新高考数学高频考点题型归纳27数列的概念与简单表示（教师版）

专题27数列的概念与简单表示一、关键能力1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种简单表示法(列表、图象、通项公式)；了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律，写出其通项公式．了解数列是自变量为正整数的一类函数．二、教学建议从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题．预测2022年高考可能与递推数列、等差、等比数列及前n项和综合考查，涉及题型有：①由Sn求an；②由递推关系求an；③根据an＝f(n)求最值．题型一般为客观题，也可能作为解答题中的一问，属中档题型.三、自主梳理 1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列.(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列其中n∈N＋递减数列常数列按其他标准分类有界数列存在正数，使摆动数列的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…3．数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.4.数列的通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个通项公式.5.数列的前项和和通项的关系：.6.数列的递推公式如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．四、高频考点+重点题型考点一、归纳法求通项例1-1.如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n个图形的边数为()A．5n－1 B．6nC．5n＋1 D．4n＋2【答案】C【解析】第一个图形是六边形，即a1＝6，以后每个图形是在前一个图形的基础上增加5条边，所以a2＝6＋5＝11，a3＝11＋5＝16，观察可得选项C满足此条件．例1-2.（2021·海南高三）已知数列的前四项依次为，，，，则的通项公式可能是___________.【答案】(或其他合理)【解析】由四项找出共同的规律，可得通项公式【详解】解：，，，，故.故答案为：例1-3.（2021·四川省绵阳南山中学）数列的首项，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先根据递推公式列出数列的前几项，再找出数列的周期性，即可得解；【详解】解：因为，且，所以，，，，，，所以数列是以为周期的周期数列，所以故选：A对点训练1．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：为正整数，当时，，则数列中必存在值为1的项．若，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因为，，所以，，，，，故选：B对点训练2.（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国I理科）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：1,1,2,则该数列的前1+2+⋯+k=k(k+1)2Sk(k+1)2要使k(k+1)2>100，有k≥14，此时k+2<2k+1，所以k+2是第k+1组等比数列1,2,⋯,所以k=2t−3≥14，则t≥5，此时所以对应满足条件的最小整数N=29×302考点二、由an与Sn的关系求通项公式例2-1.(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．【解析】因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝eq\f(－1×（1－26）,1－2)＝－63.【答案】－63对点训练1.（2019·山西高考模拟（文））记数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______.【答案】【解析】当时，，解得；当时，，，两式相减可得，，故，设，故，即，故.故数列是以为首项，为公比的等比数列，故，故.故答案为：对点训练2.（2020·新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.对点训练3.（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））数列满足，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知条件计算出数列的通项公式，然后运用裂项求和法求出结果，注意的情况进行分类讨论.【详解】，取，相减，，则推出当时，原式故选：A考点三、由递推公式求通项例3.（2021·河北衡水市·高三）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知数列中，，满足___________，求数列的通项an.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】若选①，由可得，即数列是以3为首项，公比为3的等比数列，然后可求出，然后利用错位相减法求出答案即可，若选②，由可得，即数列是以2为首项，公比为3的等比数列，可得，然后利用分组求和法求出答案即可，若选③，由可得，即数列是以1为首项，公差为1的等差数列，然后可求出，然后利用错位相减法求出答案即可.【详解】若选①，因为，所以因为，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，所以，即若选②，因为所以因为，所以数列是以2为首项，公比为3的等比数列，所以即若选③，因为所以因为，所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列，所以，即对点训练1.设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则a18＝()A.eq\f(25,9) B.eq\f(26,9)C．3 D.eq\f(28,9)【答案】B【解析】令bn＝nan，则由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，得2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2且n∈N*)，∴数列{bn}是以1为首项，以2a2－a1＝3为公差的等差数列，则bn＝1＋3(n－1)＝3n－2，即nan＝3n－2，∴an＝eq\f(3n－2,n)，∴a18＝eq\f(3×18－2,18)＝eq\f(26,9).故选B.对点训练2.设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)＋\f(1,a2)＋\f(1,a3)＋…＋\f(1,a2020)))＝()A．1B．2C．3D．4A解析：由an＋1＝an＋n＋1，得an－an－1＝n(n≥2)．又a1＝1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝eq\f(nn＋1,2)，则eq\f(1,an)＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))).所以eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a2020)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,2020)－\f(1,2021)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2021)))＝eq\f(4040,2021).所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)＋\f(1,a2)＋…＋\f(1,a2020)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4040,2021)))＝1.对点训练3.（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，，，，则______．【答案】4【解析】归纳出数列的周期，求出一个周期的和，即得解.【详解】由题得，，，,,,所以数列的周期为6，，，所以.故答案为：4考点四、数列的性质--单调性例4-1（单调性的判定）（2021·全国高三其他模拟（理））对于有如下4个数列：（1）；（2）（3）（4）．其中满足条件的个数为（）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】依题意对各个数列一一判断，即可得解；【详解】解：对于（1），所以，显然均不成立，故（1）错误；对于（2），易知其为递增数列，又，，，故均成立，故（2）正确；对于（3），当为奇数和为偶数时，均为递增，故成立，而为奇数，为偶数，显然所以也成立，故（3）正确；对于（4），，，，当为奇数时，，为递增数列，当为偶数时，也为递增数列，所以成立，又，，所以，所以，故（4）也成立；故选：C例4-2（单调性的应用）（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大值为（）A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项【答案】D【解析】由先求出，从而得出，由讨论出其单调性，从而得出答案.【详解】当时，；由，当时，，两式相减，可得，解得，当时，也符合该式，故．所以由，解得；又，所以，所以，当时，，故，因此最大项为，故选：D．对点训练1.（2021·辽宁高二月考）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】本题首先可根据题意得出，然后根据数列是递增数列得出不等式组，最后通过计算即可得出结果.【详解】因为，，所以，因为数列是递增数列，所以，解得，即.故选：C.对点训练2.【多选题】（2021·辽宁高三）已知数列满足：，是数列的前项和，，下列命题正确的是（）A． B．数列是递增数列C． D．【答案】ABD【解析】选项A.设,求出其导函数得出其单调性，可得，，设，求出其导函数，得出其单调性，可得，从而可判断A；选项B.设,求出其导数，借助于选项A中构造的函数结论，可得其单调性，从而可判断;选项C.由可判断；选项：由选项B数列是递增数列，所以，由选项A中得到的结论可得，从而可判断.【详解】由题意，则设，则所以在上的单调递减，所以，即当时，可得，即设，所以在上的单调递增，所以取，可得，即所以，所以选项A正确.设，则由上在上恒成立，则所以在上恒成立，所以在上单调递增.所以数列是递增数列，故选项B正确.由，所以，所以选项C不正确.由数列是递增数列，所以由上，则，所以所以，故选项D正确.故选：ABD例4-2（周期性）（2021·全国高三其他模拟（理））在数列中，，，，则的值为______．【答案】1【解析】根据其递推公式求得相邻奇数项的乘积为1，相邻偶数项的乘积为1，进而得到数列具有周期性，即可求解．【详解】解：，，从而，即数列是以4为周期的数列，又由，，得，即，，得，，，故答案为：1．对点训练1.（2020·全国高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由知，序列的周期为m，由已知，，对于选项A，，不满足；对于选项B，，不满足；对于选项D，，不满足；故选：C巩固训练一、单项选择题1．已知数列1，eq\f(1,2)，eq\f(2,1)，eq\f(1,3)，eq\f(2,2)，eq\f(3,1)，eq\f(1,4)，eq\f(2,3)，eq\f(3,2)，eq\f(4,1)，…，则eq\f(8,9)是该数列的()A．第127项 B．第128项C．第129项 D．第130项【答案】B【解析】将该数列的第一项1写成eq\f(1,1)，再将该数列分组，第一组1项：eq\f(1,1)；第二组2项：eq\f(1,2)，eq\f(2,1)；第三组3项：eq\f(1,3)，eq\f(2,2)，eq\f(3,1)；第四组4项：eq\f(1,4)，eq\f(2,3)，eq\f(3,2)，eq\f(4,1)，…，容易发现：每组中各个分数的分子与分母之和均为该组序号加1，且从第二组起每组的分子从1开始依次增加1，因此eq\f(8,9)应位于第十六组中第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得eq\f(8,9)是该数列的第128项．2．已知正项数列{an}中，eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an)＝eq\f(nn＋1,2)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为()A．an＝n B．an＝n2C．an＝eq\f(n,2) D．an＝eq\f(n2,2)答案：B解析：由题意得eq\r(an)＝eq\f(nn＋1,2)－eq\f(nn－1,2)＝n(n≥2)，又eq\r(a1)＝1，所以eq\r(an)＝n(n≥1)，an＝n2，故选B.3．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是()A.eq\f(16,3) B.eq\f(13,3)C．4 D．0【答案】D【解析】因为an＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2＋eq\f(3,4)，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大值为0.4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1(n∈N*)，则a10等于()A．128B．256C．512D．1024答案：B解析：∵Sn＋1＝2Sn－1(n∈N*)n≥2时，Sn＝2Sn－1－1，∴an＋1＝2an.n＝1时，a1＋a2＝2a1－1，a1＝2，a2＝1.∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2.则a10＝a2×28＝1×28＝256.故选B.5．已知数列{an}满足eq\f(an＋1－an,n)＝2，a1＝20，则eq\f(an,n)的最小值为()A．4eq\r(5)B．4eq\r(5)－1C．8D．9答案：C解析：由an＋1－an＝2n知，当n≥2时，a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，相加得，an－a1＝n2－n，所以eq\f(an,n)＝n＋eq\f(20,n)－1(经检验n＝1时也符合)，又n∈N*，所以n≤4时，eq\f(an,n)单调递减，n≥5时，eq\f(an,n)单调递增，因为eq\f(a4,4)＝eq\f(a5,5)，所以eq\f(an,n)的最小值为eq\f(a4,4)＝eq\f(a5,5)＝8.故选C.6．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2020项的和为()A．672B．673C．1347D．2020答案：C解析：由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…各项除以2的余数，可得{an}为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0，…，所以{an}是周期为3的数列，一个周期中三项和为1＋1＋0＝2，因为2020＝673×3＋1，所以数列{an}的前2020项的和为673×2＋1＝1347，故选C.二、多项选择题7．下列说法不正确的是()A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))的第k项是1＋eq\f(1,k)D．数列可以看作是一个定义域为正整数集的函数答案：ABD解析：数列与数集是不同的，故选项A错误；由数列的有序性知选项B错误；数列的定义域不一定为正整数集，故选项D错误．8．在数列{an}中，an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))n，则数列{an}中的最大项可以是()A．第6项 B．第7项C．第8项 D．第9项答案：AB解析：假设an最大，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an＋1，,an≥an－1，))即，所以，即6≤n≤7，所以最大项为第6项和第7项．三、填空题9．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,6n－5，n≥2))解析：当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,6n－5，n≥2.))10．设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.答案：n－6(n∈N*)(答案不唯一)解析：∀n∈N*，an＋1>an，则数列{an}是递增的，∀n∈N*，Sn≥S6，即S6最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，所以，满足条件的数列{an}的一个通项公式an＝n－6(n∈N*)(答案不唯一)．11．数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．答案：3n解析：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3，把n换成n－1得，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2)·3n＋3，两式相减得an＝3n．12．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an