2022新高考数学高频考点题型归纳24平面向量的线性运算与坐标运算（学生版）

专题24平面向量的线性运算与坐标运算一、关键能力了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义；理解向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理；了解向量的线性运算性质及其几何意义。了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件.二、教学建议从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查．预测2022年高考中，平面向量的线性运算与坐标运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.三、自主梳理 1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.4.平面向量的坐标运算运算坐标表示和(差)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)数乘已知a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)，其中λ是实数任一向量的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)5.平面向量共线（1）线性表示向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.（2）坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0,四、高频考点+重点题型考点一、线性运算例1-1（向量的拆分）(2020·新高考全国卷Ⅱ)若D为△ABC的边AB的中点，则eq\o(CB,\s\up7(→))＝()A．2eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CA,\s\up7(→)) B．2eq\o(CA,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))C．2eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)) D．2eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))例1-2（向量拆分求参）（2019·山东高考模拟（文））在正方形中，为的中点，若，则的值为（）A． B． C． D．1例1-3（向量化简）已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上对点训练1.如图，在正六边形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝()A．0 B．eq\o(BE,\s\up7(→))C．eq\o(AD,\s\up7(→)) D．eq\o(CF,\s\up7(→))对点训练1.（2020·湖南衡阳·三模（文））在平行四边形中，若，则（）A． B． C． D．对点训练2.（2019·山东高考模拟（文））如图，在ΔABC中，AN=23NC，P是BN上一点，若AP对点训练3.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，则x的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))考点二、坐标运算例2-1.（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D点的坐标为___________.例2-2．已知点C为扇形AOB的弧eq\x\to(AB)上任意一点，且∠AOB＝120°，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围为()A．[－2,2] B．(1，eq\r(2)]C．[1，eq\r(2)] D．[1,2]对点训练1.（2021·全国高一专题练习）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设，且.（1）求；（2）求满足的实数m，n；（3）求M，N的坐标及向量的坐标.对点训练2.如图，在同一个平面内，三个单位向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))满足条件：eq\o(OA,\s\up7(→))与eq\o(OC,\s\up7(→))的夹角为α，且tanα＝7，eq\o(OB,\s\up7(→))与eq\o(OC,\s\up7(→))的夹角为45°.若eq\o(OC,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))(m，n∈R)，求m＋n的值．对点训练3．已知在平行四边形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则eq\o(CO,\s\up6(→))的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5))考点三、共线向量例3-1（线性表示）（2020·全国高一课时练习）设，是平面内不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则____.例3-2（坐标表示）（2020·上海高二课时练习）已知三点共线，则，则______，______．对点训练1.已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，求x＋y的值．对点训练2.(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________。对点训练3.设向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0.若A，B，C三点共线，则ab的最大值为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,8)D．eq\f(1,9)对点训练4．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)巩固训练一、单项选择题1.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up6(→)) B.2eq\o(OM,\s\up6(→)) C.3eq\o(OM,\s\up6(→)) D.4eq\o(OM,\s\up6(→))2.在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－3)，则点D的坐标为()A．(6,1) B．(－6，－1)C．(0，－3) D．(0,3)3．在△ABC中，点G满足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.若存在点O，使得eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))，则m－n等于()A．2B．－2C．1D．－14．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3) C.3 D.2eq\r(3)5.已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0成立的实数x的取值集合为()A.{0} B.C.{－1} D.{0，－1}二、多项选择题7.在△ABC中，下列命题正确的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C.若(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC为等腰三角形D.若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＞0，则△ABC为锐角三角形8.已知向量e1，e2是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当eq\o(OP,\s\up6(→))＝xe1＋ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的是()A．线段AB的中点的广义坐标为B．A，B两点间的距离为C．向量eq\o(OA,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))的充要条件是x1y2＝x2y1D．向量eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))的充要条件是x1x2＋y1y2＝0三、填空题9．已知△ABC和点M满足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，则m＝________．10.已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．11．在△ABC中，过中线AD