第三章 傅里叶变换

第三章傅里叶变换第1页，课件共120页，创作于2023年2月（一）傅里叶分析发展的历史§3.1

引言◆

1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier)提出“每一个周期函数都可以表示成三角函数之和”，奠定了傅里叶级数的理论基础。

◆

1829年，法国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet）以严密的方式给出傅里叶级数与积分的存在条件的完整证明。一个周期信号只有在满足狄利克雷条件的前提下，才可以展开为傅里叶级数。第2页，课件共120页，创作于2023年2月（二）本章重点建立信号频谱的概念掌握周期信号的Ｆourier级数分解方法；掌握周期信号和非周期信号、抽样信号的Ｆourier变换；掌握Ｆourier变换的方法和性质，了解信号的时域特性和频域特性之间的关系。掌握抽样定理。第3页，课件共120页，创作于2023年2月（一）三角形式的傅里叶级数§3.2周期信号的傅里叶级数分析若周期信号满足狄利克雷条件，则可展开为傅里叶级数。1.傅里叶级数表达式直流分量：余弦分量的幅度：正弦分量的幅度：基波角频率，为的周期。第4页，课件共120页，创作于2023年2月例：周期矩形脉冲第5页，课件共120页，创作于2023年2月2.周期信号的频谱其中～关系曲线，称为信号的

相位频谱。～关系曲线，称为信号的幅度频谱。都是的函数。第6页，课件共120页，创作于2023年2月周期矩形脉冲对比0包络0第7页，课件共120页，创作于2023年2月（1）离散性——频谱是离散的而不是连续的，这种频谱称为离散频谱。（2）谐波性——谱线出现在基波频率的整数倍上。（3）收敛性——幅度谱反映了信号f(t)中各频率分量的大小，其谐波幅度随着而逐渐衰减到零。信号的周期T1决定着其离散频谱谱线的间隔大小。T1

越大，越小，谱线越密。3.周期信号频谱的特点例2：已知试画出其幅度谱和相位谱。第8页，课件共120页，创作于2023年2月（二）指数形式的傅里叶级数欧拉公式1.由三角形式的傅里叶级数导出指数形式的傅里叶级数记n的偶函数n的奇函数则第9页，课件共120页，创作于2023年2月例：周期矩形脉冲第10页，课件共120页，创作于2023年2月2.两种形式的傅里叶级数系数之间的关系（1）（2）是n的偶函数是n的奇函数第11页，课件共120页，创作于2023年2月3.指数形式的信号频谱相位频谱幅度频谱是n的偶函数是n的奇函数双边频谱例：周期矩形脉冲实数第12页，课件共120页，创作于2023年2月0双边频谱单边频谱负频率的出现只是数学运算的结果，并没有任何物理意义。000第13页，课件共120页，创作于2023年2月当Fn是实函数时，可用Fn的正、负表示相位的0、π，幅度谱和相位谱合一。00当周期信号f(t)为偶函数时,,为实函数。0第14页，课件共120页，创作于2023年2月当周期信号f(t)为偶函数时，单边谱的另一种画法。000第15页，课件共120页，创作于2023年2月4.周期信号的平均功率和傅里叶系数间的关系是一个正交函数集帕塞瓦尔定理周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；也就是说，时域和频域的能量是守恒的.第16页，课件共120页，创作于2023年2月0112-1-2作业：周期信号如图所示。（1）给出的三角形式傅里叶级数；（2）利用（1）的结果和，求下列无穷级数之和；（3）求出的平均功率；（4）利用（3）的结果，求下列无穷级数之和；第17页，课件共120页，创作于2023年2月四种对称形式：偶函数：奇函数：奇谐函数：偶谐函数：（三）函数的对称性与傅里叶系数的关系第18页，课件共120页，创作于2023年2月三角级数只含有直流和余弦项，不含有正弦项。为的实偶函数1.偶函数:信号波形相对于纵轴是对称的第19页，课件共120页，创作于2023年2月例：第20页，课件共120页，创作于2023年2月2.奇函数三角级数只含有正弦项，不含有直流和余弦项。为的虚奇函数若在奇函数上加上直流成分，它不再是奇函数，但它的傅里叶级数中仍然不含余弦项第21页，课件共120页，创作于2023年2月例：第22页，课件共120页，创作于2023年2月3.奇谐函数（1）（2）奇谐函数的傅里叶级数中，只含有奇次项，不含有直流和偶次项。若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：第23页，课件共120页，创作于2023年2月(1式)

将

代入第一个积分中，有由系数计算公式得：第24页，课件共120页，创作于2023年2月代入式(1)计算an的公式中

n为偶n为奇

同理可得

n为偶n为奇第25页，课件共120页，创作于2023年2月奇谐函数只含有正、余弦波的奇次项，不含偶次项。第26页，课件共120页，创作于2023年2月例1：0奇函数、奇谐函数，傅里叶级数只有奇次正弦项。第27页，课件共120页，创作于2023年2月例2：偶函数、奇谐函数，傅里叶级数只有奇次余弦项。00第28页，课件共120页，创作于2023年2月波形的实际周期是T1=T/2

，即

。最典型的偶谐函数是如图1所示的全波整流波形。因为仍以T为周期展开，所以其基波频率分量应是图1偶谐函数举例

4.偶谐函数:波形沿时间轴平移半个周期与原波形重合。第29页，课件共120页，创作于2023年2月

因为积分区间是从-T/2

~T/2

，而-T/2

~0与0~T/2

波形相同，所以有

n为偶n为奇

n为偶n为奇

偶谐函数以周期T展开后只含有直流和基波ω0=2π/T的偶次正、余弦分量，不含奇次项。

第30页，课件共120页，创作于2023年2月偶谐函数例：周期全波余弦信号偶谐函数的傅里叶级数中，只含有直流和偶次项，不含有奇次项。第31页，课件共120页，创作于2023年2月5.f(t)有两种对称条件时的系数

当波形同时具备两个对称条件时，下面不加证明给出其傅氏系数计算公式。（1）奇函数奇谐函数因为奇函数an=0，只有正弦项，而奇谐函数的b2n=0，所以n为奇数02TT2A2At-傅里叶展开式中只含奇次谐波的正弦分量第32页，课件共120页，创作于2023年2月（2）奇函数偶谐函数因为奇函数an=0，只有正弦项，而偶谐函数的b2n+1=0，所以

n为偶数

（3）偶函数奇谐函数

因为偶函数bn=0，只有余弦项，而奇谐函数的a2n=0，所以

n为奇数第33页，课件共120页，创作于2023年2月（4）偶函数偶谐函数因为偶函数，所以bn=0，傅里叶级数展开中只有余弦项，而偶谐函数的a2n+1=0，所以

第34页，课件共120页，创作于2023年2月6、坐标轴的影响有时所给波形虽不满足对称条件，但将横轴上、下移动，可使得“隐藏”的对称条件显现。纵轴的左右移动，不会改变f(t)的谐波分量cn，但相位φn的改变，会使正弦与余弦分量变化。在分析给定周期信号时，应先判断是否存在可简化运算的对称条件，包括“隐藏”的对称条件。若有对称条件，由以上讨论可知傅氏级数中的一些项必为零，要确定余下的非零系数，只需对半个甚至1/4个周期积分即可。在允许的情况下，可以移动函数的坐标使波形具有某种对称性，以简化运算。第35页，课件共120页，创作于2023年2月具有“隐蔽”对称条件的实例P172习题3-7注：要特别注意一些信号隐蔽的对称关系：有些信号加、减直流成分后，会有新的对称关系第36页，课件共120页，创作于2023年2月例：定性判断各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率成分f(t)t3-12f(t)t403移动坐标轴偶对称傅里叶系数：直流分量余弦分量第37页，课件共120页，创作于2023年2月E/20f1(t)t平移轴后为奇对称函数傅里叶系数：正弦分量E/20f1(t)t平移轴后为奇对称函数傅里叶系数：正弦分量直流分量第38页，课件共120页，创作于2023年2月（四）傅里叶有限项级数与最小方均误差前（2N＋1）项之和方均误差：用逼近所产生的误差函数为：第39页，课件共120页，创作于2023年2月（1）只取基波分量第40页，课件共120页，创作于2023年2月（2）取基波和3次谐波（3）取基波、3次谐波和5次谐波第41页，课件共120页，创作于2023年2月结论：（2）当f(t)是脉冲信号时，其低频分量主要影响脉冲的顶部，而高频分量主要影响脉冲的跳变沿；（3）当信号中任一频率分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形则要发生失真。（1）傅里叶级数所取的项数越多，相加后的波形越逼近原信号f(t)，方均误差越小；第42页，课件共120页，创作于2023年2月吉布斯（Gibbs）现象：对于具有不连续点的函数，当取的傅里叶级数的项数N越多，所合成的波形中出现的峰起越靠近的不连续点。当项数N很大时，该峰起值趋于一个常数，大约为总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去——Gibbs现象。第43页，课件共120页，创作于2023年2月（一）周期矩形脉冲信号§3.3典型周期信号的傅里叶级数第44页，课件共120页，创作于2023年2月00（2）谐波幅度以速度收敛；（1）包络为，过零点、…，谱线间隔；、（3）周期矩形脉冲信号包含无穷多条谱线，也就是说它可以分解成无穷多个频率分量。但主要能量集中在第一个零点以内的频率分量上。频带宽度：或第45页，课件共120页，创作于2023年2月第46页，课件共120页，创作于2023年2月000矩形脉冲信号的频带宽度与脉冲宽度成反比波形参数与频谱结构的关系第47页，课件共120页，创作于2023年2月（二）周期锯齿脉冲信号t谐波幅度以速度收敛。第48页，课件共120页，创作于2023年2月0（三）周期三角脉冲信号谐波幅度以速度收敛。t第49页，课件共120页，创作于2023年2月（四）周期半波余弦信号（五）周期全波余弦信号谐波幅度均以速度收敛。第50页，课件共120页，创作于2023年2月例：周期信号求的傅里叶级数并画出频谱图。分量的周期为解：分量的周期为则的周期为，基波角频率第51页，课件共120页，创作于2023年2月0000第52页，课件共120页，创作于2023年2月§3.4傅里叶变换（一）由周期信号的傅里叶级数导出非周期信号的傅里叶变换0连续谱（1）（2）失去信号分解的意义第53页，课件共120页，创作于2023年2月（1）（2）0物理意义？单位频带（Hz）内的频谱值单位角频带（rad/s）内的频谱值频谱密度函数

的傅里叶变换第54页，课件共120页，创作于2023年2月谱线间隔（1）（2）（3）傅里叶正变换傅里叶反变换第55页，课件共120页，创作于2023年2月例：非周期单脉冲以周期延拓周期脉冲信号第56页，课件共120页，创作于2023年2月（二）非周期信号的频谱——幅度频谱（密度）——相位频谱（密度）当为实函数时，幅度谱和相位谱合一。0第57页，课件共120页，创作于2023年2月（三）非周期信号的傅里叶反变换和周期信号的傅里叶级数的比较对实函数，是的偶函数，是的奇函数。非周期信号包含从到

的所有频率分量，频率为的分量幅度为无穷小量。第58页，课件共120页，创作于2023年2月函数的傅里叶变换存在的充分条件绝对可积条件（四）傅里叶变换存在的条件借助奇异函数（如）的概念，可使某些不满足绝对可积条件的信号也存在傅里叶变换，如周期信号、、等。第59页，课件共120页，创作于2023年2月（一）单边指数信号§3.5典型非周期信号的傅里叶变换第60页，课件共120页，创作于2023年2月0

（二）双边指数信号第61页，课件共120页，创作于2023年2月（三）矩形脉冲信号0信号的主要能量集中在的第一个零点（主瓣）之内。通常取第62页，课件共120页，创作于2023年2月该函数不满足绝对可积条件，在取极限意义上存在傅里叶变换。（五）符号函数（四）钟形脉冲信号（了解）第63页，课件共120页，创作于2023年2月第64页，课件共120页，创作于2023年2月（六）升余弦脉冲信号0频带宽度第65页，课件共120页，创作于2023年2月0第66页，课件共120页，创作于2023年2月在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。这种频谱常称为“均匀谱”或“白色谱”。§3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换（一）和第67页，课件共120页，创作于2023年2月0FTFT第68页，课件共120页，创作于2023年2月0FTFT（二）冲激偶的傅里叶变换第69页，课件共120页，创作于2023年2月（三）阶跃函数的傅里叶变换（1）（2）（3）第70页，课件共120页，创作于2023年2月§3.7傅里叶变换的基本性质需要记住的基本傅里叶变换对：若则（一）线性说明：相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。例：第71页，课件共120页，创作于2023年2月若则（二）对称性证明：∵∴例：（1）（2）∵∴第72页，课件共120页，创作于2023年2月（3）求抽样函数的频谱。∵∴记第73页，课件共120页，创作于2023年2月（三）奇偶虚实性（1）如果为实函数，则（a）如果为实偶函数，则是的偶函数，是的奇函数；是的偶函数，是的奇函数。则若为的实偶函数。（b）如果为实奇函数，则为的虚奇函数。第74页，课件共120页，创作于2023年2月是的奇函数，是的偶函数；是的偶函数，是的奇函数。（2）如果为虚函数，则则（3）一般结论：若（四）尺度变换特性若则（a为非0实常数）时,第75页，课件共120页，创作于2023年2月a=2时域压缩，频域扩展时域扩展，频域压缩a=0.5时域压缩为1/2时域展宽2倍原时域信号原信号频谱频域压缩为1/2频域展宽2倍注意幅度变化结论：信号的脉宽与频宽成反比第76页，课件共120页，创作于2023年2月若则时移产生附加相移，不改变幅度谱。（五）时移特性例：或第77页，课件共120页，创作于2023年2月（六）频移特性若则时移例2：求的傅里叶变换。第78页，课件共120页，创作于2023年2月调制定理第79页，课件共120页，创作于2023年2月例1：求例2：求第80页，课件共120页，创作于2023年2月若则时域微分频域微分（七）微分特性或第81页，课件共120页，创作于2023年2月已知，求、、的傅里叶变换

解：例1：第82页，课件共120页，创作于2023年2月例2：（1）∵∴（2）（3）第83页，课件共120页，创作于2023年2月(4)求f(t)=te-atu(t)的频谱函数F(ω)。解:利用

第84页，课件共120页，创作于2023年2月时域积分特性若则其中（八）积分特性已知，求？证明：第85页，课件共120页，创作于2023年2月证：交换积分顺序通过阶跃信号改变积分上限u(t)的FT与时移性质第86页，课件共120页，创作于2023年2月显然，当F(0)=0时，有

从时域上看，一般当y(t)是无限区间可积时，即，说明无直流分量,则F(0)=0。利用时域积分特性可以简化由折线组成的信号频谱的求解。第87页，课件共120页，创作于2023年2月例2：求如图所示三角形脉冲的频谱密度。解：第88页，课件共120页，创作于2023年2月

因为

F1(0)=F2(0)=0

最后第89页，课件共120页，创作于2023年2月例3：已知，求和。例2：求如图所示三角形脉冲的频谱密度。第90页，课件共120页，创作于2023年2月例3：求如图所示截平斜变信号的频谱。频域积分特性若则第91页，课件共120页，创作于2023年2月时域卷积定理§3.8卷积定理若，则频域卷积定理0t例1：0t0t第92页，课件共120页，创作于2023年2月例2：求单边正弦函数的频谱密度。例2：求。第93页，课件共120页，创作于2023年2月例4：若已知f(t)的频谱F(ω)如图所示，试粗略画出f2(t)，f3(t)的频谱图(不必精确，只指出频谱的范围，说明展宽情况)

解:

f1(t)=f2(t)←→

F(ω)*F(ω)=F1(ω)

频谱展宽为原来的2倍。

f2(t)=f3(t)←→

F1(ω)*F(ω)

=F(ω)*F(ω)*F(ω)=F2(ω)

频谱展宽为原来的3倍。

第94页，课件共120页，创作于2023年2月例3的频谱函数

第95页，课件共120页，创作于2023年2月表3-2傅氏变换性质（定理）

第96页，课件共120页，创作于2023年2月

综合题１:

求图3(a)所示梯形信号f(t)的频谱函数。解若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。将f(t)求导，得到图3(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导，得到图3(c)所示的f2(t)，显然有

第97页，课件共120页，创作于2023年2月图3梯形信号及其求导的波形

第98页，课件共120页，创作于2023年2月据时移性质有第99页，课件共120页，创作于2023年2月作业：书P178，3-26第100页，课件共120页，创作于2023年2月图4另一种梯形信号

第101页，课件共120页，创作于2023年2月（一）正、余弦信号的傅里叶变换§3.9周期信号的傅里叶变换第102页，课件共120页，创作于2023年2月周期信号（二）一般周期信号的傅里叶变换几点认识：第103页，课件共120页，创作于2023年2月……00例1：求周期矩形脉冲的傅里叶变换。第104页，课件共120页，创作于2023年2月三．如何由求比较式(1),(2)第105页，课件共120页，创作于2023年2月……000例1：第106页，课件共120页，创作于2023年2月例2：求周期单位冲激序列的傅里叶变换。………………第107页，课件共120页，创作于2023年2月“抽样”

就是利用窄脉冲序列p(t)从连续信号f(t)中“抽取”

一系列的离散样值,抽样结果称为“抽样信号”。什么是“抽样”？§3.10抽样信号的傅里叶变换、抽样定理p(t)为周期信号——均匀抽样抽样周期时域抽样频域抽样抽样第108页，课件共120页，创作于2023年2月（一）时域抽样抽样角频率1.抽样信号的傅里叶变换是以为间隔周期重复而成，重复过程中幅度被加权。第109页，课件共120页，创作于2023年2月（）相乘卷积（1）矩形脉冲抽样（自然抽样）第110页，课件共120页，创作于2023年2月（2）冲激抽样（理想抽样）第111页，课件共120页，创作于2023年2月矩形脉冲