中考数学第二轮复习：专题二新定义型问题

专题二新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例1（2013•湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：

sin30°=，cos30°=，则sin230°+cos230°=；①

sin45°=，cos45°=，则sin245°+cos245°=；②

sin60°=，cos60°=，则sin260°+cos260°=．③

…

观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=．④

（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；

（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=，求cosA．思路分析：①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值；

④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1；

（1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=，cosA=，则sin2A+cos2A=，再根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2，从而证明sin2A+cos2A=1；

（2）利用关系式sin2A+cos2A=1，结合已知条件cosA＞0且sinA=，进行求解．解：∵sin30°=，cos30°=，

∴sin230°+cos230°=（）2+（）2=+=1；①

∵sin45°=，cos45°=，

∴sin245°+cos245°=（）2+（）2=+=1；②

∵sin60°=，cos60°=，

∴sin260°+cos260°=（）2+（）2=+=1．③

观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1．④

（1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．

∵sinA=，cosA=，

∴sin2A+cos2A=（）2+（）2=，

∵∠ADB=90°，

∴BD2+AD2=AB2，

∴sin2A+cos2A=1．

（2）∵sinA=，sin2A+cos2A=1，∠A为锐角，

∴cosA=．点评：本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．∴3（3-x）+1＜13，

9-3x+1＜13，

-3x＜3，

x＞-1．

在数轴上表示如下：

点评：本题考查了有理数的混合运算及一元一次不等式的解法，属于基础题，理解新定义法则是解题的关键．对应训练2．（2013•十堰）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4．

（1）如果[a]=-2，那么a的取值范围是．

（2）如果[]=3，求满足条件的所有正整数x．2．解：（1）∵[a]=-2，

∴a的取值范围是-2≤a＜-1；

（2）根据题意得：

3≤[]＜4，

解得：5≤x＜7，

则满足条件的所有正整数为5，6．考点三：探索题型中的新定义例3（2013•钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5思路分析： “距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．解：如图，

∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，

到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，

∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个．

故选C．点评：本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．对应训练3.（2013•台州）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．

（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；

（2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求证：△ABC是“好玩三角形”；

（3））如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC和AD-DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．

①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值；

②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．

（4）（本小题为选做题，作对另加2分，但全卷满分不超过150分）

依据（3）的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）

3．解：（1）如图1，①作一条线段AB，

②作线段AB的中点O，

③作线段OC，使OC=AB，

④连接AC、BC，

∴△ABC是所求作的三角形．

（2）如图2，取AC的中点D，连接BD

∵∠C=90°，tanA=，

∴=，

∴设BC=x，则AC=2x，

∵D是AC的中点，

∴CD=AC=x

∴BD==2x，

∴AC=BD

∴△ABC是“好玩三角形”；

（3）①如图3，当β=45°，点P在AB上时，

∴∠ABC=2β=90°，

∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，

当P在BC上时，连接AC交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，

∵PC=CQ，

∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，

∴△AEF∽△CEP，

∴．

∵PE=CE，

∴．

Ⅰ当底边PQ与它的中线AE相等时，即AE=PQ时，

=2，

∴=，

Ⅱ当腰AP与它的中线QM相等，即AP=QM时，

作QN⊥AP于N，如图4

∴MN=AN=MP．

∴QN=MN，

∴tan∠APQ==，

∴tan∠APE==，

∴=+。

②由①可知，当AE=PQ和AP=QM时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”，

∴＜tanβ＜2时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．

（4）由（3）可以知道0＜tanβ＜，

则在P、Q的运动过程中，使得△APQ成为“好玩三角形”的个数为2．考点四：开放题型中的新定义例4（2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．

（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；

（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；

（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．思路分析：（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；

（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在上任意一点构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，

（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．解：（1）∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=60°．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=30°，

∴∠ABD=∠ADB，

∴△ADB是等腰三角形．

在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，

∴∠BDC=∠C=75°，

∴△BCD为等腰三角形，

∴BD是梯形ABCD的和谐线；

（2）由题意作图为：图2，图3

（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，

∴△ACD是等腰三角形．

∵AB=AD=BC，

如图4，当AD=AC时，

∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC

∴△ABC是正三角形，

∴∠BAC=∠BCA=60°．

∵∠BAD=90°，

∴∠CAD=30°，

∴∠ACD=∠ADC=75°，

∴∠BCD=60°+75°=135°．

如图5，当AD=CD时，

∴AB=AD=BC=CD．

∵∠BAD=90°，

∴四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°

如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，

∵AC=CD．CE⊥AD，

∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．

∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，

∴四边形ABFE是矩形．

∴BF=AE．

∵AB=AD=BC，

∴BF=BC，

∴∠BCF=30°．

∵AB=BC，

∴∠ACB=∠BAC．

∵AB∥CE，

∴∠BAC=∠ACE，

∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，

∴∠BCD=15°×3=45°．点评：本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用．解答如图6这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键．对应训练4．（2013•常州）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则S=a+b-1（史称“皮克公式”）．

小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：

根据图中提供的信息填表：

格点多边形各边上的格点的个数格点边多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形181

多边形273

…………一般格点多边形abS则S与a、b之间的关系为S=（用含a、b的代数式表示）．4．解：填表如下：格点多边形各边上的格点的个数格点边多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形1818多边形27311…………一般格点多边形abS则S与a、b之间的关系为S=a+2（b-1）（用含a、b的代数式表示）．考点五：阅读材料题型中的新定义例5（2013•舟山）对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（-5，4），B（2，-3），A⊕B=（-5+2）+（4-3）=-2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，则C，D，E，F四点（）A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点思路分析：如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），则x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=-x+k上．解：∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2），

如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），

那么C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4），

D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5），

E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6），

F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6），

又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，

∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），

∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，

令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，

则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=-x+k上，

∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．

故选A．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．对应训练5．（2013•天门）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．

（1）判断与操作：

如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．

（2）探究与计算：

已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．

（3）归纳与拓展：

已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c（b＜c），且它是4阶奇异矩形，求b：c（直接写出结果）．7．解：（1）矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下：

（2）裁剪线的示意图如下：

（3）b：c的值为，

规律如下：第4次操作前短边与长边之比为：；

第3次操作前短边与长边之比为：；

第2次操作前短边与长边之比为：；

第1次操作前短边与长边之比为：．四、中考真题演练一、选择题1．（2013•成都）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（）A．y=-x+3B．y=C．y=2xD．y=-2x2+x-71．C2．（2013•绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．90° B．120° C．150° D．180°2．D3．（2013•潍坊）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[-2.5]=-3，若[]=5，则x的取值可以是（）A．40 B．45 C．51 D．563．C4．（2013•乌鲁木齐）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，-b）．如f（1，2）=（1，-2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，-9））=（）A．（5，-9） B．（-9，-5） C．（5，9） D．（9，5）4．D 5．（2013•常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）A． B． C． D．5．C二、填空题6．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．6．30°7．（2013•宜宾）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是．7．4π8．（2013•淄博）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有条．8．39．（2013•乐山）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n-≤x＜n+，则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4．

给出下列关于（x）的结论：

①（1.493）=1；

②（2x）=2（x）；

③若（x-1）=4，则实数x的取值范围是9≤x＜11；

④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）=m+（2013x）；

⑤（x+y）=（x）+（y）；

其中，正确的结论有（填写所有正确的序号）．9．①③④三、解答题10．（2013•莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．

如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．

（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；

（2）求出线段AD的长．10．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，

∴AD=BD，BC=BD，

∴△ABC∽△BDC，

∴，即，

∴AD2=AC•CD．

∴点D是线段AC的黄金分割点．

（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，

∴AD=AC=．11．（2013•大庆）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：

sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α）

（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；

（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．11．解：（1）由题意得，

sin120°=sin（180°-120°）=sin60°=，

cos120°=-cos（180°-120°）=-cos60°=-，

sin150°=sin（180°-150°）=sin30°=；

（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，

∴三个内角分别为30°，30°，120°，

①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，-，

将代入方程得：4×（）2-m×-1=0，

解得：m=0，

经检验-是方程4x2-1=0的根，

∴m=0符合题意；

②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为，，不符合题意；

③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为，，

将代入方程得：4×（）2-m×-1=0，

解得：m=0，

经检验不是方程4x2-1=0的根．

综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°．12．（2013•安徽）我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C．

（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；

（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：；

（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E．若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．（不必说明理由）12．解：（1）如图1，过点D作DE∥BC交PB于点E，则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE；

（2）∵AB∥DE，

∴∠B=∠DEC，

∵AE∥DC，

∴∠AEB=∠C，

∵∠B=∠C，

∴∠B=∠AEB，

∴AB=AE．

∵在△ABE和△DEC中，

，

∴△ABE∽△DEC，

∴，

∴；

（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，

∴∠BFE=∠CHE=90°．

∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，

∴EF=EG=EH，

在Rt△EFB和Rt△EHC中

，

∴Rt△EFB≌Rt△EHC（HL），

∴∠3=∠4．

∵BE=CE，

∴∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠4

即∠ABC=∠DCB，

∵ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，

∴ABCD是“准等腰梯形”．

当点E不在四边形ABCD的内部时，有两种情况：

如图4，当点E在BC边上时，同理可以证明△EFB≌△EHC，

∴∠B=∠C，

∴ABCD是“准等腰梯形”．

如图5，当点E在四边形ABCD的外部时，同理可以证明△EFB≌△EHC，

∴∠EBF=∠ECH．