初一数学绝对值难题解析

初一数学绝对值难题解析绝对值是初一数学的一个重要知识点。它有两个意义：代数意义和几何意义。代数意义是非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。几何意义是一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。灵活应用绝对值的基本性质：|a|≥0；|ab|＝|a|·|b|；|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)；|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|；|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|。思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？|a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？常用解题方法：化简绝对值、运用绝对值的几何意义和零点分段法。例题解析：第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用1.已知表示a、b、c的点在数轴上如图所示，并且表示c的点在原点左侧，请化简|a－b|－|c－b|。解：a＜b，b＞c，所以a－b＜0，c－b＜0。原式＝（b－a）－(b－c)＝c－a。2.设x＜－1，请化简2－|2－|x－2||。解：x－2＜0，所以|2－（2－x）|=|x|。原式＝2－|x|＝2＋x。3.设3＜a＜4，请化简|a－3|＋|a－6|。解：a－3＞0，a－6＜0。原式＝（a－3）－(a－6)＝3。4.已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？解：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b，解得b＝-a，这时a≥0；当a－b＜0时，a＜b，|a－b|＝b－a，由已知|a－b|＝a＋b，得b－a＝a＋b，解得a＝-b，这时b＞0。综上所述，（1）是正确的。以上这种分类讨论化简方法叫做零点分段法。其步骤是：求出方程的零点，分段讨论，对每个区间内的表达式进行化简，最后综合得出答案。(1)化简：2|x－2|－|x＋4|解：令x－2＝0，x＋4＝0，分别求得零点值：x＝2，x＝-4。根据零点值将表达式分为三个区间：x≤-4，-4＜x≤2，x＞2。在每个区间内化简表达式，得到原式的简化形式。(2)求|x－1|－4|x＋1|的最大值。解：使用零点分段法将代数式简化，然后在各个取值范围内求出最大值，再加以比较，从中选出最大值。令x－1＝0，x＋1＝0，分别求得零点值：x＝1，x＝-1。根据零点值将表达式分为三个区间：x≤-1，-1＜x≤1，x＞1。在每个区间内求出表达式的值，比较得出最大值。若2x＋|4－5x|＋|1－3x|＋4的值恒为常数，则此常数的值为多少？解：利用绝对值的性质，将绝对值内带x的项的符号由负号都变成正号，以便于区段内判断正负关系。然后令4-5x=0，1-3x=0，分别求得零点值：x=4/5，x=1/3。根据零点值将表达式分为三个区间：x≤1/3，1/3＜x≤4/5，x＞4/5。在每个区间内化简表达式，得到原式的简化形式，从而得出恒为常数的值。若|a|＝a＋1，|x|＝2ax，且|x＋1|＋|x－5|＋2|x－m|的最小值是7，则m等于多少？解：根据绝对值的性质，可以得到a的值。然后根据|x|＝2ax的关系，可以得到x的取值范围。令x＋1＝0，x－5＝0，x－m＝0，分别求得零点值：x＝－1，x＝5，x＝m。根据x的取值范围，将表达式分为三个区间：x≤0，0＜x＜5，x≥5。在每个区间内求出表达式的值，得到最小值为7对应的m的值。离之和最小。此时，|AX|和|BX|分别表示X点到A点和B点的距离，|AB|表示A点和B点之间的距离。根据三角不等式，|AX|+|BX|≥|AB|，等号成立当且仅当X点在AB线段的中点上。因此，当X点在AB线段的中点上时，X到A点和B点的距离之和最小。3、利用上述结论，我们可以解决一些绝对值不等式的问题。例如，|x－2|＋|x＋3|＜6的解集。根据上述结论，当X点在2和－3之间时，|x－2|和|x＋3|分别表示X点到2和－3的距离，|2－（－3）|＝5表示2和－3之间的距离。因此，当X点在2和－3之间时，|x－2|＋|x＋3|＝2x＋1。因此，原不等式可以转化为2x＋1＜6，解得x＜2.5。因此，原不等式的解集为（－∞，2.5）。4、同样的方法，我们可以解决一些绝对值方程的问题。例如，|2x－1|＝3的解集。根据上述结论，当X点在1/2和5/2之间时，|2x－1|表示X点到1/2的距离，3表示X点到5/2的距离。因此，当X点在1/2和5/2之间时，|2x－1|＝3。因此，原方程可以转化为2x－1＝3或2x－1＝－3，解得x＝2或x＝－1。因此