第三章 不定积分

第三章不定积分第1页，课件共151页，创作于2023年2月§1不定积分的概念与基本积分公式第三章不定积分第2页，课件共151页，创作于2023年2月在第二章我们研究了已知f，如何求f

的导数f

的表达式，得到了一些计算法则，例如：(f+g)=f+g,(fg)

=fg+fg,(f[

])

=f[

]

这些计算方法加上基本初等函数的导数公式，我们可以解决初等函数的求导问题，即是，若f

为初等函数，f

的表达式能求出.第3页，课件共151页，创作于2023年2月我们现在来研究第二章求导问题的逆问题。问题：在已知f

的表达式时，f的表达式是什么形式呢？即是，已知函数f

的表达式，求f

的原函数是什么。第4页，课件共151页，创作于2023年2月.

基本积分表

换元积分法

分部积分法

有理函数积分本章主要内容：第5页，课件共151页，创作于2023年2月

例如，在区间(-

,+

)内，因为(sinx)

cosx，所以sinx是cosx的一个原函数。提问：

cosx还有其它的原函数吗？提示：

cosx的原函数还有sinx+C。

定义1

如果在区间I

上，可导函数F(x)的导数为

f(x)，即对任一x

I

，都有F

(x)

f(x)或dF(x)

f(x)dx，则称函数F(x)是函数f(x)在区间I

上的原函数。

原函数概念第6页，课件共151页，创作于2023年2月两点说明：2、f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数，即如果

(x)和F(x)都是f(x)的原函数，则

(x)

F(x)

C(C为某个常数)。1、如果F(x)是f(x)的原函数，那么F(x)

C都是f(x)的原函数，其中C是任意常数。

定义1

如果在区间I

上，可导函数F(x)的导数为

f(x)，即对任一x

I

，都有F

(x)

f(x)或dF(x)

f(x)dx，则称函数F(x)是函数f(x)在区间I

上的原函数。

原函数概念第7页，课件共151页，创作于2023年2月不定积分的概念1.定义：设I为某区间，称f(x)在I上的原函数的全体为f(x)在I上的不定积分，记作积分号被积函数积分变量注1.(3)式中积分号下的f(x)dx,可看作是原函数的微分。(3)第8页，课件共151页，创作于2023年2月定理1.

设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则(4)其中C为任意常数0x0yxy=F(x)+C1y=F(x)+C2y=F(x)+C3y=F(x)+C4第9页，课件共151页，创作于2023年2月

例1．

例2．

例3．

解：第10页，课件共151页，创作于2023年2月-1O1xyy=x2

函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。C1y=x2+C1C2y=x2+C2C3y=x2+C3

函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。三、不定积分的几何意义第11页，课件共151页，创作于2023年2月

例4．求过点(1,3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。解：设所求的曲线方程为y

f(x)，则y

f

(x)

2x，即f(x)是2x

的一个原函数。

因为所求曲线通过点(1,3)，故3

1

C，C

2。于是所求曲线方程为y

x2

2。-2-1O12x-2-112yy

x2+2y

x2(1,3)

．所以y=f(x)

x2

C。第12页，课件共151页，创作于2023年2月例5：解：容易看到两边除以3，得求导数的性质yy=x2xyx因此,第13页，课件共151页，创作于2023年2月2.不定积分的性质：1)2)3)4)第14页，课件共151页，创作于2023年2月3.基本积分公式积分公式导数公式1

2

3

1)2)3)第15页，课件共151页，创作于2023年2月5)6)7)5

6

7

4

4)第16页，课件共151页，创作于2023年2月10)11)10

11

9)9

8)8

第17页，课件共151页，创作于2023年2月4.积分公式的简单应用例1.

求解:第18页，课件共151页，创作于2023年2月例2.求解:第19页，课件共151页，创作于2023年2月例3.求解:第20页，课件共151页，创作于2023年2月例4.求f(x)=x2+1,x<0.解:F(x)=第21页，课件共151页，创作于2023年2月而要使F(x)成为f(x)在R上的原函数，必须F(x)连续，从而C1＝0，C2＝1，因此满足条件的函数为F(x)=故第22页，课件共151页，创作于2023年2月例5．例6．例7．第23页，课件共151页，创作于2023年2月例8．第24页，课件共151页，创作于2023年2月练习：习题五：2(1,3,5,7)例9．第25页，课件共151页，创作于2023年2月例10．例11．例12．例13．例14．第26页，课件共151页，创作于2023年2月例15．例16．第27页，课件共151页，创作于2023年2月

解：因为总成本是总成本变化率y

的原函数，所以

已知当x=0时，y=1000，

例17．某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成成本为1000元，求总成本与日产量的函数关系。因此有C=1000，.第28页，课件共151页，创作于2023年2月上页下页结束返回首页铃第三章不定积分§2换元积分法与分部积分法第29页，课件共151页，创作于2023年2月第三章不定积分§2换元积分法与分部积分法第30页，课件共151页，创作于2023年2月但是解决方法利用复合函数，设置中间变量.令一问题的提出我们知道第31页，课件共151页，创作于2023年2月令

利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的；我们可以把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法。目的是去掉根式。第32页，课件共151页，创作于2023年2月若则设（且可微，根据复合函数微分法，）于是可得下述定理二第一类换元法第33页，课件共151页，创作于2023年2月注意使用此公式的关键在于将第一类换元公式（凑微分法）定理1第一类换元法又称为凑微分法。第34页，课件共151页，创作于2023年2月解决问题的关键在哪里呢？再看上式的特点外部函数的导数中间变量u中间变量u的导数复合函数求导数得到的函数是两个因子的乘积外部函数的导数

中间变量的导数。如果从被积函数中你能看出这种形式，问题的答案就出来了。第35页，课件共151页，创作于2023年2月例1.求解：函数3x2cosx3看上去象某复合函数求导而得：cosx3

3x2sinu的导数中间变量u中间变量u的导数因此猜测sinx3是一个原函数，求导数验证所以第36页，课件共151页，创作于2023年2月使用这种方法的基本想法从被积函数中找到一个作中间变量的函数，其导数是作为一个因子出现的。这个想法在相差一个常数因子时也可以用。使用这种方法要求想象出复合函数的形式。第37页，课件共151页，创作于2023年2月例2.解：观察中间变量u=x2+1但u=x2+1的导数为u

=2x在被积函数中添加2个因子u因此第38页，课件共151页，创作于2023年2月换元法u=

(x)第39页，课件共151页，创作于2023年2月例3.解:uudu第40页，课件共151页，创作于2023年2月重算一遍第41页，课件共151页，创作于2023年2月例4.解：能想出原函数的形式吗？记得这个公式吗？如何用这个公式？第42页，课件共151页，创作于2023年2月例5.求sin2xdx解：第43页，课件共151页，创作于2023年2月例8.解：第44页，课件共151页，创作于2023年2月例9.解：第45页，课件共151页，创作于2023年2月例3

求解第46页，课件共151页，创作于2023年2月例4

求解熟练以后就不需要进行转化了第47页，课件共151页，创作于2023年2月例4

求解第48页，课件共151页，创作于2023年2月例5

求解第49页，课件共151页，创作于2023年2月例6求解例7解正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂齐次幂拆开放在微分号后面。第50页，课件共151页，创作于2023年2月

解例8

求第51页，课件共151页，创作于2023年2月例9求第52页，课件共151页，创作于2023年2月例10

求解第53页，课件共151页，创作于2023年2月例11求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.第54页，课件共151页，创作于2023年2月例12

求解利用三角学中的积化和差公式，得第55页，课件共151页，创作于2023年2月解类似地可推出例13

求第56页，课件共151页，创作于2023年2月例15．第57页，课件共151页，创作于2023年2月例17．当a>0时，例16．第58页，课件共151页，创作于2023年2月例18．例19．例20．第59页，课件共151页，创作于2023年2月例21．例22．第60页，课件共151页，创作于2023年2月三第二类换元法第一类换元法是通过变量替换

将积分下面介绍的第二类换元法是通过变量替换将积分第61页，课件共151页，创作于2023年2月证设为的原函数,令则则有换元公式定理2第62页，课件共151页，创作于2023年2月第二类积分换元法第63页，课件共151页，创作于2023年2月例13

求解1三角代换第64页，课件共151页，创作于2023年2月例14

求解令第65页，课件共151页，创作于2023年2月例15

求解令注三角代换的目的是化掉根式.第66页，课件共151页，创作于2023年2月例16

求解令2根式代换考虑到被积函数中的根号是困难所在，故第67页，课件共151页，创作于2023年2月当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例17

求解令第68页，课件共151页，创作于2023年2月3其他形式代换注1

积分中为了化掉根式除采用上述代换外还可用双曲代换.也可以化掉根式

中,令第69页，课件共151页，创作于2023年2月注2倒数代换

也是常用的代换之一

例18

求令解第70页，课件共151页，创作于2023年2月例19

求解令分母的次幂太高第71页，课件共151页，创作于2023年2月第72页，课件共151页，创作于2023年2月基本积分表续第73页，课件共151页，创作于2023年2月第74页，课件共151页，创作于2023年2月考虑积分解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式四分部积分法第75页，课件共151页，创作于2023年2月分部积分公式

下面利用两个函数乘积的求导法则，得出求积分的基本方法——分部积分法.对此不等式两边求不定积分即第76页，课件共151页，创作于2023年2月分部积分公式：

关键：恰当选取u和确定v.如何选取u:(LIATE法)L-----对数函数I-----反三角函数A-----代数函数T-----三角函数E-----指数函数根据LIATE法，f(x)与g(x)谁排在LIATE这一字母表前面就选谁为u.即若选f(x)为u,则g(x)dx=dv。v=∫g(x)dx、或v'=g(x).使用分部积分公式，若选f(x)=u,则v≠g(x)注：而v'=g(x).第77页，课件共151页，创作于2023年2月例1

求积分解令如果令显然，选择不当，积分更难进行.第78页，课件共151页，创作于2023年2月

一般地，若被积函数是幂函数和正(余)弦函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)第79页，课件共151页，创作于2023年2月例2

求积分解

若被积函数是幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为v,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)第80页，课件共151页，创作于2023年2月例3

求积分解第81页，课件共151页，创作于2023年2月例4

求积分解

若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数为.第82页，课件共151页，创作于2023年2月例5

求积分解令

若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设反三角函数为u.第83页，课件共151页，创作于2023年2月例6

求积分解复原法在求不定积分时有着广泛的应用。第84页，课件共151页，创作于2023年2月例7

求积分解第85页，课件共151页，创作于2023年2月例8

求积分解用分部积分法，当第86页，课件共151页，创作于2023年2月在积分的过程中往往要兼用换元法与分部积分法。例9

求积分解第87页，课件共151页，创作于2023年2月解两边同时对求导,得第88页，课件共151页，创作于2023年2月例题与练习

练习1.求下列不定积分解：第89页，课件共151页，创作于2023年2月常用解题技巧(Ⅰ)多次使用分部积分法则解：练习2.求不定积分例2.第90页，课件共151页，创作于2023年2月常用解题技巧(Ⅱ)还原法例3.解：练习3：第91页，课件共151页，创作于2023年2月Ⅲ与换元法相结合练习4.求不定积分解：常用解题技巧第92页，课件共151页，创作于2023年2月练习：5(2,4,6)例9．例10．例11．第93页，课件共151页，创作于2023年2月

解：因为练习：

例12．第94页，课件共151页，创作于2023年2月

解：因为

例13．第95页，课件共151页，创作于2023年2月练习:用什么积分法求下列积分？第96页，课件共151页，创作于2023年2月五小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、根式代换、倒数代换三角代换常有下列规律可令可令可令第97页，课件共151页，创作于2023年2月合理选择，正确使用分部积分式注意复原分部积分

若被积函数是幂函数和正(余)弦函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)一般地，（1）（2）若被积函数是幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为v,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)(4)若被积函数是指数函数与三角函数乘积时,二者皆可作为u,但作为u的函数的类型不变。(3)若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为u.第98页，课件共151页，创作于2023年2月六思考与判断题12第99页，课件共151页，创作于2023年2月函数使用分部积分公式的要点是确定34中.第100页，课件共151页，创作于2023年2月第三章不定积分§3有理函数和可化为有理函数的不定积分第101页，课件共151页，创作于2023年2月一问题的提出怎么计算？关键是被积函数的裂项？（2）很显然不能用凑微分和分部积分怎么办？（3）去掉根号才能计算，怎样去掉根号？第102页，课件共151页，创作于2023年2月两个多项式的商表示的函数.二有理函数的积分(IntegrationofRationalFunction)有理函数的定义：第103页，课件共151页，创作于2023年2月假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；

有理函数有以下性质：1）利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如，我们可将化为多项式与真分式之和第104页，课件共151页，创作于2023年2月2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和最简分式是下面两种形式的分式第105页，课件共151页，创作于2023年2月（1）分母中若有因式，则分解后为3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为第106页，课件共151页，创作于2023年2月（2）分母中若有因式，其中则分解后为特殊地：分解后为第107页，课件共151页，创作于2023年2月便于求积分必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法例1第108页，课件共151页，创作于2023年2月例2通分以后比较分子得：第109页，课件共151页，创作于2023年2月例1第110页，课件共151页，创作于2023年2月代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例2第111页，课件共151页，创作于2023年2月例3整理得第112页，课件共151页，创作于2023年2月例4

求积分解第113页，课件共151页，创作于2023年2月例5

求积分解第114页，课件共151页，创作于2023年2月例6

求积分解令第115页，课件共151页，创作于2023年2月第116页，课件共151页，创作于2023年2月说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：多项式；讨论积分令第117页，课件共151页，创作于2023年2月则记第118页，课件共151页，创作于2023年2月这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.第119页，课件共151页，创作于2023年2月我们也可以用代值确定法来得到最简分式，比如前面的例2，两端去分母后得到第120页，课件共151页，创作于2023年2月例3整理得第121页，课件共151页，创作于2023年2月例4求积分

解由前面的裂项第122页，课件共151页，创作于2023年2月例5求积分

解由前面的裂项得第123页，课件共151页，创作于2023年2月三角有理式的定义：

由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为二、三角函数有理式的积分第124页，课件共151页，创作于2023年2月令（万能置换公式）第125页，课件共151页，创作于2023年2月例7

求积分解由万能置换公式第126页，课件共151页，创作于2023年2月第127页，课件共151页，创作于2023年2月例6求积分解由万能置换公式第128页，课件共151页，创作于2023年2月例7求积分解一直做下去，一定积出来，只是太麻烦。

由此可以看出，万能代换法不是最简方法，能不用尽量不用。第129页，课件共151页，创作于2023年2月例8

求积分解（一）第130页，课件共151页，创作于202