3）Initialize

Parameters：初始化参数。4）Simplex：给参数赋予近似值。5）Calculate

Chi-Square：计算Chi-Square的值。6）1

Iteration：使当前函数每次运行时只执行一次。7）Fit

till

Converge：使当前函数每次运行时不断循环执行直到结果在规定范围内。·

9.1曲线拟合NLFit对话框设置对话框下部是一组信息显示标签。FitCurve：拟合结果预览图。Formula：拟合函数的数学公式。SampleCurve：显示拟合示例曲线。·

9.1曲线拟合NLFit对话框设置Messages：显示用户的操作过程，Log记录。FunctionFile：拟合函数信息。Residual：残差图形预览。Hints：使用提示。·

9.1曲线拟合·

自定义函数拟合虽然Origin内置了大量的拟合函数，但在有些情况下还是满足不了科研中建立数学模型的需求，此时就需要自定义拟合函数。Origin提供了使用非常方便的自定义拟合函数工具，能完全在不用编程的情况下自定义拟合函数。–自定义函数拟合实例自定义函数用此函数拟合所给数据。·

9.1曲线拟合自定义函数拟合过程如下：1）首先打开Tools菜单中的Fitting

Function

Organizer拟合函数管理器。在UserDefined下面建立目录和函数。单击New

Category建立目录“MyFuncs”，然后在单击NewFunction将自定义函数命名为“MyExp”。·

9.1曲线拟合2）构建函数：保持Independent

Variables和Dependent

Variables不变，Parameter

Names改为y0,a,b。在Function文本框中输入“y=y0+a*exp(b*x)”。为帮助用户正确完成自定义函数工作，当鼠标单击到相应输入框时，在对话框最下面的Hints中会有提示。操作提示·

9.1曲线拟合3）单击 调用Coder

Builder进行编译，在弹出窗口中单击Compile进行编译，当看到左下部窗口中显示Done，则编译结束。单击Return

to

Dialog返回自定函数对话框。单击Save进行保存，单击Simulate进行模拟，单击OK完成函数的自定义。·

9.1曲线拟合4）使用自定义函数进行拟合：导入D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve

Fitting目录下的ExponentialDecay.dat文件，选择B列做散点图。通过菜单【Analysis】→【Fitting】→【NonLinearCurveFit】命令打开NLFit对话框，选择Myfuncs目录下的MyExp函数进行拟合。·

9.1曲线拟合5）为了得到有效的结果和减少处理工作量，单击Parameter标签，将y0,a,b的初始值设为1。然后单击按钮Tit

TillConverged，完成收敛后得到y0,a,b的值。单击OK返回主页面，完成成拟拟合合。。拟合结果设置y0,a,b初始值第9章曲线拟合与数据分析曲线拟合数据管理与数学运算统计分析及其他应用·

9.2数据管理与数学运算对数据管理数据列操作双击列标题或者右击在快捷菜单中选择Properties,打开Column话框设置列属性,如右图。数据列间的运算可用第7章介绍的[Column]→[Set

ColumnValues]命令实现。简单的加减乘除幂运算，可用接下来数学运算中介绍的SimpleMath命令实现。·

9.2数据管理与数学运算·

数据管理–数据排列在Origin中也可以做到对单列、多列甚至整个工作表数据排序。实现命令为：菜单栏【Worksheet】→【Sort

Range】/【Sort

Column】/【Sort

Worksheet】。·

9.2数据管理与数学运算选择数据范围作图Go

toEdit→Go

to命令，可以跳到指定的行列。Set

As

Begin/End选定指定行，执行Edit→Set

As

Begin命令,则该行被设置为起始行（同时该行前的数据消失）。结束行同样设置。然后作图，此时作图范围即为指定的始末行区间。始末行设置撤销执行Edit→Undo

Set

raw

as

begin

or

as

end命令可撤销始末行设置，并恢复原有数据显示·

9.2数据管理与数学运算本章介绍的数学运算主要包括插值与外推、简单数学运算、微分、积分和曲线操作等。这些分析大都是通过【Analysis】→【Mathematics】/【DataManipulation】菜单，选择相应指令进行操作。·

9.2数据管理与数学运算·

插值与外推所谓插值，指的是在已有的数据点之间尽量按照数据原有趋势增加一些数据点。所谓外推，指的是在当前曲线之外按照曲线末端走向，增加一些数据点。–Interpolate/Extrapolate

Y

from

X从X插值/外推求Y值指定X值范围用于插值指定要处理的数据选择插值方法插值结果输出区域输入输出数据连接关系·

9.2数据管理与数学运算·

插值与外推–Trace

Interpolation趋势插值利用这个功能可以在原有曲线中均匀插入n个数据点，默认是100个点。该功能适用于工作表和图形窗口。趋势插值参数列表：1）Input：输入数据区域。Method：插值算法，包括Linear、Cubic

Spline、Cubic

B-Spline。Number

of

Points：插值点数目。

4）Output：插值结果输出区域。

5）Recalculate：输入数据与输出数据的连接关系，有Auto、Manual、None。·

9.2数据管理与数学运算·

插值与外推–趋势插值实例导入D:\OriginLab\Origin8\Samples\Mathematics目录下的Interpolation.dat文件，选择B列做散点图。然后调用命令

Trance

Interpolation命令。弹出Interp1trace对话框按上页图示。单击OK得插值结果。（下图红色点为插值点，黑色为原数据）·

9.2数据管理与数学运算·

插值与外推–Interpolate/Extrapolate插值/外推利用这个功能可以设定一个较大的范围（超过原有X坐标范围）均匀插入n个点。其对话框参数列表与前面两种几种类似，但需设置X

Minimum/X

Maximum：最小/最大插值点。下图为一个将区间[5,100]外推至[0,105]插值实例。·

9.2数据管理与数学运算·

插值与外推–3DInterpolation3D插值利用3D

Interpolation命令可以对3D数据进行外推/插值操作，其对话框参数设置如右图。·

9.2数据管理与数学运算简单数学运算利用SimpleMath命令可以进行普通的数学运算，适用于数据表和图形。利用这个功能可以非常方便地对数据或曲线进行简单的加减乘除的运算，对于图形来说，可以利用加减运算进行平移或升降，利用乘除可以调整曲线的纵横深度。简单数学运算实例导入数据：打开安装目录D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve

Fitting\中的Multiple.dat文件。选中所有的列作线图。·

9.2数据管理与数学运算·

简单数学运算3）下图即为所作图，可以发现所有曲线重叠在一起，不方便观察，调用菜单【Analysis】→【Mathematics】中Simple

Math命令进行调整。·

9.2数据管理与数学运算·

简单数学运算3）调用Simple

Math命令打开Mathematics

Mathtool对话框。其中参数设置：Input：数据输入。Operator：操作符，包括加、减、乘、除和幂运算。Operand：操作数类型，包括const常量和Reference

Data参数数据（用于扣除背景）。Output：结果输出区域。Recalculate：输入数据与输出数据关系。·

9.2数据管理与数学运算·

简单数学运算如下图示，通过简单的加减运算就可使数据更便于观察和分析。·

9.2数据管理与数学运算·

Normalize规范化利用菜单【Analysis】→【Mathematics】→【Normalize命令可以对数据或曲线进行规范化操作，主要目的是将数据归一化到[0,1]区间，或者将数据除以某一值以产生新的结果。·

9.2数据管理与数学运算Differentiate微分利用菜单【Analysis】→【Mathematics】→【Differentiate】命令可以对数据进行微分运算。对话框参数设置：Input：输入数据。Derivative

Order：阶数。Output：结果输出区域。Plot

Derivative

Curve：是否生成图形。Recalculate：输入数据与输出数据关系。·

9.2数据管理与数学运算Integrate积分利用菜单【Analysis】→【Mathematics】→【Integrate命令可以对数据进行积分运算。对话框参数设置：Input：输入数据。Area

Type：进行积分的方式。Output：结果输出区域。Plot

Integral

Curve：是否生成计算结果的图形。Results

Log

Output：是否输出计算结果到Result

Log窗口。Recalculate：输入数据与输出数据关系。·

9.2数据管理与数学运算·

多条曲线平均利用菜单【Analysis】→【Mathematics】→【AverageMultiple

Curve】命令可以对两条及以上的数据进行平均化操作。·

9.2数据管理与数学运算扣除数据减去参考直线操作命令：Analysis→Data

Manipulation→SubtractStraight

Line。通过鼠标双击确定起点终点。目的：扣除一条直线（可以是水平或斜线），以修正原有数据减去参考数据操作命令：Analysis→Data

Manipulation→SubtractReference

Data。在对话框中设置参考数据。目的：主要用于扣除空白实验（即背景或基底）。·

9.2数据管理与数学运算·

曲线移动利用命令

Analysis→Data

Manipulation→Translate可以实现对曲线的移动。曲线移动可分为：Vertical

Translate垂直移动和Horizontal

Translate水平移动。移动前移动后第9章曲线拟合与数据分析曲线拟合数据管理与数学运算统计分析及其他应用·

9.3统计分析及其他应用统计学（Statistics）是一门关于数据的收集、整理、分析和解释的科学，是一门认识方法论性质的科学，其目的是探索数据内在的规律性，以达到对客观事物的科学认识。统计学通过研究随机样本现象，并以此为依据，对总体特征进行推断和解释，直到能为决策和行动提供依据和建议为止。“由部分推及全体”的思想贯穿于统计学的始终。·

9.3统计分析及其他应用统计的方法很多，除了基本的统计描述外，还有各种推断统计。Origin提供的方法包括：描述统计（Descriptivestatistics）、假设检验（Hypothesis

tests）、方差分析（Analysis

of

variance，ANOVA）等。统计结果会形成统计报表，并提供了一系列方式来生成统计图形。Origin各统计命令在菜单【statistics】下面。·

9.3统计分析及其他应用描述统计Origin描述统计（Descriptive

statistics）包括：Statistics

on

Columns列统计Statistics

on

Rows行统计Frequency

Counts频率统计Discrete

Frequency离散频率统计Normality

Test正态检验Correlation

Coefficient相关系数统计2D

Frequency

Count/Binning二维频率统计分布图·

9.3统计分析及其他应用–列（行）统计对工作表进行列统计，首先选中要统计的整个数列或数列的一段，然后选择菜单命令Statistics→DescriptiveStatistics→Statistics

on

Columns，即可对该列数据统计分析。主要统计结果有：数据点数（N

total）、平均值（mean）标准差（Standard

Deviation）、和（Sum）、最小值（Minimum）、中间值（Median）和最大值（Maximum）等。行统计可参照列统计。·

9.3统计分析及其他应用统计图形Origin统计图形的绘制在菜单命令【Plot】→【statistics】之下，主要包括：Box

Chart方框图Histogram直方图Histogram+Probabilities概率直方图Stacked

Histogram多层直方图Qc（x

Bar

R）Chart质量控制图·

9.3统计分析及其他应用方差分析analysis

of

variance，ANOVA在科学实验中，常常要探讨不同实验条件或处理方法对实验结果的影响。这就需要比较不同实验条件下样本均值间的差异。方差分析是检验多组样本均值间的差异是否具有统计意义。单因素方法分析One-Way

ANOVA操作命令：Statistics→ANOVA→One-Way

ANOVA。双因素方差分析Two-Way

ANOVA操作命令：Statistics→ANOVA→Two-Way

ANOVA。重复测量的方差分析Repeated-measures

ANOVA与普通方差分析基本一样，主要用于比较2个相似的数据集，这些数据集必须是每在一个水平上都存在这相同的样本大小。·

9.3统计分析及其他应用·

假设检验假设检验（Hypothesis

Testing）根据一定假设条件由样

本推断总体的一种方法。具体做法是：根据问题的需要对所研究的总体做某种假设，记作H0；选取合适的统计量，这个统计量的选取要使得在假设H0成立时，其分布为已知；由实测的样本，计算出统计量的值，并根据预先给定的显著水平进行检验，做出拒绝或接受假设H0的判断。常用的假设检验方法有t-检验、u-检验、X2检验、F-检验等。Origin假设检验命令如下图：·

9.3统计分析及其他应用除了前面所介绍的功能外，Origin还可以实现信号处理、光谱分析和图像分析等功能。限于课时限制，课堂上就不再介绍，有兴趣的同学可以查阅相关书籍学习。·

本章小结·曲线拟合·数据管理与数学运算·统计分析及其他应用dsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5k

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