第43讲 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题（原卷版）

8/8第43讲巧解圆锥曲线中的定点和定值问题【高考地位】圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．定值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作用．类型一定点问题万能模板内容使用场景求解直线和曲线过定点问题解题模板第一步把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零；第二步参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组；第三步方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求；第四步用一般化方法证明.【例1】（2021·全国高三专题练习（理））已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．【变式演练1】【河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测】已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求的方程；（2）点在上，且，证明:直线过定点.类型二定值问题万能模板内容使用场景解析几何中的定值问题解题模板求定值问题常见的解题模板有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【例2】（2021·天津市静海区第六中学高三开学考试）已知椭圆的方程为，离心率，，分别是椭圆的左、右焦点，过椭圆的左焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆相交于、两点，为原点，且.试探究点到直线的距离是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【变式演练2】【T8联考八校2020-2021学年高三上学期第一次联考】已知椭圆（）与抛物线有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，为弦的中点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一定点，使得的长度为定值？若存在，则求出点，若不存在，请说明理由.【高考再现】13．（2021·全国高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.2.【2020年高考山东卷】已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求的方程；（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数20】已知分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为与的另一交点为．（1）求的方程；（2）证明：直线过定点．4.【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.5.【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.6.【2016高考北京文数】（本小题14分）已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.（=1\*ROMANI）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.【反馈练习】1．【2020年普通高等学校招生伯乐马押题考试（三）】已知抛物线的焦点为，准线为，第一象限的点在抛物线上，延长，交抛物线于点，点在上，且．若，则（）A． B． C． D．2．（多选）【广东省兴宁市第一中学2021届高三上学期期末】已知动点P在左、右焦点分别为、的双曲线C上，下列结论正确的是（）A．双曲线C的离心率为2 B．当P在双曲线左支时，的最大值为C．点P到两渐近线距离之积为定值 D．双曲线C的渐近线方程为3．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线相交于、两点，若以线段为直径的圆过定点，则______．4．【湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（四）】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）过点作直线l交C于P､Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.5．【河北省张家口市2021届高三上学期期末教学质量监测】椭圆过点，其上､下顶点分别为点A，B，且直线，的斜率之积为.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T.若，求证：直线过定点.6．【河北省衡水中学2021届高三上学期学业质量联合测评】已知椭圆：()的焦距为，过左顶点且斜率为的直线和以椭圆的右顶点为圆心，短半轴为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）若过点作两条互相垂直的直线和，分别交椭圆于，两点，问轴上是否存在一定点，使得成立，若存在，则求出该定点，若不存在，请说明理由.7．【云南省昆明市官渡区2021届高三上学期两校联考】已知椭圆的离心率为，其左､右焦点分别为，，点是坐标平面内一点，且，(O为坐标原点).（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由.8．【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】已知抛物线：上有互异三点，，.过，，三点做抛物线的切线分别交轴与，，三点，记抛物线焦点为.（1）证明：；（2）若直线，，两两交于点，，.证明：三角形的外接圆过定点，并求出这个定点.9．【江西省南昌市第十中学2021届高三上学期期中考试】已知椭圆的一个顶点为，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于M、N两点，直线BM与直线BN的斜率之积为，证明直线l过定点并求出该定点坐标．10．【2021届上海市崇明区高三上学期第一次高考模拟】已知椭圆的左右顶点分别为、，为直线上的动点，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为.（1）若点的坐标为，求点的坐标；（2）若点的坐标为，求以为直径的圆的方程；（3）求证：直线过定点.11．（2021·嘉峪关市第一中学高三（理））已知椭圆：（，），离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上的任意一点（除短轴的端点外）与短轴的两个端点，的连线分别与轴交于，两点，求证为定值．12．（2021·河北沧州市·高三月考）已知椭圆：（）的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于，两点（不同于点），记直线，的斜率分别为，，试判断是否存在定值，使当变化时总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.13．（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））已知椭圆：的离心率为，且过椭圆的右焦点有且仅有一条直线与圆：相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆与轴的正半轴交于点.已知直线斜率存在且不为0，与椭圆交于，两点，满足(为坐标原点)，证明：直线过定点.14．（2021·北京新农村中学高三开学考试）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于、两点，设点关于轴对称点为.直线与轴的交点是否为定点？请说明理由.15．（2020·江西省靖安中学高三月考（文））已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，四边形的面积为，且该四边形内切圆的方程为．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：（k，m均为常数）与椭圆C相交于M，N两个不同的点（M，N异于，），若以为直径的圆过椭圆C的右顶点，试判断直线l能否过定点?若能，求出该定点坐标；若不能，也请说明理由．16．（2021·云南昆明市·高三（理））已知抛物线：，是坐标原点，是的焦点，是上一点，，．（1）求的标准方程；（2）设点在上，过作两条互相垂直的直线，，分别交于，两点（异于点）．证明：直线恒过定点．17．（2021·乐清市知临中学高三月考）已知抛物线的焦点到其准线的距离为，过点的直线交抛物线于、两点，直线、分别与直线交于点、（为原点）.（1）