吉林省长春市市第一中学2022年高二数学文联考试题含解析

吉林省长春市市第一中学2022年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若框图所给程序运行的结果为，那么判断框中应填入的关于的判断条件是（

）.A.

B.

C.

D.参考答案：D2.已知函数，且，则a=（

）A.－1 B.2 C.1 D.0参考答案：D【分析】求出函数的导数，结合条件，可求出实数的值。【详解】因为，所以，解得，故选：D。【点睛】本题考查导数的计算，考查导数的运算法则以及基本初等函数的导数，考查运算求解能力，属于基础题。3.在直角坐标系中，直线的倾斜角是---------------------------（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.设随机变量，且，，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A因为随机变量,,解得，选A.

5.如图，椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为(

)A．8B．2C．4D．参考答案：C6.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为A. B. C. D.参考答案：A分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C，由题意可知，可能的比赛为：Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共有9种，其中田忌可以获胜的事件为：Ba，Ca,Cb，共有3种，则田忌马获胜的概率为.本题选择A选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.7.已知双曲线的右焦点为，是双曲线C上的点，，连接并延长交双曲线C与点P，连接，若是以为顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的渐近线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.已知为全集,,,则

是A.

B.

C.

D.参考答案：B9.已知（1+i）?z=﹣i，那么复数对应的点位于复平面内的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用两个复数代数形式的除法法则及虚数单位的幂运算性质，化简复数到最简形式，考查复数对应点所在的象限．【解答】解：∵（1+i）?z=﹣i，∴z====﹣﹣，∴复数=﹣+，故复数在复平面对应的点为（﹣，），复数对应的点位于复平面内的第二象限，故选B．10.椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为4，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值为（）A． B． C． D．参考答案：D【分析】求出椭圆的焦点坐标，结合椭圆的定义，通过三角形的面积转化求解即可．【解答】解：椭圆：，a=5，b=4，∴c=3，左、右焦点F1（﹣3，0）、F2（3，0），△ABF2的内切圆面积为π，则内切圆的半径为r=，而△ABF2的面积=△AF1F2的面积+△BF1F2的面积=×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|=×（|y1|+|y2|）×|F1F2|=3|y2﹣y1|（A、B在x轴的上下两侧）又△ABF2的面积=×r（|AB|+|BF2|+|F2A|）=（2a+2a）=a=5．所以3|y2﹣y1|=5，|y2﹣y1|=．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.阅读右侧的程序框图,输出的结果的值为______.参考答案：12.已知关于某设备的使用年限与所支出的维修费用（万元）有如下的统计资料：使用年限23456维修费用2.23.85.56.57.0若与为线性相关关系，其线性回归方程为所表示的直线一定经过定点_______________.参考答案：(4,5)13.在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为，塔基的俯角为，那么这座塔吊的高是

参考答案：米.14.已知抛物线y2=4x与经过该抛物线焦点的直线l在第一象限的交点为A，A在y轴和准线上的投影分别为点B，C，=2，则直线l的斜率为．参考答案：2【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用=2，求出A的坐标，利用斜率公式求出直线l的斜率．【解答】解：设A的横坐标为x，则∵=2，BC=1，∴AB=2，∴A（2，2），∵F（1，0），∴直线l的斜率为=2，故答案为：2．15.数据5，7，7，8，10，11的标准差是

参考答案：216.已知

.参考答案：17.若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形内角和定理可求B，进而利用正弦定理即可解得BC的值．【解答】解：∵AC=，A=45°，C=75°，B=180°﹣A﹣C=60°，∴由正弦定理，可得：BC===．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．参考答案：考点： 圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．专题： 综合题．分析： （1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．解答： 解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，解得：a2=3，b=1，∴椭圆的方程为．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，设C（x1，y1），D（x2，y2），则而y1?y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），当且仅当CE⊥DE时，则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③将②代入③整理得k=，经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．点评： 本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．19.已知抛物线的焦点为直线与x轴的交点，O为坐标原点。（1）求抛物线的方程；（2）若过点A(2,0)的直线l与抛物线相交于B、C两点，求证：参考答案：(1)(2)见证明【分析】先计算出抛物线的方程.再为了方便计算，再设：和抛物线方程联立，进而用韦达定理来证明.【详解】（1）与轴的交点是，故.所以抛物线的方程是.（2）设过点的直线方程为：，当不存在时，直线与抛物线只有一个交点，故舍去。联立，消去得，恒成立设，，则，.有，，则，所以，所以.【点睛】此题是圆锥曲线和向量的综合题，用常规方法联立直线和曲线方程，用韦达定理证明结论，属于一般难度题.20.已知函数f（x）=cos（﹣x）+sin（+x）（x∈R）．（1）求函数y=f（x）的最大值，并指出此时x的值；（2）若α∈（﹣，）且f（α）=1，求f（2α）的值．参考答案：（1）利用诱导公式、两角和差的正弦公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值，求得函数y=f（x）的最大值，并指出此时x的值．（2）由条件求得α的值，结合函数的解析式从而求得f（2α）的值．解：（1）函数f（x）=cos（﹣x）+sin（+x）=sinx+cosx=2sin（x+），故当x+=2kπ+时，函数f（x）取得最大值为2，此时，x=2kπ+，k∈Z．（2）若α∈（﹣，）且f（α）=2sin（α+）=1，即sin（α+）=，∴α=﹣，∴f（2α）=2sin（﹣+）=0．21.已知椭圆的长轴长为4，直线被椭圆C截得的线段长为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆C于M，N两点（点M，N不同于椭圆C的右顶点），证明：直线MN过定点.参考答案：（1）根据题意，设直线与题意交于两点.不妨设点在第一象限，又长为，∴，∴，可得，又，∴，故题意的标准方程为，（2）显然直线的斜率存在且不为0，设，由得，∴，同理可得当时，，所以直线的方程为整理得，所以直线当时，直线的方程为，直线也过点所以直线过定点.22.（12分）如图四边形ABCD为边长为2的菱形，G为AC与BD交点，平面BED⊥平面ABCD，BE=2，AE=2．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若∠ABC=120°，求直线EG与平面EDC所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由AC⊥DB，平面BED⊥平面ABCD，得AC⊥平面BED，即AC⊥BE．又AE2=AB2+BE2，得BE⊥AB，即可得BE⊥平面ABCD．（Ⅱ）由（Ⅰ）得BE⊥平面ABCD，故以B为原点，建立空间直角坐标系，则E（0，0，2），D（1，，0），G（，，0），C（2，0，0），利用向量法求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥DB又因为平面BED⊥平面ABCD，平面BED∩平面ABCD=DB，AC?平面ABCD．∴AC⊥平面BED，即AC⊥BE．又BE=2，AE=2，AB=2，∴AE2=AB2+