高职应用数学 4

应第4章导数的应用用数学高职本章内容4利用导数求最值5曲率6导数在经济分析中的应用1利用导数求极限（洛必达法则）2函数的单调性与极值3曲线的凹凸性与拐点4.1利用导数求极限（洛必达法则）定理（洛必达法则）若（1），（2）与在x0的某邻域内（点x0可除外）可导，且，（3）（A为有限数，也可为或），则。

这种在一定条件下，通过对分子、分母分别求导来计算未定式极限的方法，称为洛必达法则。4.1利用导数求极限（洛必达法则）例1求。解

例2求。解

例3求。解

例4求。解

例5求。解

例6求。解

例7求。解

此题属型未定式，因为所以当时，上式右端是型未定式，应用洛必达法则，得4.2函数的单调性与极值01函数的单调性03函数的极值4.2.1函数的单调性从图4-1可直观地看出，如果函数在上单调增加，那么它的切线斜率都是正的；如果函数在上单调减少，那么它的切线斜率都是负的。（a）（b）图4-1反之，我们有如下定理：定理1设函数在上连续，在内可导，则有（1）如果在内，则函数在上单调增加；（2）如果在内，则函数在上单调减少。有时，函数在其整个定义域上并不具有单调性，但在其各个部分区间上却具有单调性。如图4-2所示，函数在区间和上单调增加，而在上单调减少，并且，从图上容易看到，可导函数在单调区间分界点处的导数为0，即。图4-2（1）确定函数的定义域；（2）求出使函数和不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域划分成若干个子区间；（3）确定在各个子区间的符号，从而确定的单调区间。确定函数单调性的一般步骤如下：解

因为，所以例1讨论函数的单调性。令，得驻点。驻点将的定义区间分成3个小区间，且在上均连续。在各个区间的符号如表4-1所示。表4-1因此，由定理1知，函数在区间与上单调减少，在区间上单调增加。4.2.2函数的极值定义1设函数在点x0的某邻域内有定义，若对此邻域内任一点，均有，则称是函数的一个极大值。同样，若对此邻域内任一点，均有，则称是函数的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点x0称为极值点。从图4-3可以看出，可导函数在取得极值处的切线是水平的，即在极值点x0处，必有，于是有下面的定理：图4-3定理2（极值存在的必要条件）设在点x0处具有导数，并且在点处取得极值，那么。对于一个连续函数，它的极值点还可能是使导数不存在的点，这种点称为尖点。例如，函数，不存在，但是它的极小值点，如图4-4所示图4-4定理3（极值存在的第一充分条件）设在点x0处连续，且在点x0的某一空心邻域内可导。当x由小到大经过点x0时，（1）如果由正变负，那么点x0是极大值点；（2）如果由负变正，那么点x0是极小值点；（3）如果不变号，那么点x0不是极值点。（1）确定函数的定义域；（2）求出的全部驻点及不可导点；（3）考察上述点两侧一阶导数的符号，确定极值点；（4）求出极值点处的函数值，得到极值。综上可知，求函数极值的一般步骤如下：解

例2求函数的极值。函数的导数为

。令，得。用将函数的定义域分成两个区间，一阶导数的符号讨论如表4-2所示。表4-2由上表可见，函数在处取得极大值。定理4（极值存在的第二充分条件）设在点x0处具有二阶导数且，。（1）如果，则在点x0处取得极大值；（2）如果，则在点x0处取得极小值。令，得驻点。驻点将定义域分成3个区间，一阶导数的符号讨论如表4-3所示。表4-3由定理3可知，为函数的极大值，为的极小值。解法一：

例3求函数的极值。的定义域为，且解法二：

的定义域为，且令，得驻点。又因为，所以，为

的极大值；因为，所以，为的极小值。4.3曲线的凹凸性与拐点定义1设函数在区间I上连续，如果函数的曲线位于其上任意一点处切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的，如图4-5所示；如果函数的曲线位于其上任意一点处切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的，如图4-6所示。图4-5

图4-6如何判断曲线的凹凸性呢？下面给出判定方法：定理1设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在内，则在上的图像是凹的；（2）若在内，则在上的图像是凸的。解

例1判断曲线的凹凸性。因为在函数的定义域内，，所以曲线是凸的。定义2连续曲线上凹凸的分界点称为这条曲线的拐点。由定理1和定义2不难得到下面定理：定理2（拐点的必要条件）设点是曲线的拐点，则或不存在。综上所述，判断曲线的凹凸性和拐点的方法如下：（1）求函数的定义域D；（2）求出二阶导数，解出二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点，这些点将整个定义域分成若干区间；（3）列表讨论每个区间上的符号，从而确定出曲线的凹凸区间和拐点。解

例2求曲线的凹凸区间和拐点。（2）（1）函数的定义域为。令，得。（3）列表讨论如表4-4所示:表4-4在区间和上曲线是凹的，在区间上曲线是凸的。

点和是曲线的拐点。4.4利用导数求最值求函数在上的最值的一般步骤为（1）求出在内的所有驻点及不可导的点；（2）求出各驻点、不可导点以及区间端点的函数值；（3）比较上述各函数值的大小，其中最大者是在上的最大值，最小者是在上的最小值。解

例1求函数在区间上的最大值和最小值。因为函数在区间上连续，所以在该区间上一定存在着最大值和最小值。该函数的导数为。令，得驻点。于是比较各值，可得函数在区间上的最大值为，最小值为。解

例2求函数最值。该函数的定义域为。由，得唯一驻点。又因此在处取得极大值，所以在的最大值为，无最小值。解

例3有一块宽为2a的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为x。如图4-7所示为水槽的横截面，问x取何值时水槽的流量最大？图4-7设两边各折起x，则横截面积为这样，问题归结为：当x为何值时，取最大值？因，故令，得的唯一驻点。即当时，水槽的流量最大。解

例4如图4-8所示，有一块边长为a的正方形铁皮，从其四个角截去大小相同的四个小正方形，作成一个无盖的容器，问截去小正方形的边长为多少时，该容器的体积最大？图4-8设截去的小正方形的边长为x，则做成的无盖容器的体积为因为，令，得唯一解。于是该问题可描述为：求函数在内的最大值。解

例5建筑工程采石或取土时，常用炸药包先进行爆破．实践表明，爆破部分呈倒立圆锥形状，如图4-10所示．圆锥的母线长度（即爆破作用半径）R是一定的，圆锥的底面半径（即漏斗底半径）为r，试求炸药包埋藏多深可使爆破体积最大？图4-9令，得一个驻点根据圆锥的体积公式，建立函数关系式。根据图4-10可知，，即得所以当炸药包埋深为时，爆破体积最大。4.5曲率01曲率及其计算公式02曲率圆与曲率半径4.5.1曲率及其计算公式记，称K为曲线在点A处的曲率。图4-11如图4-11所示，设曲线是光滑的，在曲线上选定一点A作为度量弧的基点，设在点A处切线的倾斜角为α，曲线上另外一点B处切线的倾斜角为。我们用比值，即单位弧段上切线转过的角度大小来表达弧段的平均弯曲程度。记，称为弧段的平均曲率。于是，在存在的条件下，有。此式说明曲线在点A处的曲率可表示为转角微分dα与弧微分ds之商，其中弧微分。例如，设圆的半径为R，如图4-12所示，则圆的平均曲率。图4-12设且具有二阶导数（这时连续，从而曲线是光滑的）。因为因为与点的位置无关，所以A点处的曲率为所以，两边取微分，有又知，从而得曲率的计算公式，即解

例1计算直线上任意一点的曲率。解

例2计算双曲线在点处的曲率。由，得于是因此，。所以，双曲线在点处的曲率为解

例3设有两个弧形工件A，B，工件A满足曲线方程，工件B满足曲线方程，试比较这两个工件在处的弯曲程度。其曲率为其曲率为工件A在处有工件B在处有所以工件A在处的弯曲程度比B大。4.5.2曲率圆与曲率半径设曲线在点处的曲率为K

()。在点处的曲线上凹的一侧取一点D，使。以D为圆心，ρ为半径作圆，这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆，曲率圆的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心，曲率圆的半径ρ叫做曲线在点M处的曲率半径。曲线在点M处的曲率K

()与曲线在点M处的曲率半径ρ有如下关系：解

砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径例4设工件表面的截线为抛物线。现要用砂轮磨削其内表面，问直径为多大时砂轮才比较合适？。把它们代入曲率公式，得抛物线顶点处的曲率半径为所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.50单位长。4.6导数在经济分析中的应用01边际分析02弹性分析4.6.1边际分析解

例1某种产品生产x件时，总成本（元）。求当产量为100时的平均成本和边际成本。1．边际成本由于平均成本=总成本/产量，边际成本=，所以，生产100件时，总成本为（元）平均成本为（元/件）因边际成本，所以当时，。解

2．边际收入由于总收入=销售量×价格，平均收入=总收入/销售量，边际收入=总收入的导数，故先求出总收入、平均收入与边际收入，再将20代入。经济学中，边际收入是指总收入对销售量x的变化率。其经济意义是当销售量达到某一点时，再多销售一个单位产品所增加的收入。边际收入一般记作MR，即。例2设某产品的价格与销售量的关系为，求销售量为20时的总收入、平均收入与边际收入。总收入函数为当时平均收入函数为边际收入函数为3．边际利润经济学中，边际利润是指总利润对销售量x的变化率。其经济意义是当销售量达到某一点时，再多销售一个单位产品所增加的利润，由于总利润为总收入与总成本的差，即，故两边同时求导得