数学人教A版（2019）必修第一册 等式性质与不等式性质

2-2-1等式性质与不等式性质通过预习，我们知道实际问题所蕴含的不等关系可以抽象出不等式，如何解不等式呢？我们初中学习了解方程，解方程需要用等式的性质，类似的，解不等式需要用到不等式的性质。接下来，我们先从实数的大小关系这一基本事实，研究不等式的性质，从而解决不等式，进而解决蕴含不等关系的实际问题，体会数学与我们的生活是息息相关的。入探究关于实数qM大小的比较，有以下基本事实：如果。-b是正数，那么。>b；如果。-b等于0,那么。=b；如果。-b是负数，那么Q<b；反过来也对。用数学符号表示为：a>b^a—b>0a〈b=a—b<0方法：要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0比较大小。OO+%)(l+%)V(£+%)(z+坦0<Z=O+XS+ZX)一(9++z%)='「/N盼+%)(i+%)¥(£+%)(z+%)苗4[吟探究：图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？将图中的“风车”抽象成如图所示的正方形ABCD,在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形三角形的两条直角边的长为Q"丰b),那么正方形的边长为梅+b2.4个直角三角形的面积和为2庶，正方形的面积为仃+b2.由于正方向ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们得到一个不等式+b2>2ab特别地，当直角三角形变为等腰直角三角形，即。=b时"正方形EFGH缩为一个点,这时有仃+b2=2ab/G-~^c于是有，于是有，+尸乏2abA\IaE结论：一般地，任意a,beR,有a24-b2>2ab,当且仅当。=b时，等号成立。证明：(作差法)冰+淀一2ab=(g-力)2因为任意a,beR,(a-b)2>0z当且仅当。=力时,等号成立,所以X+尸一2庶>°,因此,由两个实数大小关系的基本事实,得仃+b2>当且仅当。=b时，等号成立.注：我们把上述结论中的不等式称为重要不等式。回顾等式的基本性质性质1如果。=b,那么b=a性质2如果。=b,b=c,那么。=c性质3如果。=b,那么。±c=b±c性质4如果。=b,那么qc=be性质5如果。=b,cW0,那么丝=-探究：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？寸生质1如果。>加那么b<如果b<那么。>加即。>bb<a证性质3如果。>加那么。+c>b+c性质4如果q>OO，c>0,那么ac>be;如果Q>b,c<0,那么qc<be;证明：Q>b和性质3,得q+c>b+c；由。>(i和性质3,得b+c>b+d,再根据性质2,即得。+c>b+口性质6如果性质6如果Q>b>0,c>d>0,那么qc>bdn注：实数大小关系的基本事实和不等式的性质时解决不等式问题的依据。bc'ab分析：要证b:,因为C+0,所以b可先证明;>利用已知。>b>0和性质3,即可证明;>La证明:因为Q>b>0,所以湖>0上>0,于是Q~>b~,即:>abababba由cVo,得f?abbb1已知。>0,b>0,试比较£+牛与yfd+VF的大小解法一：(作差法)(遍+急一(而+商)=(金一VF)+(点一而)=2.(5V (作商注\*璀_(商，+(用)3-S (作商注\*璀_(商，+(用)3-S+VF)(q+J-面) (作商法)用+商一面(旅+商)VaK(V^+VF)2(用—VF)+y[ab___碎土—a+b-yfab1.已知。>o,b>”,试比较奈+焉与桓+VK的大小abab11已知。>o,b>o,试比较+—与+VF的大小VDV。12面，.七+盐-(桓+商)2=些洁00/则下列命题中是真命题的是(ababB.如果qc>be,那么q<bC.如果q>b,那么£>D.如果c>a>b>0,那么-■2.(多选题)已知afb,ceR,且c。答案：CD(2)已知1V。<4,2<b<8,试求;的取值范围；(3)已知一6<a<8f2<b<3,求；的取值范围；解：(1)v1<a<4,2<b<8,2<2a<8,6<3b<24,8<2a+ab<2(2)已知1V。<4,2<b<8,试求;的取值范围；(3)已知一6<a<8f2<b<3,求；的取值范围；即：<?V2,所以?的取值范围是：<?V2OUUO