中考数学圆的切线证明综合试题

PAGEPAGE2专题圆的切线证明我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，⌒⌒∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.⌒⌒∵AD是∠BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE， ∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. ∴F在⊙D上. ∴AC与⊙D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例8已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足. ∵AC，BD与⊙O相切， ∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.O∵∠COD=900，O ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5. ∴Rt△AOC∽Rt△BDO. ∴. ∵OA=OB， ∴.又∵∠CAO=∠COD=900，∴△AOC∽△ODC， ∴∠1=∠2. 又∵OA⊥AC，OE⊥CD, ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线.证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F. ∵AC，BD与⊙O相切， ∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD， ∴∠F=∠BDO. 又∵OA=OB， ∴△AOF≌△BOD（AAS） ∴OF=OD. ∵∠COD=900， ∴CF=CD，∠1=∠2. 又∵OA⊥AC，OE⊥CD， ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF. ∵AC与⊙O相切， ∴AC⊥AO. ∵AC∥BD， ∴AO⊥BD. ∵BD与⊙O相切于B， ∴AO的延长线必经过点B. ∴AB是⊙O的直径. ∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF， ∴OF∥AC， ∴∠1=∠COF. ∵∠COD=900，CF=DF， ∴. ∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2. ∵OA⊥AC，OE⊥CD， ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.以下是武汉市20072010中考题汇编：ABDCEFGO(第22题图)（2007中考）22．(本题8分)如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，ABDCEFGO(第22题图)(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)求CF:CE的值。（2008中考）22．（本题8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．⑴求证：DE是⊙O的切线；⑵若，求的值。FFEDCBAO（2009中考）22．（本题满分8分）CEBAOFD如图，中，，以为直径作交边于点，是边的中点，连接．CEBAO