线性代数第一章

线性代数第1章行列式1.1排列1.2行列式的概念1.3行列式的性质及其运用1.4行列式的展开1.5克莱姆法则1.6应用实例——行列式在解析几何中的应用1.1排列由正整数组成1,2,3,…,n的一个没用重复数字的n元有序数组，称为一个n级排列，简称排列，记作i1i2…in。n个不同元素的所有不同排列的个数，称为排列数。将数字按从小到大顺序排列构成的n级排列1234…n，称为一个标准排列或自然排列。定义1n级排列的排列数为n！定义2在一个n级排列i1i2…it…is…in中，如果有较大的数it排在较小的数is的前面（it>is），则称与构成一个逆序。一个n级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作(i1i2…in)。逆序数的求法：设在一个n级排列i1i2…in中，所有比ik（k=1,2,…,n）大且排在ik前面的数共有tk个，则ik的逆序数个数为tk．该排列中所有自然数的逆序数个数之和就是这个排列的逆序数，即例1求下列排列的逆序数．（1）63724581；（2）n(n-1)…321.解：（1）；（2）定义3若排列i1i2…in的逆序数

(i1i2…in)是奇数，则此排列称为奇排列；若

(i1i2…in)逆序数是偶数，则此排列称为偶排列。定义4在一个n级排列i1…is…it…in中，如果将其中某两个数is与it对调位置，其余各数位置不变，得到一个新的n级排列，这样的变换称为一次对换，记作(is,it)。将相邻两个元素对调，称为相邻对换，简称邻换。三个定理定理1任一排列经过一次对换后，排列的奇偶性会发生改变。定理2在所有的n级排列中（n…2），奇排列与偶排列的个数相等，各为个。定理3

任一n级排列i1i2…in都可以通过一系列对换调成自然排列12…n，且奇排列调成自然排列的对换次数为奇数，偶排列调成自然排列的对换次数为偶数。三个定理1.2行列式的概念1.2.1二阶行列式1.2.1二阶行列式定义1其中数aij称为行列式的元素，元素aij的第一个下标i称为行标，表示这个元素所在的行数；第二个下标j称为列标，表示这个元素所在的列数。1.2.1二阶行列式定义11.2.1二阶行列式例题1.2.1二阶行列式例题1.2.2三阶行列式定义21.2.2三阶行列式计算1.2.2三阶行列式计算1.2.2三阶行列式例题1.2.2三阶行列式例题1.2.2三阶行列式例题1.2.3n阶行列式定义31.2.3n阶行列式例题1.2.3n阶行列式例题1.2.3n阶行列式例题1.2.4特殊行列式下面给出经常会碰到的一些特殊行列式:1.2.4特殊行列式定义41.2.4特殊行列式定义41.3行列式的性质及其运用1.3.1行列式的性质定义11.3.1行列式的性质性质性质1

行列D与它的转置行列式DT的值相等。性质2交换行列式的两行（列），行列式变号。推论1如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值等于零。推论2如果行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零。1.3.1行列式的性质性质1.3.1行列式的性质性质1.3.1行列式的性质性质1.3.1行列式的性质性质1.3.1行列式的性质例题1.3.2行列式性质的运用例题

理论上，可以利用行列式的性质将行列式化为三角行列式（上、下三角行列式），再通过三角行列式计算出行列式的值。1.3.2行列式性质的运用例题1.3.2行列式性质的运用例题1.3.2行列式性质的运用例题1.3.2行列式性质的运用例题1.4行列式的展开1.4.1余子式与代数余子式定义11.4.1余子式与代数余子式例题1.4.2行列式的展开定理定理1——展开定理1.4.2行列式的展开定理推论1行列式计算的核心思想为“造零”“降阶”．1.4.3行列式展开定理的运用例题1.4.3行列式展开定理的运用例题1.4.3行列式展开定理的运用例题1.4.3行列式展开定理的运用例题1.4.3行列式展开定理的运用例题1.4.3行列式展开定理的运用例题1.4.3行列式展开定理的运用例题拓展阅读1.4.3行列式展开定理的运用例题1.4.3行列式展开定理的运用例题1.5克莱姆法则