初中数学湘教版九上4.3 解直角三角形 课件

4.3

解直角三角形

第4章锐角三角函数ACBcba(1)三边之间的关系：a2+b2=_____；(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.

如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°.c290°复习引入已知两边解直角三角形在图中的Rt△ABC中，(1)根据∠A=75°，斜边

AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？合作探究ABC675°(2)根据

AC=2.4，AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC62.4

在直角三角形中，除直角外有

5

个元素（即

3

条边、2

个锐角），只要知道其中的

2

个元素（至少有

1

个是边），就可以求出其余的

3

个未知元素.像这样，我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.ABC解：典例精析例1

如图，在

Rt△ABC

中，∠C=90°，AC=，，解这个直角三角形.已知Rt△ABC中，∠C

=90°，a=30，b=20，解此直角三角形.

解：根据勾股定理得ABCb=20a=30c练一练已知一边及一锐角解直角三角形例2

如图，在

Rt△ABC

中，∠C

=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).ABCb=20ca35°解：1.在Rt△ABC中，∠C

=90°，∠B

=72°，c=14.根据条件解直角三角形.ABCbac=14解：练一练2.如图，已知AC=4，求AB和BC的长．提示：作

CD⊥AB

于点

D，根据三角函数的定义，在

Rt△ACD

和

Rt△CDB

中，即可求出CD，AD，BD的长，从而得解．在

Rt△CDB

中，∠DCB

=∠ACB－∠ACD

=

45°，解：如图，作

CD⊥AB

于点

D.在

Rt△ACD

中，∵∠A

=

30°，∴∠ACD

=

90°

-

∠A

=

60°，∴

BD

=

CD

=

2.D在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解.已知一锐角三角函数值解直角三角形例3

如图，在Rt△ABC

中，∠C=90°，cosA=，BC=5，试求

AB的长.ACB解：设1.在

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，sin

A=，BC

=

6，则

AB

的长为

(

)A．4B．6C．8D．10D2.如图，在菱形

ABCD

中，AE⊥BC

于点

E，EC

=

4，sin

B=，则菱形的周长是()

A．10B．20C．40D．28C练一练提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论.例4

在△ABC

中，AB

=，AC

=

13，cosB

=，求

BC的长.解：∵cosB=，∴∠B

=

45°.当△ABC

为钝角三角形时，如图①.∵AC

=

13，∴由勾股定理得

CD

=

5.∴BC

=

BD

-

CD

=

12

-

5

=

7.图①当△ABC

为锐角三角形时，如图②，此时

BC

=

BD

+

CD

=

12

+

5

=

17.综上可知，BC的长为7或17.图②2.如图，在

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，∠B

=

30°，

AB

=

8，则

BC

的长是(

)

D

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，

∠B，∠C的对边，则下列各式正确的是(

)A.b=a·tanAB.b=c·sinAC.b=c·cosAD.a=c·cosAACB

C3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，

则

AC=

(参考数据：sin37°

≈0.60，cos37°

≈

0.80，tan37°

≈0.75).4.如图，已知

Rt△ABC

中，斜边

BC

上的高

AD

=

3，

cosB=，则AC的长为

.

243.755.如图，在

Rt△ABC

中，∠C=90°，AC=6，角平分

线，解这个直角三角形.解：∵

AD平分∠BAC，DABC6解：过点A作AD⊥BC于点

D.在△ACD中，∠C=45°，AC

=2，∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°=.在△ABD中，∠B=30°，∴

BD=∴

BC=CD+BD=