眼科病床问题

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 河南工程学院 参赛队员（打印并签名）：1. 李江城 王晓燕 韩肖梅 指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）： 日期:2012年丄月旦日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：眼科病房床位合理安排模型摘要改革开放后中国的发展被世界瞩目，人民的生活也有温饱奔小康直至富裕目标。经济的迅猛发展也给人们带来前所未有的压力，健康问题逐渐引人关注。而看病难就医难的现状却始终存在，本文就一侧面眼科病房床位分配为背景，对眼科病房床位安排进行定量评估并通过建立模型给出更合适的规划。根据这些特点，我们对问题一用建立层次分析模型的方法解决；对问题二用多元线性回归模型和排队论模型解决；对问题三用拟合和星期分类计算模型的解决方法。对于问题一我们从床位使用率、床位周转次数、床位平均工作日、病人如愿满意度等四个角度出发，对现有数据进行了处理，运用层次分析法确定未知量，确定各指标权重值，建立了评价指标模型，判断出了医院原病床位分析模型等级为差。对于问题二我们首先运用多元线性回归模型，确定了效益函数，通过对模型的分析与处理，完成了参数归一化、排对启动点确定、排对算法设计等，利用计算机进程调度，最终建立排队论模型。接着又利用效益函数对动态控制排队模型进行了评价，模型评价等级为中等。对于问题三我们首先通过问题二队病人等待时间进行参数归一化，得知该段时间各类病人的最长的待时间和最短等待时间。然后利用星期划分法将外伤除外的其它四类病人就诊时间合理分配为三类。用拟合的方法推算出未来十天眼科病人出院情况，综合考虑各类患者入院手术时间限制、等待入院队列长度等综合得出了病人大致排队入院时间模型。对于问题四我们首先根据该科室正常情况下手术安排确定出各类疾病的手术时间。由问题二模型分析知，周六周日不手术情况下，病人入院优先级大大降低，需要重新对手术时间做出合理安排。统计每周各类病患门诊人数均值，假设各类病手术难度相当，根据手术比例，重新合理安排手术时间。关键字：层次分析法、多元线性回归模型、计算机进程调度、动态控制排队模型目录TOC\o"1-5"\h\z第一部分 问题重述 (1)第二部分 问题分析 (2)第三部分模型假设 (3)第四部分定义与符号说明 (4)第五部分模型的建立与求解 (4)问题1的模型 (4)模型(层次分析模型) (5)2•问题2的模型 (8)模型I(动态控制排队模型) (9)3•问题3的模型 (12)模型I(星期分类计算模型) (12)第六部分模型评价 ()第七部分参考文献 ()第八部分附录 ()一、问题重述本题所述医院眼科门诊每天开放，住院部病床有限。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。各类眼科疾病复杂程度不同，且仅外伤情况属于急症。该医院已制定了自己的接待安排患者模型，并给出了合理的各类病患接待诊治时间安排。但等待住院病人队列却越来越长，我们需要建立新的数学模型，以提高对医院资源的有效利用。首先分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对模型利用问题一中的指标体系作出评价。其次根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。并考虑若该住院部周六、周日不安排手术情况下，重新考虑医院的手术时间安排应作出相应调整。最后从便于管理的角度提出建议，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间最短的病床比例分配模型。二、问题分析（一）问题1的分析医疗改革坚持以人为本,医院应尽量提高病床周转率,使病床床位尽可能地满足医疗需求。目前眼科的现状是等待入院的队伍越来越长,且病床的周转率不高.患者来到医院寻求服务,而医院的医疗资源有限,二者之间发生冲突时,会产生排队现象.如果患者排队时间过长,超过他们的承受极限,必会导致患者的流失,给医院造成一定的损失,同时也可能会影响患者的诊断和救治,造成医疗事故。根据以上我们需要建立一个层次分析模型。确立评价指标，对医院现有模型标准进行评估，并加以改进。由于医院等待住院病人队列却越来越长，则可以预测现行标准不合理。（二）问题2的分析病床安排的合理性主要取决于病床的使用效率，病床的使用效率通过病床使用率、病床周转次数、病床平均公作次数及入院满意度和出院满意度这五个系数决定。利用多元线性回归建立效益函数，并由层次分析法确定参数。病人就诊的先后顺序以及病人所属类型的优先级别综合确定（外伤除外）。兼顾某些疾病的手术有特定的时间安排。由于病人类型所占权重以及各类病人特定的时间安排情况比较复杂，我们利用计算机进程调度，建立一个简单的混合线性规划模型并对其进行独立分析与计算，建立动态排队论模型建立合理统一的模型。最后利用问题一中的评价指标对该模型进行等级评价。（三）问题3的分析假设在病患中没有急诊伤病员，则所有的病患依照先来先服务的原则入住病房。当病房有空床位的时候就可以在等待的病患中选取相等人数的病患住院。我们根据公式估计每天平均空床数，将等待的病患按照先后挂号的顺序将病患排成一列长队，则在病人多出的队列前还有许多患者等待住院，用拟合的方法对出院人数进行统计，预测出未来一段时间内每天可以新入住病床人数。运用函数求出置信区间，再考虑到每天都要有急诊伤病员需要住进医院，由以往数据统计出每天接受急诊病人的均值，留足足够的床位，已处理应急情况。根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。（四）问题4的分析根据该科室正常情况下手术安排确定出各类疾病的手术时间。由问题二模型分析知，周六周日不手术情况下，病人入院优先级大大降低，需要重新对手术时间做出合理安排。统计每周各类病患门诊人数均值，假设各类病手术难度相当，根据手术比例，重新合理安排手术时间。三、模型假设1、假设病人无性别限制2、病人之间互不影响3、不同种类的病人可住在同一病房5、手术条件无限制6、在不相重叠的时间区内到大医院就诊的病人数相互独立。8、每类病人的住院时间服从泊松分布9、每天出院人数服从正态分布9、同类病人组成的队列排队规则为先到先服务的等待制。10、各个队长为无限制四、定义与符号说明病床使用率是指实际占用总床日数与实际开放总床日数的百分比值。床位周转次数是指在一定时期内每张床位的病人出院人数，其公式为：床位周转次数=出院人数/平均开放床位数病床平均工作日指每一张床在一定时期内平均工作的日数，用以衡量病床的利用情况。病床周转次数：指“出院人数”与“平均开放床位数”之比。平均住院日：指“出院者占用总床日数”与“出院人数”之比。实际开放总床日数：指年内医院各科每日夜晚12点钟开放病床数之总和，不论该床是否被患者占用，都应计算在内。实际占用总床日数：指医院各科每日夜晚12点钟实际占用病床数（即每日夜晚12点钟的住院人数）之总和。包括实际占用的临时床位，患者入院后于当晚12点钟以前死亡或因故出院所占用的床位。平均开放病床数：即实际开放总床日数／本年日历日数(365)。患者出院时对医院整体服务的评价指标。t表示所统计日期的天数n表示该段时间内出院人数xi表示医院该科室每天开放的床位数s表示一年内病床周转次数Ti表示每位病人的住院时间N表示实际占用总床日数m表示病床平均工作日a表示等待时间权重b表示排列队长权重g表示病人排队位置X表示入院满意度4Tu表示第k类病人的最少等待时间T表示第j类病人中第i个病人的等待时间ij表示该类等待就诊病人占病人总数的比例jY(t)表示t时刻是否安排第j个病人住院jf..(t)表示建立在t时刻第i类病人中第j个病人住院的优先等级。ji五、模型的建立与求解(一)数据处理1、对附表一进行分析知自8月8号起该医院眼科室已处于稳定状态所有开放病房全部注满，以后运行期间入院人数要依赖于出院人数，故我们只对8号后数据进行分析处理。2、利用MATLAB正态分布函数对各类患者手术后住院时间进行处理的随机数如下表所示：单眼白内障双眼白内障视网膜疾病外伤青光眼均值2.93106.048.05方差0.480.365.573.372.58随机数2.96023.10363.614210.053411.118取整3341011由此可以推断11号之后该科室每天患者出院情况。问题（一）1层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。2模型的建立与求解：a.由附表1数据整理分析知，8月7号之前医院该科室每天使用床位数呈上涨趋势，截止8月7日已全部住满，以后入院人数必须根据当天出院人数而定，即8月7号之后该科室病床使用率为100%，国家卫生部门规定的病床使用率上限为93%，下限位85%，所得结果与病床标准使用率89%相差甚远。b.由公式：s=365n弋xi

i=02008年8月8日至2008年9月11日这段时间里出院人数=301实际开放总床日数=79*35=2765平均开放病床数=实际开放总床日数/日数=2765/35=79床位周转次数=出院人数/平均开放床位数=301/79=3.81由此可以推得全年内床位周转次数=3.81/35*365=39.7次/年国家卫生部门规定的病床年周转次数上限为23次，下限位18次，所得结果与病床年标准21次相差甚远。C・病床平均工作日=实际占用总床日数/平均每天开放病床位数。由公式：亡Tim=1=0—xi病床平均工作日=实际占用总床日数/平均每天开放病床位数=28.76。d・本题中，出院满意度取决于病人从门诊到住院的等待时间，设第k类病人最少等待时间为Tu,若病人的等待时间正好为Tu,则设入院满意度为1；若病人等待时间超过上述时间越长，那么病人就越不满意，在极端情况下，入院满意度为0.血=Yi一兀+1’1J则运用右边公式得： k 匚＜•入院满意度为46%.3、用多元线性规划建立效益模型，将以上四种指标建立起线性关系，合并成统一性能指标，以上四种指标是相互独立的，建立起的效益函数为：y二卩x+Bx+Bx+Bx+Bx1122334455用层次分析法求解参数(卩,卩,卩,卩,卩)123451)判断矩阵设所要构造的判断矩阵为A=(a)，其中元素a的设定根据下图所示的ij ij1~9表度法：重要性设定：入院满意度＞床位周转次数＞床平均工作日＞床位利用率表5:9表度法示意图入院满意度床位周转次数病床平均工作日床位利用率入院满意度11/51/33床位周转次数511/25病床平均工作日3314床位利用率1/31/51/412)特征值与特征向量矩阵A的最大特征值为九max其所对应的特征向量为：u二(u,u,u...u)T；123n将u归一化，即对i=l,2,…,n,即求x二ui；i£uji=1用matlab程序(见附录)求解得出上述判断矩阵A的最大特征值为九=4.2656.max'0.1046、四个一级指标对应的权重向量X=0.44230.38460.0685丿1)一致性检验一致性检验指标为CI=max—n(n为矩阵的阶数，此处n=4),n-1一致性比率CR=CL；当CR〈0.1时，则可以称该矩阵具有一致性。RIRIStatty得到的平均随机一致性指标RI如下表所示一致性指标RI表矩阵23456789阶数RI00.580.9021.411.45将九 带入检验指标求得CI=0.085,算得CR=0.0944,该值小于max

0.1,所以可以说矩阵A具有一致性。则y=0.1046x+0.4423x+0.3846x+0.0685x1234将x=1;x=1/3;x=1/3;x=1/3带入1234得：y=0.4030由国家卫生局公布的病床安排合理性的优劣等级表yy〉=0.90.9〉y〉=0.80.8〉y〉=0.70.7〉y〉=0.6y<0.6等级优秀良好中等及格差则医院该科室床位安排合理性差。问题（二）动态控制排队模型：将病人按疾病类型分为5类：单眼白内障、双眼白内障、视网膜疾病、青光眼、外伤病人。在同类病人中，按照先到先服务顺序抽取相应数量的病人；对于所有病人，则视为1个多队列服务台的排队系统。计算出各个病人的优先级，按照优先级高低考虑就诊顺序。队列模型。参数归一化如下：将病人等待时间进行统计分析，找出其中的最长等待时间，记为T-MTji iMaT-MTiMaxT；最短等待时间记为MinT（不考虑外伤病人）。将第j类病人T-MTji iMaT-MTiji病人就诊的先后顺序由病人到达的先后顺序以及病人所属的类型的优先级别综合确定，只要有急诊病人，一旦有空床即刻安排入住，并且兼顾某些疾病的手术有特定的时间安排如每周一、周三做白内障手术，其他眼科疾病不安排在这两天等约束条件。建立在t时刻第j类病人中第i个病人住院的优先级：f(t)二min{l,aAT+bp+S(t)}Y(t)(0=<f(t)=<1)jijijjjji第一项表示病人就诊的优先等级与等待时间有关。其中a为该病人等待时间的优先权重。第二项表示病人就诊的优先等级与该类等待就诊病人占病人总数额比例p有关，对于同一类型的病人，其在总病人j数中所占比例越大，越应给予照顾，则有：p.二L/工L,为p二1(j二1,2,,5)jj j jj=1j=1B为队列长度的权重，当某一队列变长时应恰当优先处理，防止出现某些队列无限的在增长或者队列长度相差悬殊的现象。第三项表示病人就诊的优先等级与病人类型有关。T(t)为0~1变量，用来控制这类j约束条件，T(t)=1表示t时刻安排第j类病人入住，T(t)=0表示tjj时刻不安排第j类病人入住.权重的确定权重的大小直接决定了病人在队列中的相应位置。一般可以根据经验或优化方法取得，下面分几种情况进行说明：无优先：除了外伤病人外的其他病人进行同等对待，即 j不为5时，S=0.2。j有限优先：既考虑等待时间又考虑到队列的长度，对于a与b的支进行相关的设置，结合AHP方法计算出各影响因子的相关权重。根据权重因子，则可以最终确定病人的就诊序列。用AHP方法求权重等待时间队列长度等待时间11/3队列长度1/311-得判断矩阵A= 31113丿计算单一指标下元素的相对权重，此为在指标C下，解特征根nAW二九Wmax所得到的W经正规化后作为元素A在指标C下排序权生。采用幕法计n算W和九，由此得等待时间与队列长度权重分别为0.5,0.3max绝对优先：根据医院做手术的时间安排以及急诊病人的特殊要求，给予某些病人绝对优先。令Z二S(t)Y(t),Z表示病人的类型在优先级中所占的权重根据jjjj医院的特定安排有下列约束条件：对于急诊，一旦有空床，立即安排住院，，则有S5(t)=1,Y(t)=1；双眼白内障病人只能在周一和周三做手术，则有约束条件：Y(t)=0；单眼白内障病人周一、周三安排手术，2于是有Y1(2)=Y1(3)=Y1(4)=0；对于视网膜疾病、青光眼病人有Y(1)=Y⑹二Y(1)=Y(6)=0,最终得到模型如下：3 3 4 4/宀［f..(t)=0.5AT.+0.30.+0.2)Y.(t)(0=<f..(t)=<1)(t)二彳j ji j j jiji 1,j=5

,5)0.=L/昱L,昱0=1(j=1,2,jj j j,5)s.t二<js.t二<Y(t)=0,(t=123,4,5,7)2Y(2)=Y(3)=Y(4)=0111Y(1)=Y(6)=Y(1)=Y(6)=03 3 4 4利用问题一模型评价指标对该模型进行评价：y=0.1046x+0.4423x+0.3846x+0.0685x1234其中x=1，x=0.493，x=1，x=0.515，带入1 2 3 4得：y=0.743由评价标准知，该模型的优劣等级为中等。问题（三）首先假设在病患中没有急诊伤病员，则所有的病患依照先来先服务的原则入住病房。当病房有空床位的时候就可以在等待的病患中选取相等人数的病患住院。因此我们可以得到以下公式：[a,b]=[兰，]11nm估计每天平均空床数，将等待的病患按照先后挂号的顺序将病患排成一列长队，则病人多出的队列位置为g,在其前面还有g-1个病患等待住院，对出院人数做统计后得到如下图形：从图中可以直观的看出出院人数基本符合正太分布，运用函数我们可以直接得出以下的结论：muhat=8.6286sigmahat=4.6405muci=7.034510.2226sigmaci=3.75366.0800其中muhat和sigmahat分别为正太分布中的卩和,muci和sigmaci分别为参数的置信区间，由此我们可以得到出院人数平均值为8.6286，其在置信度为0.95的时候置信区间为［7.0345,102226］,因为人都是以整数的形式存在，所以，出院人数的置信区间为［7,10］。现在我们摒弃之前的假设，需要考虑到每天都要有急诊伤病员需要住进医院。通过对数据的整合可以得到平均每天会有一个急诊伤病员住院，所以我们需要在分配床位的时候空出一张给急诊伤病员，在这个条件下我们得到每天实际空病床的区间为［6,9］。因此我们可以得出病人住院区间为[a,b][g,g]1169六、模型的评价与推广问题一主要运用了动态排队模型，在医院安排医患床位时，对病床周转率、病床使用率、病床平均工作日、入院满意度等方面作出了科学合理的决策，克服了主观性分析的弊端。在建立模型时所考虑的影响因素全面而且符合实际，并对各影响因素进行了合理的量化处理。通过对已知数据的加工整合及对比，直观的分析出医院现有病床安排模式的评价等级。本模型的弊端是由于受现有资料的限制，无法代表所有医院的病床安排情况，这样大大局限了模型的灵活性。本问题构造的模型能够更合理的对医院病床进行安排，在日常生活中遇到各式各样的此类问题都可以一次模型来判断评价等级，已确定更合理的应用模型。问题二医院就医床位安排排队论模型，综合考虑患者的疾病种类、门诊时间、等待时间、服务时间和医院病床的使用效率，确立动态优先级函数，按此根据问题一的评价体系，该模型的评价值为0.743，评价等级为中等。问题三用MATLAB在正态分布函数中求出参数，其在置信度为0.95的时候置信区间，进而算出出院人数的置信区间，综合考虑每天都要有急诊伤病员需要住进医院，由此得出病人住院区间。该算法可以用于对未来的预测，简便易懂，只是由于数据等各方面限制，得出的置信区间会有一定的误差。

附录附表一：每天使用床入院日期入院人数出院日期出院人数每天新增使用床位位2008-7-1412008-7-140112008-7-1502008-7-150012008-7-1602008-7-160012008-7-1712008-7-170122008-7-1812008-7-180132008-7-1922008-7-191142008-7-2012008-7-200152008-7-2122008-7-210272008-7-2222008-7-221182008-7-2312008-7-230192008-7-2422008-7-2402112008-7-2542008-7-2522132008-7-2682008-7-2617202008-7-27112008-7-27110302008-7-28112008-7-2838382008-7-2992008-7-2927452008-7-3092008-7-3054492008-7-3182008-7-3117562008-8-172008-8-125612008-8-2122008-8-257682008-8-362008-8-324722008-8-462008-8-424762008-8-552008-8-541772008-8-692008-8-681782008-8-782008-8-771792008-8-8152008-8-8150792008-8-9202008-8-9200792008-8-1092008-8-1090792008-8-1162008-8-1160792008-8-1222008-8-1220792008-8-1362008-8-1360792008-8-1492008-8-1490792008-8-1582008-8-1580792008-8-16132008-8-16130792008-8-1762008-8-1760792008-8-1842008-8-1840792008-8-1972008-8-1970792008-8-20102008-8-2010079

2008-8-2142008-8-2140792008-8-2282008-8-2280792008-8-23182008-8-23180792008-8-24112008-8-24110792008-8-2562008-8-2560792008-8-2632008-8-2630792008-8-2782008-8-2780792008-8-28122008-8-28120792008-8-29102008-8-29100792008-8-30142008-8-30140792008-8-3122008-8-3120792008-9-162008-9-160792008-9-222008-9-220792008-9-352008-9-350792008-9-492008-9-490792008-9-5132008-9-5130792008-9-6172008-9-6170792008-9-7102008-9-7100792008-9-842008-9-840792008-9-952008-9-950792008-9-10132008-9-10130792008-9-1172008-9-1170792008-9-1202008-9-1200792008-9-1302008-9-130079程序一：模糊综合分析程序disp（'请输入判断矩阵A（n阶）’）；A=input(‘A=')；[n,n]=size(A)；x=ones(n,100)；y=ones(n,100)；m=zeros(1,100)；m(1)=max(x(:,1))；y(:,1)=x(:,1)；x(:,2)=A*y(:,1)；m(2)=max(x(:,2));y(: