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文档简介

专题12函数与方程一、关键能力学生应掌握函数的零点、方程的解、图象交点(横坐标)三者之间的灵活转化,以实现快速解决问题.二、教学建议从近三年高考情况来看,本讲一直是高考的热点,尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存。常常以基本初等函数为载体,结合函数的图象,判断方程根的存在性及根的个数,或利用函数零点确定参数的取值范围等.也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.三、自主梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个__c__也就是方程f(x)=0的根.2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系(☆☆☆)Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210四、高频考点+重点题型考点一、求解函数零点例1-1(直接求解函数零点)(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]所有零点之和为例1-2(二分法求零点)用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:f(1.6000)≈0.200

f(1.5875)≈0.133

f(1.5750)≈0.067

f(1.5625)≈0.003

f(1.5562)≈-0.029

f(1.5500)≈-0.060

据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为________(精确到0.01)对点训练1.(天津高考真题)已知函数,函数,则函数的所有零点之和为()A.2 B.3 C.4 D.5对点训练2.(2020·郸城县实验高中高一月考)如图是函数f(x)的图象,它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中,存在不能用二分法求出的零点,该零点所在的区间是()A.[-2.1,-1] B.[4.1,5]C.[1.9,2.3] D.[5,6.1]对点训练3.用二分法求函数在区间上的近似解,验证,给定精度为0.1,需将区间等分__________次.考点二、判断函数零点个数例2-1(直接求解零点)(2020·江苏省高三其他)设表示不超过实数的最大整数(如,),则函数的零点个数为_______.例2-2(零点存在定理+单调性)(2021·北京清华附中高三其他模拟)函数的零点一定位于区间()A. B. C. D.例2-3(2021·山东烟台市·高三二模)已知函数是定义在区间上的偶函数,且当时,,则方程根的个数为()A.3 B.4 C.5 D.6对点训练1.(2020·开原市第二高级中学高三)函数,的零点个数是().A.0 B.1 C.2 D.3对点训练2-1.(2020·海丰县彭湃中学高一期末)函数的零点所在的大致区间为()A. B. C. D.对点训练2-2【多选题】(2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟)在下列区间中,函数一定存在零点的区间为()A. B. C. D.对点训练3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex,x≤0,,lnx,x>0,))g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)考点三、已知零点求参例3-1(已知零点个数求参)(2021·广东茂名市·高三二模)已知函数若函数有且只有两个不同的零点,则实数的取值可以是()A.-1 B.0 C.1 D.2例3-2(已知零点所在区间求参)函数f(x)=2x-eq\f(2,x)-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3) B.(1,2)C.(0,3) D.(0,2)对点训练1.已知奇函数f(x)是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,8)C.-eq\f(7,8) D.-eq\f(3,8)考点五、二次函数零点分布例4.(2021·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟)若函数在区间(-1,1)上有两个不同的零点,则实数a的取值范围是()A. B. C.(2,+∞) D.(0,2)对点训练1.(2021·全国高三其他模拟)已知,有下列四个命题::是的零点;:是的零点;:的两个零点之和为1:有两个异号零点若只有一个假命题,则该命题是()A. B. C. D.对点训练2.已知一元二次方程x2+ax+1=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,则实数a的取值范围为________.对点训练3若函数f(x)=x2-ax+1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),3))上有零点,则实数a的取值范围是________.考点五、零点应用例5-1(探究零点的性质)设方程10x=|lg(-x)|的两个根分别为x1,x2,则()A.x1x2<0 B.x1x2=0C.x1x2>1 D.0<x1x2<1对点训练1.(2021·四川成都市·成都七中高三三模(理))已知函数,若方程有四个不同的根,,,,则的取值范围是______.对点训练2.(2020·上海高三三模)函数,如果方程有四个不同的实数解、、、,则.巩固训练一、单项选择题1.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点为()A.0或-eq\f(1,2)B.0C.-eq\f(1,2)D.0或eq\f(1,2)2.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,2)内的零点个数是()A.1B.2C.3D.43.(2021·全国高三其他模拟)设,定义符号函数,则方程的解是()A.1 B.C.1或 D.1或或4.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x-eq\r(x)-1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是()A.x1<x3<x2B.x2<x3<x1C.x2<x1<x3D.x1<x2<x35.已知函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x-1,x>0,,-x2-2x,x≤0,))若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.6.(2021·福建高三二模)已知函数则函数的所有零点之和为___________.二、多项选择题7.已知函数f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x2-2x,x≤0,,|log2x|,x>0,))若x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则下列结论正确的是()A.x1+x2=-1 B.x3x4=1C.1<x4<2 D.0<x1x2x3x4<18.已知函数f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|,x≤m,,x2-2mx+4m,x>m,))其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则实数m可能的值有()A.2B.3C.4D.5三、填空题9.若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,则实数a的取值为________.10.(2019·四川高考模拟(理)改编)已知函数fx是定义在R上的

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