全国高考数学-不等式学案文

教材复习课“不等式”有关基础知识一课过不等式、一元二次不等式[过双基]1．两个实数比较大小的方法－>0?>，abab(1)作差法a－b＝0?a＝b，a－b<0?a<b；a>1?>∈R，>0，abbabaa＝ba∈R，b>0(2)作商法b＝1?，a<a∈R，b>0.b<1?ab2．不等式的性质对称性：a>b?b<a；传达性：a>b，b>c?a>c；可加性：a>b?a＋c>b＋c；a>b，c>d?a＋c>b＋d；可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b>0，c>d>0?ac>bd；n可乘方性：a>b>0?a>b(n∈N，n≥1)；n可开方性：a>b>0?a>b(n∈N，n≥2)．3．三个“二次”间的关系鉴别式＝b2－4＞0＝0＜0ac二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程有两相等实根x＝x＝有两相异实根x，x122ax2＝0(a1＋＋＞b没有实数根bxc120)的根(x＜x)－2a2＋＋＞0(a＞baxbxc{x|x>x或x<x}R2a0)的解集21ax2＋bx＋c＜0(a＞??{x|x1＜x＜x2}的解集[小题速通]1．若>>0，则以下不等式中恒成立的是()abbb＋111A.a>a＋1B．a＋a>b＋b112＋C．a＋b>b＋aD.a＋2b>b1111分析：选C由a>b>0?0<a<b?a＋b>b＋a，应选C.2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则()A．M>NB．M≥NC．M＜ND．M≤N分析：选A由题意知，M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝(a1)2＋2>0恒成立，所以M>N.3．已知一元二次不等式f(x)＞0的解集为xx＜－1或x＞21，则f(10x)＞0的解集为()A．{x|x＜－1或x＞lg2}B．{x|－1＜x＜lg2}C．{x|x＞－lg2}D．{x|x＜－lg2}1x分析：选C一元二次不等式f(x)＞0的解集为xx＜－1或x＞2，则不等式f(10)＞0可化为10x＜－1或10x1x＞lg1x＞－lg2，所以所求不等式的解集为{|＞＞，解得，即22xxlg2}．4．不等式－6x2＋2＜x的解集是________．分析：不等式－6x2＋2＜x可化为6x2＋x－2＞0，即(3x＋2)(2x－1)＞0，1解不等式得x<－3或x>2，所以该不等式的解集是－∞，－2∪1，＋∞.321答案：－∞，－3∪2，＋∞[清易错]1．在乘法法例中，要特别注意“乘数c的符号”，比如当c≠0时，有a>b?ac2>bc2；若无c≠0这个条件，>?ac2>2就是错误结论(当＝0时，取“＝”)．abbcc2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘掉议论a＝0时的情况．3．当<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R仍是?，要注意差别a的符号．1．若(＋1)x2－(－1)x＋3(－1)<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是mmm()A．(1，＋∞)B．(－∞，－1)1313C.－∞，－11D.－∞，－11∪(1，＋∞)分析：选C①当m＝－1时，不等式为2x－6<0，即x<3，不切合题意．②当≠－1时，则m＋1<0，解得<－13，切合题意．m<0，m11故实数m的取值范围为13－∞，－11.2．对于实数a，b，c，有以下命题：①若a＞b，则ac＜bc；22②若ac＞bc，则a＞b；ab④若c＞a＞b＞0，则c－a＞c－b；11⑤若a＞b，a＞b，则a＞0，b＜0.此中真命题的序号是________．分析：当c＝0时，若a＞b，则ac＝bc，故①为假命题；若ac2＞bc2，则c≠0，c2＞0，故a＞b，故②为真命题；若a＜b＜0，则a2＞ab且ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故③为真命题；若c＞＞＞0，则c＜c，则c－a＜c－b，则a＞b，故④为真命题；abababc－ac－b1b－a若a＞b，a＞b，即ab>0，故ab＜0，则a＞0，b＜0，故⑤为真命题．故②③④⑤为真命题．答案：②③④⑤3．若不等式

ax2－bx＋c＜0

的解集是

(－2,3)

，则不等式

bx2＋ax＋c＜0

的解集是________．分析：∵不等式ax2－bx＋c＜0的解集是(－2,3)，∴a＞0，且对应方程ax2－bx＋c＝0的实数根是－2和3，ca＝－2×3，由根与系数的关系，得ba＝－2＋3，cb即a＝－6，a＝1，cb＞0，且b＝1，b＝－6，22∴不等式bx＋ax＋c＜0可化为x＋x－6＜0，∴该不等式的解集为(－3,2)．答案：(－3,2)简单的线性规划问题[过双基]1．一元二次不等式(组)表示的平面地区不等式表示地区＋＋＞0不包含界限直线AxByCAx＋By＋C≥0直线Ax＋By＋C＝0某一侧包含界限直线的所有点构成的平面地区不等式组各个不等式所表示平面地区的公共部分2．线性规划中的基本观点名称意义拘束条件由变量x，y构成的不等式(组)线性拘束条件由x，y的一次不等式(或方程)构成的不等式(组)目标函数对于x，y的函数分析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数对于x，y的一次分析式可行解知足线性拘束条件的解(x，y)可行域所有可行解构成的会合最优解使目标函数获得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性拘束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[小题速通]1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在座标平面内表示的地区(用暗影部分表示)应是()x－2y＋1≥0，x－2y＋1≤0，分析：选C由(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0?或结x＋y－3≤0x＋y－3≥0.合图形可知选C.x＋3y≤3，．·全国卷Ⅰ)设x，y知足拘束条件x－y≥1，则z＝＋y的最大值为2(2017xy≥0，()A．0B．1C．2D．3分析：选D不等式组表示的可行域如图中暗影部分所示，平移直线y＝－x，当直线经过点A(3,0)时，z＝x＋y获得最大值，此时zmax＝3＋0＝3.≤1，y3xOy中，P为不等式组x＋y－2≥0，所表示的平面地区上．在平面直角坐标系x－y－1≤0一动点，则直线斜率的最大值为()OP1A．2B.31C.2D．1分析：选DP位于x＋y＝2，作出可行域如图中暗影部分所示，当点的交点(1,1)y＝1时，(kOP)max＝1.y≥x，4z＝2xy，实数x，y知足x＋y≤2，且z的最大值是最小值的4倍，则．已知＋x≥m，m的值是()11A.4B.511C.6D.7分析：选A依据题意画出以下图的可行域如图中暗影部分所示．平移直线l：2x＋y＝0，当l过点A(m，m)时z最小，过点B(1,1)时z最大，由题意知，1zmax＝4zmin，即3＝4×3m，解得m＝.4[清易错]1．画出平面地区．防止失误的重要方法就是第一把二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．2．线性规划问题中的最优解不必定是独一的，即可行域内使目标函数获得最值的点不必定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．xy≥0，实数

x，y知足

使z＝ax＋y获得最大值的最优解有

2个，则

z1＝ax＋y＋1|

x＋y|≤1，的最小值为

(

)A．0

B．－2C．1

D．－1分析：选

A

画出不等式组所表示的可行域如图中暗影部分所示，

∵z＝ax＋y获得最大值的最优解有

2个，∴－

a＝1，a＝－1，∴当

x＝1，y＝0

或

x＝0，y＝－1

时，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－

1，∴ax＋y＋1的最小值是

0.基本不等式[过双基]a＋b1．基本不等式ab≤2基本不等式成立的条件：a>0，b>0.等号成立的条件：当且仅当a＝b.2．几个重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；baa＋b≥2(a，b同号)；ab≤a＋b2(a，b∈R)；2(4)a＋b2a2＋b22≤2(a，b∈R)．3．算术均匀数与几何均匀数设a＞0，b>0，则a，b的算术均匀数为a＋bab，基本不等式可表达为：2，几何均匀数为两个正数的算术均匀数不小于它们的几何均匀数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则假如xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．(2)假如x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是q24(简记：和定积最大)．[小题速通]1．若实数a，b知足1＋2＝，则的最小值为()abababA.2B．2C．22D．4分析：选C12ab，知a＞0，b＞0，由a＋b＝122所以ab＝a＋b≥2ab，即ab≥22，12当且仅当a＝b，42，b＝24即a＝2时取“＝”，12a＋b＝ab，所以ab的最小值为22.2．已知直线2＋by－2＝0(a＞0，＞0)过点(1,2)11，则＋的最小值是()axbabA．2B．3C．4D．1分析：选C由直线2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)过点(1,2)，可得2a＋2b＝2，即a＋b＝1.11＝11(aabba1则＋＋＋)＝2＋＋≥2＋2×＝4，当且仅当＝＝时取等号．ababbbaabab211a＋b的最小值为4.3．已知x，y∈R且2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围为________．分析：依据题意知，2x＞0,2y＞0，x＋2y≥22xyx＋y，所以1＝2·2＝22即2x＋y≤14＝2－2，x＋y≤－2，所以x＋y的取值范围为(－∞，－2]．答案：(－∞，－2][清易错]1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是追求定值；三是考虑等号成立的条件．2．多次使用基本不等式时，易忽略取等号的条件的一致性．1．在以下函数中，最小值等于2的函数是()1A．y＝x＋xπB．y＝cosx＋cosx0<x<22x＋3x4D．y＝e＋x－2e1π分析：选D当x<0时，y＝x＋x≤－2，故A错误；因为0<x<2，所以0<cosx<1，所以y＝cosx＋1>2，故B错误；因为x2＋2≥2，所以y＝x2＋2＋1>2，故Ccosxx2＋2xx4x4x4x错误；因为e>0，所以y＝e＋ex－2≥2e·ex－2＝2，当且仅当e＝ex，即e＝2时等号成立，应选D.4＋44＋12．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则ab的最小值为________．aba4＋4b4＋124a4b4＋14a2b2＋111分析：因为ab>0，所以ab≥ab＝ab＝4ab＋ab≥24ab·ab＝4，a2＝2b2，a4＋4b4＋1当且仅当1时取等号，故ab的最小值是4.ab＝2答案：4一、选择题1．(2018·洛阳统考

)已知

a<0，－1<b<0，那么(

)A．a>ab>ab2

B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2

D．ab>ab2>a分析：选D∵－1<b<0，∴b<b2<1，又a<0，∴ab>ab2>a.2．以下不等式中正确的选项是()A．若a∈R，则a2＋9>6aa＋bB．若a，b∈R，则ab≥2C．若a>0，b>0，则2lga＋ba＋lgb2≥lg21D．若x∈R，则x＋x2＋1>1分析：选C∵a2－6＋9＝(－3)2≥0，∴A错误；明显B不正确；∵>0，>0，∴a＋baaab2a＋b21≥ab.∴2lg2≥2lgab＝lg(ab)＝lga＋lgb，∴C正确；∵当x＝0时，x＋x2＋1＝1，∴D错误，应选C.3．若角α，β知足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是()3π3π3πA.－2，2B.－2，0C.0，3πD.－π，022ππ分析：选B∵－2<α<π，－2<β<π，π3π3π∴－π<－β<2，∴－2<α－β<2.3π又∵α<β，∴α－β<0，从而－2<α－β<0.221221＝15，则a＝()4．若对于x的不等式x－2ax－8a<0(a>0)的解集为(x，x)，且x－x57A.2B.21515C.4D.2分析：选A由条件知x，x22x＋x＝2a，12121222－x1)21221222225xx＝－8a，故(x＝(x＋x)－4xx＝(2a)－4×(－8a)＝36a＝15，解得a＝2.y≤－x＋2，5．不等式组y≤x－1，所表示的平面地区的面积为()y≥01A．1B.211C.3D.4分析：选D作出不等式组对应的地区为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由y＝－x＋2，D1△BCD111y＝x－1，得y＝2，所以S＝2×(2－1)×2＝4.6．(2018·成都一诊)已知x，y∈(0，＋∞)，且logx＋log11xy22()A．4B．3C．2D．111＋y2xy2xy，当且仅当x＝y时取等号．∵log2x＋log2y＝分析：选Dx＋y＝xy≥xy＝log2(xy)＝2，∴xy＝4.11211∴x＋y≥xy＝1.故x＋y的最小值为1.3x＋y－6≥0，7x，y知足拘束条件x－y－2≤0，则目标函数z＝y－2x的最小值为．设变量y－3≤0，()A．－7B．－4C．1D．2分析：选A法一：将z＝－2x化为y＝2＋，作出可行域和直线y＝2x(以下图)，yxz当直线y＝2x＋z向右下方平移时，直线y＝2x＋z在y轴上的截距z减小，数形联合知当直线y＝2x＋z经过点A(5，3)时，z获得最小值3－10＝－7.法二：易知平面地区的三个极点坐标分别为(1,3)，(2,0)，(5,3)，分别代入z＝yBCA－2x，得z的值为1，－4，－7，故z的最小值为－7.xy8．(2017·山东高考改编)若直线a＋b＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为()A．4B．3＋22C．8D．42xya＞0，b＞0)分析：选C∵直线a＋b＝1(过点(1,2)，2a＋b＝1，∵a＞0，b＞0，22a＋b＝(2a＋b)a＋bb4ab4a＝4＋a＋b≥4＋2a·b＝8，当且仅当b4a＝2，＝4时等号成立，＝，即abab∴2a＋b的最小值为8.二、填空题9．(2018·沈阳模拟)已知实数x，y知足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．分析：因为x2＋y2－xy＝1，所以x2＋y2＝1＋xy.所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×x＋y2，当且仅当x＝y时等号成立，22即(x＋y)≤4，解得－2≤x＋y≤2.答案：210．(2017·郑州二模)某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b知足不等2a－b≥5，式组a－b≤2，设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝________.a＜7，分析：画出不等式组所表示的可行域如图中暗影部分所示，作直线l：b＋a＝0，平移直线l，再由a，b∈N，可知当a＝6，＝7时，招聘的教师最多，此时x＝＋＝13.bab答案：1311．一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．11x＋2y分析：设矩形的长为xm，宽为ym．则x＋2y＝30，所以S＝xy＝2x·(2y)≤22222515＝2，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝2时取等号．答案：15

152x＋y－3≥0，12．(2018·邯郸质检)若不等式组y≤kx＋3，表示的平面地区为一个锐角三角0≤x≤3形及其内部，则实数

k的取值范围是

________．分析：直线

y＝kx＋3恒过定点

(0,3)

，作出不等式组表示的可行域知，

要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线

y＝kx＋3的斜率在

0与

1之间，即

k∈(0,1)

．答案：(0,1)三、解答题13．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.解对于a的不等式f(1)>0；若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，务实数a，b的值．解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，∴原不等式可化为a2－6a－3<0，解得3－23<a<3＋23.∴原不等式的解集为{a|3－23<a<3＋23}．f(x)>b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，a6－a－1＋3＝，3，3a＝3±故解得6－b，b＝－3.－1×3＝－314．(2018·济南一模)已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.求u＝lgx＋lgy的最大值；1求x＋y的最小值．解：(1)∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy.∵2x＋5y＝20，∴210xy≤20，即xy≤10，当且仅当2x＝5y时等号成立．所以有2x＋5y＝20，x＝5，解得2x＝5y，y＝2，此时xy有最大值10.u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.11112＋5y15y2x15y2x(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＝x＋y7＋x＋y≥207＋2·20＝20x·y＝7＋21020，5y2x当且仅当x＝y时等号成立．117＋210.∴x＋y的最小值为20高考研究课一不等式性质、一元二次不等式[全国卷5年命题剖析]考点考察频度考察角度不等式性质5年2考比较大小一元二次不等式解法5年8考与会合交汇命题考察解法不等式恒成立问题5年1考利用不等式恒成立求参数不等式的性质及应用利用不等式性质比较大小或判断命题真假，一般直接利用性质推导或特别值法考证.1111112[典例]若a<b<0，给出以下不等式：①a＋b<ab；②|a|＋b>0；③a－a>b－b；④lna>lnb2.此中正确的不等式是()A．①④B．②③C．①③D．②④[分析]法一：用“特值法”解题11因为a<b<0，故可取a＝－1，b＝－2.明显|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4>0，所以④错误，综上所述，可清除A、B、D，选C.法二：用“直接法”解题11由a<b<0，可知b<a<0.11①中，因为a＋b<0，ab>0，所以a＋b<ab，故①正确；②中，因为<<0，所以－b>－>0.故－b>||，即||＋<0，故②错误；baaaab③中，因为111111<<0，又<<0，则－>－b>0，所以－>－，故③正确；baabaaabb④中，因为b<a<0，依据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2>lna2，故④错误．由以上剖析，知①③正确．[答案]C[方法技巧]不等式性质应用问题的3大常有种类及解题策略利用不等式性质比较大小熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵巧运用是要点，要注意不等式性质成立的前提条件．与充要条件相联合问题用不等式的性质分别判断p?q和q?p能否正确，要注意特别值法的应用．与命题真假判断相联合问题解决此类问题除依据不等式的性质求解外，还常常采纳特别值考证的方法．[即时操练]111．(2018·泰安调研)设a，b∈R，若p：a<b，q：b<a<0，则p是q的()A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件1111分析：选B当a<b时，b<a<0不必定成立；当b<a<0时，a<b<0.综上可得，p是q的必要不充分条件．2．若a＜b＜0，给出以下不等式：①22－a|＞|b－1|；③1＞1＞1，a＋1＞b；②|1＋abab此中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3分析：选D因为a＜＜0，所以－a＞－＞0，则1－＞1－＞1，所以①a2＋1＞2bbabb正确；②|1－|＞|－1|正确；因为a＜＜0，所以＋＜＜＜0，所以③1＞1＞1正abbababa＋bab确，应选D.3．已知＋>0，则ab112＋2与＋的大小关系是________．abbaabab11－bb－a11a＋b－b2分析：b2＋a2－a＋b＝b2＋a2＝(a－b)·b2－a2＝a2b2.∵a＋b>0，(a－b)2≥0，a＋ba－b2∴a2b2≥0.ab11b2＋a2≥a＋b.ab11答案：b2＋a2≥a＋b一元二次不等式的解法[典例]解以下不等式：－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4；(3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．[解](1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.4解得－2≤x≤3，所以原不等式的解集为x－2≤≤4.x3(2)原不等式等价于x2－x－2＞0，x2－x－2＞0，x2－x－2≤4?x2－x－6≤0x－2x＋1＞0，x＞2或x＜－1，?x＋2≤0?x－3－2≤x≤3.借助于数轴，以下图，故原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}.原不等式变成(ax－1)(x－1)＜0，1因为a＞0，所以ax－a(x－1)＜0.1所以当a＞1时，解为a＜x＜1；当a＝1时，解集为

?；当0＜a＜1时，解为

11＜x＜a.1综上，当

0＜a＜1时，不等式的解集为

x1＜x＜a

；a1

?1当a＞1时，不等式的解集为

xa＜x＜1

.[方法技巧]解一元二次不等式的4个步骤[即时操练]1．若(x－1)(x－2)＜2，则(x＋1)(x－3)的取值范围是()A．(0,3)B．[－4，－3)C．[－4,0)D．(－3,4]分析：选C解不等式(x－1)(x－2)＜2，可得0＜x＜3，(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3，由二次函数的性质可得(x＋1)(－3)的取值范围是[－4,0)．x2．(2018·昆明、玉溪统考)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax的解集为()A．{x|－2<x<1}B．{x|x<－2或x>1}C．{x|0<x<3}D．{x|x<0或x>3}分析：选C由题意a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax，整理得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)>0①，又不等式

ax2＋bx＋c>0的解集为

{x|

－1<x<2}，则

a<0，且－1,2

分别为方程

ax2＋bx＋c＝0的两根，bb由根与系数的关系得－1＋2＝－a，即a＝－1，②，cc－1×2＝a，a＝－22bcb将①两边同除以a得x＋a－2x＋1＋a－a<0，将②代入得x2－3<0，解得0<<3.xx一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着亲密的联系.在解决详细的数学识题时，要注意三者之间的互相联系，并在必定条件下互相变换.对于一元二次不等式恒成立问题，常依据二次函数图象与x轴的交点状况确立鉴别式的符号，从而求出参数的取值范围.,常有的命题角度有：1形如fx≥0≤0x∈R确立参数的范围；2形如fx≥0≤0x∈[，b]确立参数范围；a3形如fx≥0≤0参数m∈[a，b]确立x的范围.角度一：形如f(x)≥0(≤0)(x∈R)确立参数的范围1．(2018·南昌一模)已知函数f(x)＝2－2x－＋1，能否存在实数对所有的实数x，mxmmf(x)<0恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明原因．解：f(x)＝mx2－2x－m＋1＜0恒成立，2即函数f(x)＝mx－2x－m＋1的图象所有在x轴下方．1当m＝0时，1－2x＜0，则x＞2，不知足题意；2当m≠0时，函数f(x)＝mx－2x－m＋1为二次函数，2需知足张口向下且方程mx－2x－m＋1＝0无解，m＜0，即4－4m1－m＜0，不等式组的解集为空集，即m无解．综上可知不存在这样的m.[方法技巧]对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上所有在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上所有在x轴下方．角度二：形如f(x)≥0(≤0)(x∈[a，b])确立参数的范围2．(2018·西安八校联考2)设函数f(x)＝mx－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．解：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，则2－＋－＜，即mx－12＋3－＜0在x∈[1,3]上恒成立．mxmxm6024m6有以下两种方法：法一：令g(x)＝mx－12＋3－，∈[1,3]．24m6x当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.所以66＜，则0＜＜.m7m7当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.所以m＜6，则m＜0.6综上所述，m的取值范围是(－∞，0)∪0，7.2123法二：因为x－x＋1＝x－＋＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，6所以m＜x2－x＋1.因为函数y＝26＝6在[1,3]上的最小值为6，所以只需m＜6即可．x－x＋112377x－2＋46因为m≠0，所以m的取值范围是(－∞，0)∪0，7.[方法技巧]解决一元二次不等式的恒成立问题常转变成求二次函数的最值或用分别参数法求最值．角度三：形如f(x)≥0(≤0)(参数∈[a，])确立x的范围mb3．对随意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m≥0恒成立，求x的取值范围．解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，g－1＝x－2×－1＋x2－4x＋4>0，∴1＝x－2＋x2－4x＋4>0，g解得x<1或x>3.故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对随意的∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．m[方法技巧]解决恒成立问题必定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数互换地点，结构以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．1．(2014·全国卷Ⅰ)已知会合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝()A．[－2，－1]B．[－1,2)C．[－1,1]D．[1,2)分析：选A＝{x|x≤－1或x≥3}，故∩＝[－2，－1]．AAB2．(2014·全国卷Ⅱ)设会合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝()A．{1}B．{2}C．{0,1}D．{1,2}分析：选DN＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．3．(2012·全国卷)已知会合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()A．ABB．BAC．A＝BD．A∩B＝?分析：选BA＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，＝{x|－1<<1}，所以.BxBA一、选择题1．(2018·唐山一模)以下命题中，正确的选项是()A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若ac>bc，则a>b11C．若a<b<0，则|a|＋b<0D．若a>b，c>d，则a－c>b－d分析：选C取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c<0时，ac>bc?a<b，11<0，可知<<0，所以－>－>0，故－>||，即||＋<0，故C正确；取∴B错误；由<abbababaaba＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误．2．(2017·山东高考)若>>0，且ab＝1，则以下不等式成立的是()ab1bA．a＋<a<log2(a＋b)b2b1B.2a<log2(a＋b)<a＋b1bC．a＋b<log2(a＋b)<2abD．log2(a＋b)<a＋b<2a1分析：选B依据题意，令a＝2，b＝2进行考证，易知1b1，log(＋)＝log5＋＝4，2＝>1，22a1b所以a＋b>log2(a＋b)>2a.3．已知会合M＝{x|x2－4x>0}，N＝{x|m<x<8}，若M∩N＝{x|6<x<n}，则m＋n＝()A．10B．12C．14D．16分析：选C∵M＝{x|x2－4x>0}＝{x|x>4或x<0}，N＝{x|m<x<8}，因为M∩N＝{x|6<x<n}，∴m＝6，n＝8，∴m＋n＝14.24．(2018·重庆检测)不等式x＋1<1的解集是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1,1)221－x(x＋1)(x－1)>0，分析：选A∵x＋1<1，∴x＋1－1<0，即x＋1<0，该不等式可化为x<－1或x>1.5．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图象为()分析：选B由根与系数的关系得1c＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2，∴f(x)aa＝－x2－x＋2(经查验知知足题意)，∴f(－x)＝－x2＋x＋2，其图象张口向下，对称轴为x1B.＝，联合图象知选2236．(2018·合肥一模)若不等式2kx＋kx－8<0对一确实数x都成立，则k的取值范围为()A．(－3,0)B．[－3,0)C．[－3,0]D．(－3,0]23分析：选D当k＝0时，明显成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx＋kx－8<0对一确实数x都成立，<0，则＝2－4×2×－3<0，解得－3<k<0.kk8综上，知足不等式232kx＋kx－<0对一确实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．87．若不等式x2－(＋1)x＋≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是()aaA．[－4,1]B．[－4,3]C．[1,3]D．[－1,3]分析：选B原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时切合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只需a≤3即可，即1<a≤3.综上可得－4≤a≤3.8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每日可销售100件，现准备采用提升售价来增添收益．已知这种商品每件销售价提升1元，销售量就要减少10件．那么要保证每日所赚的收益在320元以上，销售价每件应定为()A．12元B．16元C．12元到16元之间D．10元到14元之间分析：选C设销售价定为每件x元，收益为y，则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．二、填空题9．(2018·武汉一模)已知存在实数a知足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是__________．分析：∵ab2>a>ab，∴a≠0，当a>0时，b2>1>b，b2>1，即解得b<－1；b<1，当a<0时，b2<1<b，b2<1，即此式无解．b>1，综上可得实数b的取值范围为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)10．(2018·河南六市一联)不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．分析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，∴＝a2－4×4>0，即a2>16.a>4或a<－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)x2＋ax，x≥0，11．已知函数f(x)＝2－3，x<0为奇函数，则不等式f(x)<4的解集为________．bxx分析：当x>0时，－x<0，即f(－x)＝bx2＋3x，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即－bx2－3xx2axa＝－3，＝－1，所以f()＝x2－3x，x≥0，x＝＋，可得－x2－3x，x<0.当≥0bx时，由x2－3x<4，解得0≤x<4；当x<0时，由－x2－3x<4，解得x<0，所以不等式f(x)<4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)12．对一确实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．11分析：当x＝0时，不等式恒成立，当x≠0时，将问题转变成－a≤|x|＋|x|，由|x|＋|x|≥2，故－a≤2，即a≥－2.所以实数a的取值范围为[－2，＋∞)．答案：[－2，＋∞)三、解答题13．已知a∈R，解对于x的方程ax2－(a＋2)x＋2＜0.解：原不等式等价于(ax－2)(x－1)＜0.当a＝0时，原不等式为－(x－1)＜0，解得x＞1.即原不等式的解集为(1，＋∞)．2(2)若a＞0，则原不等式可化为x－a(x－1)＜0，2对应方程的根为x＝1或x＝.a当2＞1，即0＜a＜2时，不等式的解为1＜x＜2；aa当a＝2时，不等式的解集为?；当2＜1，即＞2时，不等式的解为2＜x＜1.aaa2(3)若a＜0，则原不等式可化为x－a(x－1)＞0，22所以a＜1，所以不等式的解为x＞1或x＜a.综上，当a＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)．当0＜＜2时，不等式的解集为21，.aa当a＝2时，不等式的解集为?.当a＞2时，不等式的解集为2，1.a当a＜0时，不等式的解集为2－∞，a∪(1，＋∞)．14．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．今年度为适应市场需求，计划提升产质量量，适量增添投入成本．若每辆车投入成本增添的比率为x(0<x<1)，则出厂价相应地提升比率为0.75x，同时估计年销售量增添的比率为0.6x，已知年收益＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出今年度估计的年收益y与投入成本增添的比率x的关系式；(2)为使今年度的年收益比上年度有所增添，则投入成本增添的比率x应在什么范围内？解：(1)由题意得，y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－6000x2＋2000x＋20000(0<x<1)．要保证今年度的年收益比上年度有所增添，y－12－10×10000>0，一定有0<x<1，即－6000x2＋2000x>0，解得0<x<1，0<x<1，31所以投入成本增添的比率应在0，3范围内．2kx15．已知函数f(x)＝x2＋6k(k＞0)．(1)若f(x)＞m的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求不等式2＞0的解集；5mx＋kx＋3若存在x＞3，使得f(x)＞1成立，求k的取值范围．2kx2解：(1)由不等式f(x)＞m?x2＋6k＞m?mx－2kx＋6km＜0，∵不等式mx2－2kx＋6km＜0的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，∴－3，－2是方程mx2－2kx＋6km＝0的根，2k＝－5，k＝1，22∴m解得2－x－3＜0?－1＜x＜，故有5mx＋kx＋3＞0?2x6k＝6，m＝－532，∴不等式52＋kx＋3＞0的解集为3mx－1，.2(2)()＞1?2kx＞1?2－2＋6＜0?(2－6)＞2f2xkkx.xx＋6kkxxx2存在x＞3，使得f(x)＞1成立，即存在x＞3，使得k＞2x－6成立．令()＝x2，∈(3，＋∞)，则k＞()min.gx2x－6xgxt＋62令2x－6＝t，则x＝t＋6，则t∈(0，＋∞)，y＝2t9t92t＝4＋t＋3≥24·t＋3＝6，t9，即t＝6时等号成立．当且仅当4＝t当t＝6时，x＝6，∴g(x)min＝g(6)＝6，故k的取值范围为(6，＋∞)．1．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，若对于x的不等式f(x)＞c－1的解集为(m－4，m＋1)，则实数c的值为________．分析：∵函数f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，∴＝a2＋4b＝0，a2∴b＝－4.∵对于x的不等式f(x)＞c－1的解集为(m－4，m＋1)，∴方程f(x)＝c－1的两根分别为m－4，m＋1，－a2即－x2＋ax＝－1的两根分别为－4，＋1，4cmm2a2a∵－x＋ax－4＝c－1的根为x＝2±1－c，∴两根之差为：21－c＝(m＋1)－(m－4)，21解得c＝－4.21答案：－4xy＋2z＝1，2．已知实数x，y，z知足x2＋y2＋z2＝5，则xyz的最小值为________．1－xy分析：由xy＋2z＝1，可得z＝，21－xy21－xy2则22＋xy|＋.5＝x＋y2≥2|4当xy≥0时，不等式可化为22＋6－19≤0；xyxy当xy<0时，不等式可化为x2y2－10xy－19≤0.由x2y2＋6xy－19≤0，解得0≤xy≤－3＋27.由x2y2－10xy－19≤0，解得5－211≤xy<0，所以5－211≤xy≤－3＋27.则xyz＝xy·1－xy＝－1xy－12＋1，2228依据二次函数的单一性可适当xy＝5－211时，xyz获得最小值为911－32.答案：911－32高考研究课

(二)简单的线性规划问题[全国卷

5年命题剖析

]考点线性规划求最值

考察频度5年10考

考察角度求最大值、最小值线性规划实质应用5年1考实质应用(整点)二元一次不等式(组)表示平面地区x＋y≥2，[典例](1)不等式组2x－y≤4，x－y≥0A．32C．6x＋y－1≤0，已知不等式组x－y＋1≥0，y≥0

所围成的平面地区的面积为()B．62D．3表示的平面地区被直线2x＋y－k＝0均分红面积相等的两部分，则实数k的值为________．[分析](1)如图，不等式组所围成的平面地区为△ABC，此中A(2,0)，B(4,4)，C(1,1)，所求平面地区的面积为1＝3.ABOACOS△－S△＝2(2×4－2×1)(2)画出可行域如图中暗影部分所示，其面积为12x＋y－k×1×(1＋1)＝1，可知直线2＝0与A，B的坐标分别为k－1k＋2k2x＋y－k＝0把地区界限的交点，及，0，要使直线3321kk＋21k＝6－2.地区分红面积相等的两部分，必有×＋1×＝，解得2232[答案](1)D(2)6－2[方法技巧]确立二元一次不等式表示平面地区的方法与技巧直线即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直定界限画成实线特别即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特别点(x0，y0)作为测试点代入点定不等式查验，若知足不等式，则表示的就是包含该点的这一侧，不然就域表示直线的另一侧．常选(0,0)，(1,0)或(0,1)点[即时操练]x≥0，1．在平面直角坐标系中，

不等式组

x＋y≤2，

所表示的平面地区的面积为

(

)x≤yA．1

B．2C．4

D．8分析：选

A

作出不等式组所表示的平面地区如图中暗影部分所示，

A(1,1)

，B(0,2)

，则平面地区的面积为＝

12×2×1＝1.x>0，2．不等式组y>0，所表示的平面地区内的整点个数为()2x＋y<6A．2B．3C．4D．5分析：选C由不等式2x＋y<6得y<6－2x，且x>0，y>0，则当x＝1时，0<y<4，则y＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x＝2时，0<y<2，则y＝1，此时整点有(2,1)；当x＝3时，y无解．故平面地区内的整点个数为4.y≥0，3．在直角坐标系中，若不等式组≤2，表示一个三角形地区，则实yxy≤kx－1－1，数k的取值范围是

(

)A．(－∞，－

1)B．(0，＋∞)C．(0,2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)分析：选A直线y＝k(x－1)－1过定点A(1，－1)．当这条直线的斜率为负值时，如图1所示，若不等式组表示一个三角形地区，则该直线的斜率

k∈(－∞，－

1)；当这条直线的斜率为正当时，如图2所示，y≤k(x－1)－1所表示的地区是直线右下方的半平面，这个地区和此外两个半平面的交集是一个无界地区，此k的取值范围是(－∞，－1)．

y＝k(x－1)－1及其不可以构成三角形．因目标函数最值的求法及应用线性规划问题是高考的要点，而线性规划问题拥有代数和几何的两重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、分析几何等问题交错浸透，自然地交融在一同，使数学识题的解答变得更为新奇新奇.,常有的命题角度有：求线性目标函数的最值；求非线性目标函数的最值；求线性规划中的参数值或范围；线性规划的实质应用.角度一：求线性目标函数的最值2x＋3y－3≤0，．(2017·全国卷Ⅱ)设x，y知足拘束条件2x－3y＋3≥0，则z＝2x＋y的最小1y＋3≥0，值是()A．－15B．－9C．1D．9分析：选A法一：作出不等式组表示的可行域如图中暗影部分所示．易求得可行域的极点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z获得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15.法二：易求可行域极点A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z的值挨次为1，－15,9，故最小值为－15.角度二：非线性目标函数的最值3x＋y＋3≥0，2．(2018·太原一模)已知实数x，y知足拘束条件2x－y＋2≤0，则z＝x2＋y2x＋2y－4≤0，的取值范围为()A．[1,13]B．[1,4]44C.5，13D.5，4分析：选C画出不等式组表示的平面地区，如图中暗影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值为点O到直线：2x－＋2＝0的距离的平方，所以zmin＝22＝4，最大值为点BCy55O与点A(－2,3)的距离的平方，zmax＝|OA|2＝(－2)2＋32＝13.2x－y－1≥0，2x－y的最大值为．假如实数x，y知足2x＋y－4≤0，则z＝________．3xy－1≥0，分析：作出不等式组对应的平面地区如图中暗影部分所示，2x－yyz＝x＝2－x.y设k＝x，则z＝2－k，的几何意义是地区内的点到原点的斜率，要求z＝2－k的最大值，即求k的最小值，由图象知OC的斜率最小，－1＝0，3由y得x＝2，即C3，1，2x＋y－4＝0，y＝1，21224则k＝3＝3，所以zmax＝2－3＝3.24答案：3角度三：求线性规划中参数值或范围x＋2y－5≥0，4．已知实数x，y知足x－3＋5≥0，若目标函数17倍与yz＝3x＋y的最小值的kx－y－5k≤0，z2＝x＋7y的最大值相等，则实数k的值为()A．2B．1C．－1D．－2分析：选A作出不等式组所表示的可行域如图中暗影部分所示，由图知，当z1＝3x＋y过点A时取x＋2y－5＝0，x＝1，即(1,2)，所以z1＝3xy5，得最小值，由解得＋的最小值为x－3y＋5＝0，y＝2，A故z2＝x＋7y的最大值为35，由图知z2＝x＋7y过点B时获得最大值．由x＋7y＝35，x－3＋5＝0，yx＝7，解得代入kx－y－5k＝0，得k＝2.y＝4，x＋y≥1，．·汉中质检)若x，y知足拘束条件x－y≥－1，且目标函数z＝ax＋2y5(20182x－y≤2，仅在点(1,0)处获得最小值，则a的取值范围是()A．[－4,2]B．(－4,2)C．[－4,1]D．(－4,1)分析：选

B

作出不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示，直线

z＝ax＋2y的斜率为

ka

a＝－2，从图中能够看出，当－

1＜－2＜2，即－4＜a＜2

时，目标函数仅在点

(1,0)

处获得最小值．角度四：线性规划的实质应用6．(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混淆肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数以下表所示：原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的收益为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的收益为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．用x，y列出知足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面地区；问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的收益？并求出此最大收益．解：4x＋5y≤200，8x＋5y≤360，(1)由已知，x，y知足的数学关系式为3x＋10y≤300，x≥0，y≥0.该二元一次不等式组所表示的平面地区为图①中的暗影部分．(2)设收益为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.考虑

z＝2x＋3y，将它变形为

2zy＝－3x＋3，它的图象是斜率为－

23，随

z变化的一族平z行直线，

3为直线在zy轴上的截距，当3取最大值时，z的值最大．依据x，y知足的拘束条件，由图②可知，当直线z＝2＋3y经过可行域上的点时，截距z最大，即z最大．xM34x＋5y＝200，的坐标为(20,24)解方程组3＋10得点，y＝300，Mx所以zmax＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时收益最大，且最大收益为112万元．[方法技巧]1．求目标函数的最值3步骤作图——画出拘束条件所确立的平面地区和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；平移——将l平行挪动，以确立最优解的对应点的地点；求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．2．常有的3类目标函数(1)截距型：形如z＝ax＋by.az求这种目标函数的最值常将函数

z＝ax＋by转变成直线的斜截式：

y＝－bx＋b，经过求z直线的截距b的最值间接求出z的最值．距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.y－b斜率型：形如z＝x－a.3．解答线性规划实质问题的3步骤依据题意设出变量，找出拘束条件和目标函数；正确作出可行域，求出最优解；将求解出来的结论反应到实质问题中间，设计最正确方案．[提示]注意转变的等价性及几何意义．x＋y≥1，1．(2014·全国卷Ⅰ)不等式组的解集记为D.有下边四个命题：x－2y≤4p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2，p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1.此中真命题是()A．p2，p3

B．p1，p4C．p1，p2

D．p1，p3分析：选

C画出可行域如图中暗影部分所示，由图可知，当目标函数

z＝x＋2y

经过可行域内的点

A(2，－1)时，获得最小值

0，故

x＋2y≥0，所以

p1，p2是真命题，选

C.x＋2y≤1，．·全国卷Ⅰ)设，y知足拘束条件2x＋y≥－1，则z＝3x－2y的最小值2(2017xx－y≤0，为________．分析：x＋2y≤1，画出不等式组2x＋y≥－1，x－y≤03z所表示的可行域如图中暗影部分所示，由可行域知，当直线y＝2x－2过点A时，在yz最小，由x＋2y＝1，x＝－1，轴上的截距最大，此时解得y＝1.2x＋y＝－1，∴zmin＝－5.答案：－5x－y≥0，．·全国卷Ⅲ)若，y知足拘束条件x＋y－2≤0，则z＝3x－4y的最小值3(2017xy≥0，为________．分析：作出拘束条件表示的可行域如图中暗影部分所示，作出直线

l：3x－4y＝0，平移直线

l

，当直线

z＝3x－4y经过点

A(1,1)

时，z获得最小值，最小值为

3－4＝－1.答案：－1x－y＋1≥0，4．(2016·全国卷Ⅲ)若x，y知足拘束条件x－2≤0，则z＝x＋y的最大值yx＋2y－2≤0，为________．分析：作出不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示．平移直线x＋y＝0，当直线经过A点时，z获得最大值，x－2＝0，113由x＋2y－2＝0得A1，2，zmax＝1＋2＝2.3答案：2x－1≥0，则y5．(2015·全国卷Ⅰ)若x，y知足拘束条件x－y≤0，的最大值为x＋y－4≤0，x________．y分析：画出可行域如图暗影部分所示，∵x表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，y∴点(x，y)在点A处时x最大．由

x＝1，x＋y－4＝0，

得

x＝1，y＝3.A(1,3)．yx的最大值为3.答案：36．(2016·全国卷Ⅰ

)某高科技公司生产产品

A和产品

B需要甲、乙两种新式资料．生产一件产品

A需要甲资料

1.5kg

，乙资料

1kg

，用

5个工时；生产一件产品

B需要甲资料0.5kg，乙资料0.3kg，用

3个工时．生产一件产品

A的收益为

2100元，生产一件产品

B的收益为

900元．该公司现有甲资料

150kg

，乙资料

90kg

，则在不超出

600个工时的条件下，生产产品

A、产品

B的收益之和的最大值为

________元．分析：设生产

A产品

x件，B产品

y件，由已知可得拘束条件为1.5x＋0.5y≤150，

3x＋y≤300，x＋0.3

y≤90，

10x＋3y≤900，即5x＋3y≤600，5x＋3y≤600，x∈N，y∈N.x∈N，y∈N.目标函数为z＝2100x＋900y，由拘束条件作出不等式组表示的可行域如图中暗影部分．作直线2100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0，当直线经过点M时，z获得最大值，联立10x＋3y＝900，解得M(60,100)．5x＋3y＝600，则z＝2100×60＋900×100＝216000(元)．max答案：216000一、选择题x＋y≥1，1O为坐标原点，实数x，y知足条件x－y≥－1，在可行域内任取一点P(x，．若2－y≤2，xy)，则|OP|的最小值为()A．1B.323C.2D.2分析：选C作出不等式组所表示的平面地区如图中暗影部分所示，可知|OP|的最小值为点O到直线x＋y＝1的距离，所以|OP|的最小值为22.x－y＋3≤0，．·山东高考)已知，知足拘束条件3x＋y＋5≤0，则z＝x＋2y的最大2(2017xy＋3≥0，x值是()A．0B．2C．5D．6xz分析：选C作出知足拘束条件的可行域如图中暗影部分所示，将直线y＝－2＋2进行3x＋y＋5＝0，x＝－3，即A(－平移，明显当该直线过点A时z获得最大值，由解得y＝4，x＋3＝0，3,4)，所以z＝－3＋8＝5.max2－y≤0，x3．已知x，y知足x－3y＋5≥0，则z＝8－x1y的最小值为()x≥0，·2y≥0，32A．1B.411C.16D.32分析：选D不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示，而z＝8－x·1y＝2－3x－y，2欲使z最小，只需使－3－y最小即可．由图知当x＝1，＝2时，－3－y的值最小，且－xyx3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为1.32x≥0，．(2017·浙江高考)若x，y知足拘束条件x＋y－3≥0，则z＝x＋2y的取值范4x－2≤0，y围是()A．[0,6]B．[0,4]C．[6，＋∞)D．[4，＋∞)分析：1选

D

作出不等式组所表示的平面地区如图中暗影部分所示，由

z＝x＋2y，得

y＝－2xz＋，2z1z1zz∴2是直线y＝－2x＋2在y轴上的截距，依据图形知，当直线y＝－2x＋2过A点时，2取得最小值．由x－2y＝0，得x＝2，y＝1，即A(2,1)，此时，z＝4，∴z＝x＋y的取x＋y－3＝0，值范围是[4，＋∞)．x＋y≤1，5表示的平面地区为My＝kx－3k与平面区．已知不等式组x－y≥－1，，若直线y≥0域M有公共点，则k的取值范围是()A.－1，0B.－∞，13311C.0，3D.－∞，－3分析：选A画出可行域如图中暗影部分所示，因为直线y＝kx－3k过定点(3,0)，联合图形0－111可知该直线的斜率的最大值为k＝0，最小值为k＝3－0＝－3，所以k的取值范围是－3，0.2x－y－2≤0，y＋16．设变量x，y知足拘束条件x－2y＋2≥0，则＝的取值范围是()x＋y－1≥0，Sx＋1A.1，31，12B.21C.2，2D．[1,2]分析：选C作出可行域为含界限的三角形地区(如图)，y＋1极点分别是A(1,0)，B(0,1)，C(2，2)．S＝x＋1表示可行域内的点与定点P(－1，－1)连线的斜率，则1＝k＝2.2minPAmaxPBx＋y≤4，．·大连期末)已知点P的坐标，知足y≥x，过点P的直线l与圆7(2018(xy)x≥1，C：x2＋y2＝14订交于A，B两点，则|AB|的最小值是()A．26B．4C.6D．2分析：选B依据拘束条件画出可行域，如图中暗影部分所示，设点P到圆心的距离为d，求最短弦长，等价于求到圆心距离d最大的点，即为图中的P点，其坐标为(1,3)，则d1＋32＝10，此时|AB|min＝214－10＝4.8．已知点M(a，b)与点N(0，－1)在直线3x－4y＋5＝0的双侧，给出以下结论：①3a－4b＋5>0；②当a＞0时，a＋b有最小值，无最大值；③a2＋b2＞1；④当a＞0且b＋19∪3，＋∞.≠1时，的取值范围是－∞，－aa－144正确的个数是()A．1B．2C．3D．4分析：选B因为点M(a，b)与点N(0，－1)在直线3x－4y＋5＝0的双侧，所以9(3a－4b＋5)＜0，即3－4b＋5＜0，故①错误；作出可行域(如图中暗影部分，不包含界限)，a当a>0时，由图知，a＋b无最小值，也无最大值，故②错误；3a－4b＋5<0表示的地区是直线3x－4y＋5＝0的左上方，a2＋b2表示暗影部分的点M(a，b)和原点间的距离的平方，则d5b＋1M(a，b)和B(1，－1)连线的斜率，＞32＋－42＝1，故③正确；a－1表示暗影部分的点5由图象得b＋13b＋14＋19B.－1＞k1＝4或a－1＜kAB＝0－1＝－4，故④正确，应选a二、填空题x≤3，．·北京高考)若x，y知足x＋y≥2，则＋的最大值为________．9(2017x2yy≤x，分析：不等式组所表示的可行域如图中暗影部分所示，是以点(1,1)，(3,3)，(3，ABC－1)为极点的三角形及其内部．设z＝x＋2y，当直线z＝x＋2y经过点B时，z获得最大值，所以zmax＝3＋2×3＝9.答案：9x＋y－2≥0，10．(2018·沈阳质监)已知不等式组x－2≤0，表示的平面地区的面积等于3，ax－y＋2≥0则a的值为________．分析：依照不等式组画出可行域如图中暗影部分所示，由图可知其表示的平面地区为△1ABC，所以S＝2×2|AC|＝3，所以|AC|＝3，即C(2,3)，又点C在直线ax－y＋2＝0上，得1a＝2.答案：12x≥0，11．点P(x，y)在不等式组x＋y≤3，表示的平面地区内，若点P(xy)到直线y，y≥x＋1＝kx－1(k>0)的最大距离为22，则实数k＝________.分析：题中的不等式组表示的平面地区是以(0,1)，(0,3)，(1,2)为极点的三角形地区(如图所示)，易得平面地区内的点(0,3)到直线y＝kx－1(k>0)|0×k－3－1|的距离最大，所以k2＋122，又k>0，得k＝1.答案：13x－y－6≤0，12．设x，y知足拘束条件x－y＋2≥0，若目标函数z＝＋by(a＞，＞0)的ax0bx≥0，y≥0，最大值为10，则a2＋b2的最小值为________．分析：作出不等式组所表示的平面地区如图中暗影部分所示，易知当直线z＝ax＋by过点A(4,6)时，获得最大值10，即2a＋3b＝5，而a2＋b2表示原点(0,0)与直线2a＋3b＝5上的点的距离的平方，明显a2＋2的最小值为原点到直线2＋3＝5的距离的平方，又原点bab52225到直线2a＋3b＝5的距离d＝13，所以a＋b的最小值为13.25答案：13三、解答题13．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次以下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时收视人次长(分钟)(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于许多于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．

600分钟，广告的总播放时间2倍．分别用x，y表示用x，y列出知足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面地区；问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x，y知足的数学关系式为70x＋60y≤600，

7x＋6y≤60，5x＋5y≥30，

x＋y≥6，x≤2y，

即x－2y≤0，x≥0，

x≥0，y≥0，

y≥0，该二元一次不等式组所表示的平面地区为图中的暗影部分中的整数点．设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.12z12考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－5x＋25，这是斜率为－5，随z变化的一族平行zy轴上的截距，当zz的值最大．直线.为直线在获得最大值时，2525又因为x，y知足拘束条件，所以由图可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点Mz时，截距25最大，即z最大．7＋6y＝60，得点M的坐标为(6,3)解方程组．x－2y＝0，所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．14．投资人拟订投资计划时，不单要考虑可能获取的盈余，并且要考虑可能出现的损失，一投资人打算投资甲、乙两项目．依据展望，甲、乙项目可能的最大盈余率分别为50%和40%，可能的最大损失率分别为30%和20%.投资人计划投资本额不超出10万元，要求保证可能的资本损失不超出2.4万元．设甲、乙两个项目投资额分别为x，y万元．写出x，y知足的拘束条件；求可能盈余的最大值(单位：万元)．x＋y≤10，0.3x＋0.2y≤2.4，解：(1)x，y知足拘束条件为x≥0，y≥0，设目标函数z＝0.5x＋0.4y，上述不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示，平移直线l0：0.5x＋0.4y＝0，当经过点M时，z＝0.5x＋0.4y获得最大值．解方程组x＋y＝10，得x＝4，y＝6.此时zmax＝0.5×4＋0.4×6＝4.4(万元)．0.3x＋0.2y＝2.4，x－y－2≤0，．已知x，y知足拘束条件5x－3y－12≥0，当目标函数z＝＋＞，＞1axby(a0by≤3，0)在该拘束条件下获得最小值1时，(a－1)2＋(b－1)2的最小值为()110A.10B.103109C.10D.10分析：选D作出知足拘束条件的可行域如图中暗影部分所示，z把z＝ax＋by(a＞0，b＞0)化为y＝－bx＋b，az由图可知，当直线y＝－bx＋b过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值1，x－y－2＝0，联立5x－3y－12＝0，解得A(3,1)，所以3a＋b＝1，1因为a＞0，b＞0，所以0＜a＜3.22222－129则(a－1)＋(b－1)＝(a－1)＋9a＝10a－2a＋1＝10a10＋10.1229则当a＝10时，(a－1)＋(b－1)获得最小值，最小值为10.x≥0，2．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组y≥0，所确立的平面地区内的x＋y－4≥0动点，M，N是圆x2＋y2＝1的一条直径的两头点，则PM―→·PN―→的最小值为()A．4B．22－1C．42D．7分析：选D因为M，N是圆x2＋y2＝1的一条直径的两头点，所以可设M(a，b)，N(－a，22―→―→22－b)，则a＋b＝1.设P(x，y)，则PM·PN＝(a－x，b－y)·(－a－x，－b－y)＝x－a＋y2－b2＝x2＋y2－1，设z＝x2＋y2，则z的几何意义是地区内的点到原点距离的平方，作出不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示．则原点到直线x＋y－4＝0的距离最小，此|0＋0－4|2―→―→22－1＝8－1＝7.时d＝＝22，则z＝d＝8，则PM·PPN＝x＋y2高考研究课

三

基本不等式[全国卷

5年命题剖析

]考点基本不等式求最值基本不等式的实质应用

考察频度未考察未考察

考察角度利用基本不等式求最值利用基本均值不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，高考对其考察的频次较低，但也要引起重视.,常有的命题角度有：经过配凑法求最值；经过常值代换法求最值；经过消元法求最值.角度一：经过配凑法求最值1．(2018·泉州检测)已知0<<1，则x(3－3)获得最大值时x的值为()xx11A.B.3232C.4D.3x＋1－x23分析：选B∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝4.1当且仅当x＝1－x，即x＝2时，“＝”成立．4x3y2．已知x，y为正实数，则x＋3y＋x的最小值为()510A.3B.33D．3C.2434xx＋34x＋3分析：选D由题意得x>0，y>0，x＋3y＋x＝x＋3y＋x－1≥2x＋3y·x－1＝4－1＝3(当且仅当x＝3y时等号成立)．3．若b>a>1，且3logab＋6log32ba＝11，则a＋－1的最小值为________．b分析：因为b>a>1，所以logb>1.又3logb＋6loga＝3log6＝11，解得logbab＋aablogbaa33222＝3，即a＝b，所以a＋－1＝b＋b－1＝b－1＋－1＋1≥22＋1(当且仅当b＝2＋1时bb32等号成立)，即a＋b－1的最小值为22＋1.答案：22＋1[方法技巧]利用基本(均值)不等式解题必定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指知足等号成立的条件．在利用基本(均值)不等式求最值时，要依据式子的特点灵巧变形，配凑出积、和为常数的形式，而后再利用基本(均值)不等式．角度二：经过常值代换法求最值234．(2017·日照二模)已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，则代数式a＋b的最小值为()A．24B．25C．26D．27分析：选B因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，所以2a＋3b－1＝0，2323(2a＋3)＝4＋9＋6b6a6b6a＝>0，>0，即2＋3＝1，所以＋＝＋＋≥13＋2·ababababbabab6b6a12325，当且仅当a＝b，即a＝b＝5时取等号，所以a＋b的最小值为25.415．已知正数x，y知足x＋y＝1，则x＋2＋y＋1的最小值为________．分析：正数x，y知足x＋y＝1，即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，则4＋1＝1[x＋2＋y＋1]4＋1x＋2y＋1x＋2y＋141x＋24y＋11x＋24y＋119＝45＋y＋1＋x＋2≥45＋2y＋1·x＋2＝4×(5＋4)＝4，29当且仅当x＝2y＝时，获得最小值为.349答案：46．已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy，则x＋y的最小值为________．分析：已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy.1即x＋y＝1.则x＋＝(x＋)16＋1＝16＋1＋16y＋x≥17＋216y·x＝25，当且仅当x＝4y＝yyxyxyxy时等号成立，所以x＋y的最小值为25.答案：25[方法技巧]将条件灵巧变形，利用常数代换法求最值是解决此类问题的常用方法．角度三：经过消元法求最值7．(2018·山西大学附中检测)已知函数f(x)＝|lgx|，>>0，()＝f(b)，则a2＋b2abfaa－b的最小值为________．分析：由函数f(x)＝|lgx|，a>b>0，f(a)＝f(b)，可知a>1>b>0，所以lga＝－lgb，21211a2＋b2a＋a1212b＝a，a－b＝a－a>0，则a－b＝1＝a－a＋1≥22(当且仅当a－a＝1，即aa－aa－aa－a2＋6时，等号成立)．2答案：22[方法技巧]利用给定条件变形，消去此中一元，变成一元变量函数，再配凑后使用基本不等式求最值．[典例]

基本不等式的实质应用某房地产开发公司计划在一楼区内建筑一个长方形公园

ABCD，公园由形状为长方形

A1B1

C1D1

的休闲区和环公园人行道

(暗影部分

)构成．已知休闲区

A1B1C1D1的面积为

40002m，人行道的宽分别为

4m

和

10m(以下图

)．|A1B1|(1)若设休闲区的长和宽的比

|

B1C1|

＝x(x>1)，求公园

ABCD所占面积

S对于

x的函数

S(x)的分析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该怎样设计？[解](1)设休闲区的宽为am，则长为axm，由a2x＝4000，得a＝2010.x则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)a2x＋(8x＋20)a＋1602010＝4000＋(8x＋20)·＋160x＝80102x＋5＋4160(x>1)．x(2)由(1)知，255S(x)＝8010x＋＋4160≥8010×22x×x＋4160＝1600＋4160＝5x760.5当且仅当2x＝，即x＝2.5时，等号成立，x此时a＝40，ax＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区1111应设计为长100m，宽40m.ABCD[方法技巧]利用基本不等式求解实质应用题的方法此种类的题目常常较长，解题时需仔细阅读，从中提炼出实用信息，成立数学模型，转变成数学识题求解．当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不可以使用基本不等式求解，此时可依据变量的范围用对应函数的单一性求解．[即时操练

]1.如图，某城镇为适应旅行家产的需要，欲在一扇形

OAB(此中∠

AOB＝45°，扇形半径为1)的草地上修筑一个三角形人造湖

OMN(此中点

M在

OA上，点

N在

AB或

OB上，∠OMN＝90°)，且沿湖畔OMN修筑休闲走廊，现甲部门需要人造湖的面积最大，乙部门需要人造湖的走廊最长，请你设计出一个方案，则该方案()A．只好知足甲部门，不可以知足乙部门B．只好知足乙部门，不可以知足甲部门C．能够同时知足两个部门D．两个部门都不可以知足分析：选C当点N在AB上时，设＝，＝，则x2＋y2＝1，所以人造湖的面积SOMxMNy＝1≤1·x2＋y2＝1，走廊长l＝1＋x＋y＝1＋x＋y2＝1＋1＋2≤1＋2xy224xy2221＋x＋y＝1＋2，上述两个不等式等号成立的条件均为x＝y＝2，即点N在点B处；当点N在线段OB上时，人造湖的面积、休闲走廊长度的最大值明显也在点B处获得．2．运货卡车以每小时xkm的速度匀速行驶130km，按交通法例限制50≤x≤100(单位