2022新高考数学高频考点题型归纳12函数与方程（学生版）

专题12函数与方程一、关键能力学生应掌握函数的零点、方程的解、图象交点（横坐标）三者之间的灵活转化，以实现快速解决问题．二、教学建议从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存。常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等．也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.三、自主梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系（☆☆☆）Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210四、高频考点+重点题型考点一、求解函数零点例1-1（直接求解函数零点）(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]所有零点之和为例1-2（二分法求零点）用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)≈0.200

f(1.5875)≈0.133

f(1.5750)≈0.067

f(1.5625)≈0.003

f(1.5562)≈－0.029

f(1.5500)≈－0.060

据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)对点训练1.（天津高考真题）已知函数,函数,则函数的所有零点之和为（）A．2 B．3 C．4 D．5对点训练2.（2020·郸城县实验高中高一月考）如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（）A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]对点训练3．用二分法求函数在区间上的近似解，验证，给定精度为0.1，需将区间等分__________次.考点二、判断函数零点个数例2-1（直接求解零点）（2020·江苏省高三其他）设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为_______.例2-2（零点存在定理+单调性）（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数的零点一定位于区间（）A． B． C． D．例2-3（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6对点训练1.（2020·开原市第二高级中学高三）函数，的零点个数是（）.A．0 B．1 C．2 D．3对点训练2-1.（2020·海丰县彭湃中学高一期末）函数的零点所在的大致区间为（）A． B． C． D．对点训练2-2【多选题】（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）在下列区间中，函数一定存在零点的区间为（）A． B． C． D．对点训练3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)考点三、已知零点求参例3-1（已知零点个数求参）（2021·广东茂名市·高三二模）已知函数若函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值可以是（）A．-1 B．0 C．1 D．2例3-2（已知零点所在区间求参）函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)对点训练1.已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,8)C．－eq\f(7,8) D．－eq\f(3,8)考点五、二次函数零点分布例4．（2021·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟）若函数在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2）对点训练1.（2021·全国高三其他模拟）已知，有下列四个命题：：是的零点；：是的零点；：的两个零点之和为1：有两个异号零点若只有一个假命题，则该命题是（）A． B． C． D．对点训练2.已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则实数a的取值范围为________．对点训练3若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是________．考点五、零点应用例5-1（探究零点的性质）设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()A．x1x2<0 B．x1x2＝0C．x1x2>1 D．0<x1x2<1对点训练1.（2021·四川成都市·成都七中高三三模（理））已知函数，若方程有四个不同的根，，，，则的取值范围是______.对点训练2.（2020·上海高三三模）函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则．巩固训练一、单项选择题1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（）A.0或－eq\f(1,2)B.0C.－eq\f(1,2)D.0或eq\f(1,2)2．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是（）A.1B.2C.3D.43．（2021·全国高三其他模拟）设，定义符号函数，则方程的解是（）A．1 B．C．1或 D．1或或4．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－eq\r(x)－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是（）A.x1＜x3＜x2B.x2＜x3＜x1C.x2＜x1＜x3D.x1＜x2＜x35．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0，,－x2－2x，x≤0，))若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.6.（2021·福建高三二模）已知函数则函数的所有零点之和为___________.二、多项选择题7．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≤0，,|log2x|，x>0，))若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是()A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1C．1＜x4＜2 D．0＜x1x2x3x4＜18．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则实数m可能的值有()A．2B．3C．4D．5三、填空题9．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为________．10．（2019·四川高考模拟（理）改编）已知函数fx是定义在R上的