2021年中考数学压轴题押题附答案解析

2021年中考数学压轴题

1.如图，在四边形ABCO中，AD//BC,E为CD的中点，连接AE、BE,延长AE交BC

的延长线于点F.

（1）△ZME和△CFE全等吗？说明理由；

（2）若AB=BC+4O,说明BE_L"；

（3）在（2）的条件下，若EF=6,CE=5,ZD=90°,你能否求出E到A8的距离？

如果能请直接写出结果.

证明：（1）△D4E丝△CFE理由如下：

,CAD//BC（已知），

...NAZ）C=NECF（两直线平行，内错角相等）,

是CD的中点（已知），

：.DE=EC（中点的定义）.

•在△4£>£■与△FCE中，

2ADC=乙ECF

DE=EC

.^AED=4CEF

：./\ADE^/\FCE（ASA）;

(2)由(1)知△4OE空△FCE,

：.AE=EF,AD=CF,

'：AB=BC+AD,

：.AB=BC+CF,

AB=BF

即AB=BF,在△ABE与△FBE中，lAE=EF,

.BE=BE

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:./\ABEmLFBE(SSS),

:.NAEB=NFEB=90°,

：.BElAEi

(3)在(2)的条件下有△ABE丝△FB£,

NABE=NFBE,

到BF的距离等于E到AB的距离，

'：CELBF,CE=5,

...点E到AB的距离为5.

2.某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时

发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形如图1、图2、图3中，AF,BE

是aABC的中线，AFLBE于点P,像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”.

【特例探究】

(1)如图1,当/以8=45°,48=6鱼时，AC=6百，BC=6加；

如图2,当sinNRW=J,AB=4时，AC=2V13,BC=2近；

【归纳证明】

(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想AB?、B&AC2三者之间的关系，用等式表示

出来，并利用图3证明你的结论.

【拓展证明】

(3)如图4,在△4BC中，AB=4%，BC=2瓜D、E、尸分别是边AB、AC、BC的

中点，连结QE并延长至G,使得GE=OE,连结8G,当BGLAC于点”时，求GF的

长.

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c

(1)解：如图1,,：AFLBE,

：.ZAPB=ZAPE=NBPF=9Q°,

；NH8=45°,AB=6五,

.,.AP=P8=6,

图1

如图1,连接EF,

'：AF,BE是△ABC的中线，

是△ABC的中位线，

：.EF//AB.且EF=%B,

.PEPF1

•,PB~PA~2

：.PE=PF=3,

由勾股定理得：AE=BF=>JAP2+PE2=V62+3Z=3瓜

：.AC=BC=2AE=6y[5,

1

如图2,VsinZB45=2，AB=4,AFI.BE,

：.ZPAB=30°,

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-1

：.BP=^AB=2,AP=2V5,

"：AF,BE是△ABC的中线，

；.PE=^PB=l,PF=&AP=a,

由勾股定理得：AE=y/PE2+AP2=J12+(2V3)2=V13,

BF=VPF2+PB2=J(遮/+22=77,

：.AC=2AE=24V3,BC=2BF=2小,

故答案为：6V5,6V5,2g,2V7；

(2)解：猜想：AB2,BC1,AC2三者之间的关系是：AC1+BC2=5AB2,

证明：如图3,设PF=m,PE=〃则AP=2〃?，PB=2n,

在Rt/XAPB中，(2机)2+(2〃)2=4解①，

在RtZ\APE中，(2〃?)2+〃2=(―)2②，

BC

在Rt^BPF中，〃？+(2〃)2=(―)2③，

222

由①得："?2+“2=华_,由②+③得：5(nj2+n2)=—>

：.AC2+BC2=5AB2；

(3)解：如图4,连接CG,EF,过点F作/W〃8G交CG于点N,FG与AC交于点。,

图4

■:FN//BG,BG±AC,

：.FNLAC,

•.•尸是3c的中点，

是CG的中点，

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；£）、E分别是AB、AC的中点，

：.DE=FC,DE//FC,

,:ED=EG,

：.EG=FC,EG//FC,

四边形EFCG是平行四边形，

是FG的中点，

...△