初中数学必考知识点梳理

第一节实数的有关概念和运算负分数无理数分数0———有理数实数整数———正整数负整数———正分数———负无理数正无理数有限小数或循环小数无限不循环小数实数的概念第一章数与式1.数轴的三要素:

、

和单位长度.

2.

与数轴上的点一一对应.3.实数的相反数、倒数、绝对值:实数a的相反数为

;若a,b互为相反数,

则a+b=

;非零实数a的倒数为

(a≠0);若a,b互为倒数,则ab=

;实数a的绝对值为|a|=4.乘方:求n个

因数a的

的运算叫做乘方.

原点正方向实数-a0

1相同乘积1.科学记数法:一般形式为a×10n(

≤|a|<

,n为整数).2.近似数:一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.1.数轴比较法:数轴上的两个数,

边的数总比

边的数大.2.性质比较法:正数>0>负数.3.绝对值比较法:a<0,b<0,若|a|>|b|,则a

b.

4.根式比较法:a>b≥0⇔5.差值法比较:(1)a-b>0⇔a>b;

(2)a-b<0⇔a<b;

(3)a-b=0⇔a=b.6.求商法比较:若b>0,则(1)

>1⇔a>b;

(2)

<1⇔a<b;

(3)

=1⇔a=b.110右左<1.实数的运算顺序是先算

、

，再算

，最后算

.如果有括号,先算

,再算

,最后算.同级运算应

.

2.零指数幂的意义:a0=

(a≠0).3.负整数指数幂的意义:a-p=

(a≠0,p为整数).4.正数的任何次幂都为

,负数的奇次幂为

,负数的偶次幂为.5.初中所涉及的三个非负数:|a|,

a2,

(a≥0).若几个非负数的和为0,则时为0.例如:若|a|+

b2

+

=0,则a=b=c=0.乘方开方乘除加减小括号内的中括号内的大括号内的1正数负数正数按从左到右的顺序第二节整式与因式分解1.代数式:代数式是用

(加、减、乘、除、乘方、开方)把

或表示

的

连接而成的式子,单独的一个数或一个字母也是代数式.

2.代数式的值:用数值代替代数式里的

,计算后所得的结果.

3.求代数式的值主要用代入法,代入法分为直接代入、整体代入和寻找规律求值.运算符号数数字母字母1.整式单项式:只是数字与字母的____的代数式叫做单项式.单独一个数字或字母也是单项式.多项式:几个单项式的_____叫做多项式.积和

知识点1:代数式、代数式的值知识点2:整式的相关概念1.整式的加减:整式的加减实际上是

.

合并同类项2.单项式中的

叫做这个单项式的系数;所有字母的指数

叫做单项式的次数.

3.组成多项式的各个单项式中

叫做多项式的次数.

4.同类项:多项式中所含

相同并且

也相同的项,叫做同类项.

数字因数和次数最高的项的次数字母相同字母的指数2.整式的乘除知识点3:整式的运算3.乘法公式＝_________平方差公式:完全平方公式:___________1.am·an=

(m,n都是正整数).

2.(ab)n=

(n是正整数).

3.(am)n=

(m,n都是正整数).

4.am÷an=

(a≠0,m,n都是正整数,且m>n).1.因式分解:把一个多项式化成几个整式

的形式,因式分解是

的逆变形.

2.因式分解的方法:(1)提公因式法:ma+mb+mc=

.

(2)公式法:a2-b2=

,

a2±2ab+b2=

.

am+nanbnamnam-n积多项式乘法M（a+b+c）(a+b)(a-b)(a±b)2知识点4:幂的运算知识点5:因式分解3.因式分解的一般步骤:(1)如果多项式各项有公因式,应先提取公因式;(2)如果各项没有公因式,可以尝试使用公式法来分解因式;(3)检查因式分解是否彻底,必须分解到每一个因式不能再分解为止.以上三步骤可以概括为“一提二套三检查”.4.整式的乘法和因式分解是互逆变形,它们可以用来相互检验其正确性.第三节分式1.形如

(A、B是整式,且B中含有

,B≠0)的式子叫做分式,其中A叫做分子,B叫做分母.

2.分式有意义:在分式中,当

时,分式有意义;当

时,分式没有意义.

3.分式的值为零:分式的值为零的条件是分子A=0,而分母B≠0.4.有理式:整式和分式统称为有理式.字母分母B≠0分母B=0知识点1:分式的有关概念知识点2:分式的性质(约分、通分)1.分式的乘、除法:3.分式的加减法.4.分式的混合运算.【方法归纳】(1)分式乘法的实质是约分,能直接约分的应先约分,不能直接约分的,可先因式分解,看能否约分,然后按法则进行;(2)分式运算的结果必须是最简分式或整式;(3)由字母的选值求分式的值时,选值既要使分式的结果有意义,又要使化简前的原分式有意义.2.分式的乘方:————————————知识点3:分式的运算第四节数的开方二次根式知识点1:平方根、算术平方根与立方根正数a0负数a算术平方根平方根立方根知识点2:二次根式的有关概念(1)被开方数的因数是整数,因式是

;

(2)被开方数中不含有

.

整式开得尽方的因数或因式000没有没有1.形如(a≥0)的代数式叫做二次根式.2.最简二次根式应满足的两个条件:知识点3:二次根式的性质1.双重非负性:

0(a≥0).

2.()2=

(a≥0);=

.3.

=(a≥0,b≥0);(a

≥0,b

0).>≥a|a|知识点4:二次根式的计算1.二次根式的加减:二次根式相加减,先把各个二次根式化成

,再把

分别合并.

2.二次根式的乘法:最简二次根式同类二次根式3.二次根式的除法:【注意】二次根式运算的结果可以是数或整式,也可以是最简二次根式,如果二次根式的运算结果不是最简二次根式,必须化为最简二次根式.知识点5:二次根式的估值二次根式的估算,一般采用“夹逼法”确定其值所在范围.具体地说,先对二次根式平方,找出与平方后所得的数

的两个能开得尽方的整数,对其进行

,即可确定这个二次根式在哪两个整数之间.

相邻开方重难点突破一数、式的综合计算题实数的运算【分析】依次将原式中负指数幂、零次幂、三角函数值、二次根式、绝对值进行化简.再按照从左到右的运算顺序进行计算.【方法归纳】实数的混合运算是由很多考点综合而成的,第一步要化简正确,第二步注意运算顺序,第三步注意运算结果是否是最简形式.计算分式的化简求值【分析】先将除式的分子、分母因式分解、约分,再按照运算顺序,可先算括号里面的,也可用乘法分配律计算;求值时,a取的值必须使原分式有意义.【方法归纳】解决本题分三步走:一化、二选、三代入.二次根式的运算与化简求值第二章方程(组)与不等式(组)第一节一元一次方程与二元一次方程组知识点1:等式的性质知识点2:一元一次方程1.含有

的等式叫做方程.使方程两边相等的

叫做方程的解.

2.只含有一个未知数,并且未知数的次数是

,且等式两边都是

的方程叫做一元一次方程.ax+b=0(a≠0)是一元一次方程的标准形式.

未知数未知数的值1整式3.解一元一次方程的一般步骤是:①去分母,②去括号,③

,④

,⑤

.

移项合并同类项系数化为1知识点3:一次方程(组)及解法1.二元一次方程:含有两个未知数,并且

的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.

2.二元一次方程的解:使二元一次方程

相等的未知数的值叫做二元一次方程的解.

3.二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组.4.解二元一次方程组的基本思想是

,将二元一次方程组转化为一元一次方程.有

消元法和

消元法两种.

未知数项左右两边消元加减代入【拓展】方程ax=b的解有以下三种情况:(1)当a≠0时,方程有且仅有一个解;(2)当a=0,b≠0时,方程无解;(3)当a=0,b=0时,方程有无穷多个解.知识点4:一次方程(组)的应用列一次方程(组)解应用题的一般步骤是:①审:即审清题意,分清题中的已知量和

;

②设:即设关键未知数;③列:即找出适当的等量关系

;

④解:即解方程(组);⑤检:即检查所得的值是否正确和是否

实际情况;

⑥答:即规范作答(包括单位名称).未知量列方程(组)符合第二节分式方程知识点1:分式方程及其解法1.定义:分母中含有

的方程,叫做分式方程.

2.解分式方程的步骤:分式方程

→解整式方程→验根→确定原方程的根.

3.分式方程的增根:去分母后整式方程的根,使分式方程分母为0的根不是

的根,叫做原分式方程的增根.

【注意】分式方程的增根与无解并非同一个概念,分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解;分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,并且使分式方程的分母为0的根.字母整式方程原分式方程知识点2:分式方程的应用列分式方程解应用题的关键是分析题意、从多角度思考问题、找准

,设出未知数

、最后还要注意求出的未知数的值,不但要是所列分式方程的

,而且还要符合

.等量关系列出方程根实际意义第三节一元二次方程知识点1:一元二次方程的概念及解法1.一元二次方程:只含有

个未知数,并且未知数的最高次数是

的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是

.

2.一元二次方程的解法:解一元二次方程的基本思想是

,将一元二次方程转化为

方程来解.主要有:①直接开平方法;②

——

法;④

法.3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是:x=

.

21ax2+bx+c=0(a≠0)降次配方公式一元一次因式分解知识点2:一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b2-4ac.(1)Δ>0⇔方程有

;

(2)Δ=0⇔方程有

;

(3)Δ<0⇔方程

.

知识点3:一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2=

,x1x2=

.

两个不相等的实根两个相等的实根没有实数根知识点4:一元二次方程的应用步骤:①审;②设;③列;④解;⑤验;⑥答.

【注意」列一元二次方程解应用题中，增长率(或下降率)和利润问题是常考内容:(1)增长率等量关系:①增长率=增长量:基础量x100%;②设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(l+m)n=b;当m为平均下降率，n为下降次数时，则有a(l一m)n=b.(2)利润等量关系:①利润=售价一成本;②利润率=利润/成本×100%第四节一元一次不等式(组)知识点1:一元一次不等式1.不等式的基本性质:不等式的性质1:若a>b,则a±c

b±c.不等式的性质2:若a>b,c>0,则ac

bc或

不等式的性质3:若a>b,c<0,则ac

bc或

2.解一元一次不等式的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.>>><<知识点2:一元一次不等式组1.一元一次不等式组的解集:一元一次不等式组中各个不等式的解集的

部分.

2.几种常见的不等式组的解集(a<b,且a、b为常数):公共不等式组(其中a<b)图示解集口诀同大取大同小取小大小,小大中间找

小小,大大找不到x≥bx≤aa≤x≤b空集【注意】已知一元一次不等式(组)的解集,确定其中字母的取值范围的方法是:①逆用不等式(组)的解集确定;②分类讨论确定;③从反面求解确定;④借助于数轴确定.知识点3:一元一次不等式(组)的应用1.列不等式(组)解应用题的关键是找题中的不等关系,将“不等关系”转化为“不等式(组)”.2.要着重抓住题中的关键词,如“大于”、“小于”、“不少于”、“不多于”、“至少”、“最多”等;还应注意题中字母所表示的量的实际意义,不合题意的答案应舍去,如人数是正整数,时间不得为负数等.重难点突破二方程(组)与不等式(组)的应用列二元一次方程(组)解应用题某县政府打算用25000元为某乡福利院购买每台价格为2000元的彩电和每台价格为1800元的冰箱,并计划恰好全部用完此款.(1)问原计划所购买的彩电和冰箱各多少台?(2)由于国家出台“家电下乡”惠农政策,该县政府购买的彩电和冰箱可获得13%的财政补贴,若在不增加县政府实际负担的情况下,能否多购买两台冰箱?说说你的想法.答:原计划买彩电8台和冰箱5台.【分析】(1)列二元一次方程求正整数解.(2)补贴的钱与需要拿出的钱作较.

【解】(1)设原计划购买彩电x台，冰箱y台，根据题意，得2OOOx+1800y=25000，化简得:lOx+9y=125.由于x、y均为正整数，解得(2)该批家电可获财政补贴为25000×13%=3250(元).由于多买的冰箱也可获得13%的财政补贴,实际负担为总价的87%.3250÷(1-13%)≈3735.6>2×1800.∴可多买两台冰箱.答:能多购买两台冰箱.我的想法:可以拿财政补贴款3250元,再借350元,先购回两台冰箱,再从总价3600元冰箱的财政补贴468元中拿出350元用于还借款,这样不会增加实际负担.【方法归纳】本题探求二元一次方程的特殊解(正整数解).甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动,已知甲校报名参加的学生人数多于100人,乙校报名参加的学生人数少于100人.经核算,若两校分别组团共需花费20800元,若两校联合组团只需花费18000元.(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗?为什么?(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?应用题中的分类思想人数m0<m≤100100<m≤200m>200收费标准(元/人)908575某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“大别山龙井峡一日游”活动，收费标准如下:【分析】(1)人数可能大于200人,可能小于200人.(2)分甲校人数大于100人小于200人,或大于200人两种情况.∴甲校报名参加旅游的学生有160人,乙校报名参加旅游的学生有80人.

【解】(1)超过.理由如下:设两校人数之和为a,若两校报名参加旅游的学生人数之和不超过200人，则a=18000÷85≈211.76.∵a不是整数，∴两校报名人数之和超过200人.又∵报名人数之和超过200人时，有a=18000÷75=240,a为整数.∴两校报名参加旅游的学生人数之和超过200人.

(2)设甲校报名参加旅游的学生有x人，乙校报名参加旅游的学生有y人，则:【方法归纳】这道应用题,由于题目所给条件比较隐蔽,符合题意的情况有多种,解这类应用题时要考虑周全,把各种情况下的解全求出来,这样不至于失解,否则会造成解答不完整,犯以偏概全的错误.方程与不等式的综合应用某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动,为此学校准备购置长、短两种跳绳若干.已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元,且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同.(1)两种跳绳的单价各是多少元?(2)若学校准备用不超过2000元的现金购买200条长、短跳绳,且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍,问学校有几种购买方案可供选择?【分析】(1)找两个等量关系,列二元一次方程组求解.(2)用“不超过”建立两个不等量关系,求不等式组的整数解.【方法归纳】方案问题通常是由不等式组的正整数解确定方案的个数.第三章函数第一节函数及其图象知识点1:平面直角坐标系及点的坐标1.在平面内两条

且具有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系.在平面直角坐标系中,一对有序实数P(x,y),即为点P的坐标.

2.平面直角坐标系内点的特征点P(x,y)(1)在第一象限,x

0,y

0;在第二象限,x

0,y

0;在第三象限,x

0,y

0;在第四象限,x

0,y

0.

(2)在x轴上,

=0;在y轴上,

=0.

(3)在第一、三象限角平分线上,则

;在第二、四象限角平分线上,则

.

(4)对称点的坐标特征:点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为

;点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为

;点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为

.

互相垂直>><＞<<><yxx=yx=-y(a,-b)(-a,b)(-a,-b)知识点2:函数的概念及其表示方法1.函数:在某一变化的过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有

的值与它对应,那么称y是x的函数,其中x是

,y是因变量.

2.函数的表示方法有:

、

、

.

知识点3:函数自变量的取值范围唯一确定自变量解析式法列表法图象法函数表达式的形式自变量的取值范围整式分式_____________的实数

表达式含有二次根式______________的实数

【注意】(1)函数自变量的取值范围必须使实际问题有意义.(2)如果函数表达式兼上述两种以上的结构特点时,则先按上述方法分别求出它们的取值范围,再求取值范围的公共部分.全体实数使分母不为0被开方数≥0知识点4:函数图象画函数图象的一般步骤:列表、

、

.

描点连线知识点5:分析问题判断函数图象1.判断函数图象判断符合实际问题的函数图象时,需遵循以下几点:①找起点:结合题干中所给自变量及因变量的取值范围,对应到图象中找相对应点;②找特殊点:即指交点或转折点,说明图象在此点处将发生变化;③判断图象趋势:判断出函数的增减性;④看是否与坐标轴相交:即此时一个量为0.以几何图形(动点)为背景判断函数图象的题目,一般的解题思路为设时间为t(或线段长为x),找因变量与t(或x)之间存在的函数关系,用含t(或x)的式子表示,再找相应的函数图象,要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.2.分析函数图象判断结论正误分清图象的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围,同时也要注意:①分段函数要分段讨论;②转折点:判断函数图象的倾斜方向或增减性发生变化的关键点;③平行线:函数值随自变量的增大而保持不变.再结合题干推导出实际问题的运动过程,从而判断结论的正误.第二节一次函数的图象、性质与应用知识点1:一次函数和正比例函数概念形如

的函数是一次函数.当

时,一次函数y=kx+b就是正比例函数.

知识点2:一次函数的图象和性质y=kx+b(k、b是常数且k≠0)b=01.一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象是过点

、(-,0)的一条直线;正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是过点(0,0)、

的一条直线.

2.一次函数y=kx+b的性质:(1)当k

0时,y随x的增大而增大;

(2)当k<0时,y随x的增大而

.

(0,b)(1,k)>减小3.一次函数y=kx+b的图象经过的象限:(1)当k>0时

(2)当k<0时b＞0，则过__________________象限b=0，则过__________________象限b＜0，则过__________________象限b＞0，则过__________________象限b=0，则过__________________象限b＜0，则过__________________象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四知识点3:函数解析式的确定:待定系数法步骤如下:(1)设出函数解析式的一般形式;(2)把已知条件代入解析式,得到关于待定系数的方程(组);(3)解方程或方程组,求出待定系数;(4)将求得的待定系数的值代回所设解析式.知识点4:一次函数与方程、不等式的关系一次函数与一元一次不等式、二元一次方程组有着必然的联系:(1)一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标⇔一元一次方程kx+b=0的解;一次函数y=kx+b中y>0(或y<0)对应的x的取值范围⇔不等式kx+b>0(kx+b<0)的解集.(2)在同一坐标平面内有两个一次函数y1与y2的图象,若y1的图象在y2图象的上方(或下方),则y1>y2(或y1<y2);若它们交于一点,则交点坐标就是两个解析式所组成的方程组的解.知识点5:二元一次方程与一次函数的关系1.任意一个二元一次方程都可化成y=kx+b的形式,即每个二元一次方程都对应一个

函数,也对应一条直线;

2.直线y=kx+b的每一点横、纵坐标均为这个二元一次方程

的解.

3.二元一次方程组与一次函数的关系(1)二元一次方程组中的每个方程可看作一个一次函数解析式;(2)求二元一次方程组的解可以看作求两个一次函数

的坐标.

【注意】一次函数y=kx+b与直线y=kx+b的联系与区别,它们的图象形状都是直线,但前者k≠0,b为任意实数,后者k、b都可以为任意实数.一次y-kx=b交点知识点6:一次函数的应用步骤:(1)分析问题①借助图表等手段分析题目中的数量关系,从而确定函数关系式;②根据函数图象获取信息,分析数量关系.(2)确定模型:根据所获取的信息,建立一次函数模型.(3)解决问题:根据题中数量关系或函数模型解决问题.第三节反比例函数的图象与性质知识点1:反比例函数的定义形如y=(

,k为常数),其中k是

,x是自变量,y是x的反比例函数.图象的形状是

,且关于

对称.

知识点2:反比例函数的图象与性质函数图象所在象限性质Y=k/x（k≠0）k>0一、三象限(x,y同号)在每个象限内，y随x增大而______k<0二、四象限(x,y异号)在每个象限内，y随x增大而______k≠0常数双曲线原点减小增大知识点3:反比例函数的应用1.反比例函数中系数的几何意义.设P(x,y)是反比例函数y=图象上任一点,过点P作x轴(或y轴)的垂线,垂足为A,则△OPA的面积=OA·PA=

=

.2.用待定系数法确定反比例函数.3.要善于运用数形结合思想解答与反比例函数有关的实际问题.|xy||k|重难点突破三一次函数与反比例函数的综合运用由函数图象求不等式解集如图,正比例函数y1=x的图象与反比例函数y2=(k≠0)的图象相交于A、B两点,点A的纵坐标为2.(1)求反比例函数的解析式;(2)求出点B的坐标,并根据函数图象,写出当y1>y2时,自变量x的取值范围.【分析】(1)由点A在正比例函数y1=x图象上求点A的坐标,再代入y2=中求得k.(2)由图象性质得点B坐标,当y1>y2时,从两交点处看自变量x的取值范围,考虑全面.(2)当y1=y2时,x=.解得x=±2.∴点B的坐标为(-2,-2).或者由反比例函数、正比例函数图象的对称性得点B的坐标为(-2,-2).由图象可知,当y1>y2时,自变量x的取值范围是:-2<x<0或x>2.[解】(1)设A点的坐标为(m,2)，代入y1=x得:m=2，所以点A的坐标为(2,2).∴k=2x2=4.∴反比例函数的解析式为：y2=.【方法归纳】本题考查了待定系数法及正比例函数与反比例函数图象的性质,在写取值范围时,分x>0与x<0,再结合图象考虑全面.由函数图象的性质求交点坐标及几何图形面积已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点.已知当x>1时,y1>y2;当0<x<1时,y1<y2.(1)求一次函数的解析式;(2)已知双曲线在第一象限内有一点C到y轴的距离为3,求△ABC的面积.【分析】(1)由图象性质可知点A的横坐标.再由反比例函数求点A的坐标.(2)将△ABC的面积分成两个三角形的面积和.【解】(1)由题意得点A的横坐标为1,代入反比例函数解析式得点A的坐标为(1,6),又∵点A在一次函数图象上,∴一次函数的解析式为y1=x+5.(2)∵点C的横坐标为3,∴y=2,∴点C的坐标为(3,2).过点C作CD∥x轴交直线AB于点D,则点D的坐标为(-3,2),∴CD=6.点A到CD的距离为4,∴S△ACD=×6×4=12.又联立得点B的坐标为(-6,-1),∴点B到CD的距离为3,∴S△BCD=×6×3=9.∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=12+9=21.【方法归纳】(1)由两函数大小的自变量的范围可知交点坐标;(2)用“割补法”求面积.反比例函数与一次函数图象交点横坐标与根与系数之间关系的联系如图，直线y=+b与y轴交于点A，与双曲线y=在第一象限交于B,C两点，AB∙AC=4，则k=__________.【方法归纳】直线与双曲线相交时,AB、AC的长通常用点B、点C的横坐标表示,从而转化为根与系数的关系.第四节二次函数的图象与性质知识点1:二次函数的概念如果y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,

),那么y叫做x的二次函数.知识点2:二次函数的图象和性质1.二次函数的图象是一条

.

2.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)通过配方可得(a,b,c为常数,a≠0),其顶点坐标为

,对称轴为直线x=

.

a≠0抛物线3.当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限延伸;在对称轴的左侧(即x<-)时,y随x的增大而

;在对称轴的右侧(即x>-)时,y随x的增大而

;当x=-时,函数有最小值y=

减小增大4.当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限延伸;在对称轴的左侧(即x<-)时,y随x的增大而

;在对称轴的右侧(即x>-)时,y随x的增大而

;当x=-时,函数有最大值y=

.

增大减小【注意】二次函数中如果自变量的取值范围为全体实数,那么最大值或最小值就是顶点纵坐标.如果自变量取值有范围,那么二次函数的最大值或最小值由它的图象及性质确定.知识点3:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的位置与a、b、c的关系1.a>0,开口

;a<0,开口

.|a|越大抛物线开口越小.

2.b=0,对称轴为

.a与b同号,对称轴在y轴左侧;a与b异号,对称轴在y轴右侧.

3.c=0,图象经过原点;c<0,与

相交;c>0,与y轴的正半轴相交.

4.b2-4ac=0,顶点在x轴上;b2-4ac>0,与x轴有

的交点;b2-4ac<0,与x轴没有交点.

向上向下y轴y轴负半轴两个不同知识点4:二次函数的解析式1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0),已知图象上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.2.顶点式:y=a(x-h)2+k,已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式.3.交点式:y=a(x-x1)(x-x2),已知图象与x轴的交点的横坐标x1、x2,通常选择交点式.1.b2-4ac>0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有

个交点,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根.

2.当b2-4ac=0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有

个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等的实根.

3.当b2-4ac<0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴

交点,方程ax2+bx+c=0无实数根.21没有知识点5:二次函数与一元二次方程的关系移动方向平移前的解析式平移后的解析式简记向左y=a(x-h)2+ky=a(x-h+m)2+k左加向右y=a(x-h)2+ky=a(x-h-m)2+k右减向上y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2+k+m上加向下y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2+k-m下减【注意】二次函数图象的平移实质是顶点坐标的平移,因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式.知识点6:二次函数图象的平移(设平移m个单位)知识点7:抛物线常见的几种变换1.绕顶点旋转180°.变换后与变换前a的符号相反,顶点坐标不变.2.将抛物线沿x轴翻折.变换后与变换前的a符号相反,顶点关于x轴对称.3.将抛物线沿y轴翻折,变换后与变换前的a相同,顶点关于y轴对称.重难点突破四二次函数与一次函数的综合运用利用抛物线轴对称性求三角形周长最小值,利用二次函数性质求面积最大值(2013·新疆)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点的坐标是(4,3).(1)求抛物线的解析式.(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点E是抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标.【分析】(1)把A(1,0),C(4,3)代入y=ax2+bx+3得到关于a,b的二元一次方程组,求出a,b的值,确定抛物线的解析式.(2)根据轴对称的性质,因为点A与点B关于抛物线的对称轴对称,所以抛物线的对称轴与直线AC的交点就是所求的点D.(3)在直线AC的下方且在抛物线上找到一点E,设出点E的坐标为(x,x2-4x+3),列出△ACE的面积S与x的函数解析式,根据函数的性质求出△ACE的最大面积及x的值,最后确定点E的坐标.【方法归纳】(1)用待定系数法确定函数的解析式时,首先设出包含待定系数的函数解析式,根据已知条件列出关于待定系数的方程(组),通过解方程(组)求出待定系数的值,从而确定函数的解析式.(2)求一直线同侧的两线段的和的最小值问题,一般利用对称的性质转化为三点共线问题进行解决.(3)求实际问题中的最大值或最小值时,一般应先列出所求问题的函数解析式,再根据函数的性质进行求解.二次函数图象与特殊四边形及相似三角形的综合【方法归纳】(1)存在型问题一般先假设结论成立,把结论作为已知条件参与推理计算,根据计算结果作出判断.(2)复杂问题求解时要注意分类讨论思想的运用,防止漏解.2023/9/72023/9/7【方法归纳】(1)存在型问题一般先假设结论成立,把结论作为已知条件参与推理计算,根据计算结果作出判断.(2)复杂问题求解时要注意分类讨论思想的运用,防止漏解.第四章三角形第一节角、相交线和平行线

知识点1:直线、射线、线段AC=BC=AB⇔点C为线段AB中点.3.两点间的距离:连接两点的

的

.

1.定义:具有公共

的两条

组成的图形.

2.角平分线角平分线上的点到角两边的距离

.

3.圆角、平角、直角4.两个角的和为

,则这两个角互为余角;两个角的和为

,则这两个角互为补角.

5.同角(或等角)的

角或

角相等.

有且只有线段线段长度端点射线相等直角平角补余1.性质:过两点

一条直线;两点之间

最短.

2.线段的中点:

知识点2:角1.对顶角、邻补角、垂直的定义.2.同位角、内错角、同旁内角的定义.3.垂线的性质:(1)在

内,经过一点

与已知直线垂直.

(2)垂线段最短.(3)必须强调“在同一平面内”,否则,在空间里,经过一点与已知直线垂直的垂

有无数条.4.点到直线的距离:从直线外一点到这条直线的

的长度叫做点到直线的离.“距离”是一个数量,而不是一条线段.

同一个平面有且只有一条直线垂线段知识点3:相交线、垂线及其性质1.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线

,必须强调过直线外一点.

2.性质与判定:两直线平行⇔同位角

;两直线平行⇔内错角

;两直线平行⇔同旁内角

.

3.平行于同一条直线的两直线平行.4.两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的

,叫做这两条平行线间的距离,夹在两条平行线间的平行线段

.

平行相等相等互补距离相等知识点4:平行线1.命题、真命题、假命题、逆命题、定理、逆定理的概念.2.证明一个命题是假命题时,只要举出

说明命题不成立就可以了.

3.反证法的含义:不是直接从

推出结论,而是从命题

出发,引出与

,从而证明命题成立.

反例题设结论的反面已知条件、定义、公理、定理相矛盾的结果知识点5:命题与证明(2)按角分类:直角三角形、

、

.

锐角三角形钝角三角形知识点1:三角形的分类第二节三角形的基本概念及全等三角形1.分类:按边分类不等边三角形等腰三角形腰与底不相等腰与底相等即三边相等(等边三角形)2.三角形的三边关系:三角形的任意两边之和

第三边,任意两边之差

第三边.判断三条线段是否能够成一个三角形三边时,只需看较小两边的和是否大于第三边.

3.三角形的内角和与三角形的外角和(1)三角形的内角和等于

.

(2)三角形的外角和等于

.

(3)三角形的一个外角

与它不相邻的两个内角之和,大于

.

求三角形内角或外角时,要明确所求的角属于哪个三角形的内角或外角,注意题中的等量关系.大于小于180°360°等于任何一个不相邻的内角1.三角形具有稳定性2.三角形中的重要线段:(如表)

名称性质角平分线角平分线上的点到角

的距离相等,逆命题也成立;三角形的角平分线的交点到

的距离相等,这个交点叫三角形的

中线直角三角形斜边上的中线等于斜边

三角形的中线

三角形的面积

高线高线可能在三角形内、三角形外或边上垂直平分线三边垂直平分线的交点到三角形各个顶点距离相等,这个交点叫三角形的

中位线三角形的中位线

于第三边,并等于

两边三边内心一半等分外心平行第三边的一半【注意】三角形的中线、高线、角平分线都是线段而不是直线.知识点2:一般三角形的性质1.判定三角形全等的条件有

,没有SSA,直角三角形全等的条件还有

.

2.全等三角形的对应边

,对应角

,对应线段(对应边上的中线,对应边上的高,对应角的平分线)

,周长

,面积

.

SAS、ASA、AAS、SSSHL相等相等相等相等相等知识点3:三角形全等第三节等腰三角形1.定义:有

相等的三角形叫做等腰三角形.

2.性质:(1)等腰三角形的两个

相等(简称“等边对

”).

(2)等腰三角形的顶角

线、底边上的

线、底边上的

线互相重合(简称“三线合一”).

(3)等腰三角形是

对称图形,有

条对称轴.

3.判定:如果一个三角形有两个

相等,那么这两个角所对的

也相等(简称“等角对等边”).

【注意】(1)“等边对等角”、“等角对等边”仅限于同一个三角形中边与角的关系.(2)如果等腰三角形的腰不明确时,注意分类思考.两边底角等角平分中高轴1角边知识点1:等腰三角形1.定义:

都相等的三角形叫做等边三角形.

2.性质:等边三角形的三个

都相等,且都等于

.

3.判定:①三条

都相等的三角形是等边三角形;

②有一个角是

的

三角形是等边三角形.

1.定义:

一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.

2.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段

的距离相等.

3.逆定理:到一条线段

距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

三边角60°边60°等腰垂直平分两端点两端点知识点3:线段的垂直平分线知识点2:等边三角形第四节直角三角形在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c.(1)边与边的关系:(勾股定理)a2+b2=

;

(2)角与角的关系:∠A+∠B=

;

(4)斜边上中线等于斜边的

.

c290°一半知识点1:直角三角形的性质1.有一个角是直角的三角形是直角三角形.2.勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.3.如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.【注意】勾股定理逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法,应先确定最大边,然后验证两条短边的平方和是否等于最大边的平方.知识点2:直角三角形的判定第五章四边形第一节多边形与平行四边形1.多边形的内角和与外角和:任意n边形(n≥3)内角和等于

;外角和等于

.

2.从n边形的一个顶点出发可以引

条对角线,n边形对角线总条数为

条.

3.正多边形的定义:

多边形.4.正n边形每个内角为

.

(n-2)·180°360°n-3各边都相等,各内角都相等的知识点1:多边形的有关概念及性质1.定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.如图,当四边形ABCD为平行四边形时,(1)边的关系:AB∥CD,

;AB=CD,

.

(2)角的关系:∠ABC=

、∠BAD=

;∠ABC+

=180°.

(3)对角线的关系:AO=CO,

;

(4)是

对称图形.

2.根据上述结论写出平行四边形的判定:(1)若AB∥CD,AD∥BC,则四边形ABCD为平行四边形;(2)若AB=CD,AD=BC,则四边形ABCD为平行四边形;(3)若AB=CD,

,则四边形ABCD为平行四边形;

(4)若∠ABC=

、∠BAD=

,则四边形ABCD为平行四边形;

(5)若AO=CO,

,则四边形ABCD为平行四边形.

AD∥BCAD=BC∠ADC∠BCD∠BCDBO=DO中心AB∥CD∠ADC∠BCDBO=DO知识点2:平行四边形的性质和判定1.平行四边形的面积=

.

2.同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.3.过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.底×高知识点3:平行四边形的面积第二节矩形、菱形、正方形知识点1:矩形的性质与判定名称性质定义与判定矩形1.四个角都是

2.对角线相等3.既是

图形又

是轴对称图形

4.S=ab(a、b表示长和宽)1.有一个角是

的平行四

边形

2.有三个角是

的四边

形

3.对角线

的平行四

边形

直角中心对称直角直角相等名称性质定义与判定菱形1.四条边都相等2.对角线互相垂直,并且每条对角

线

一组对角

3.菱形的面积等于两条对角线乘积

的

4.既是中心对称图形,又________

图形

1.有一组邻边________

的平行四边形

2.四条边都相等

的

3.对角线互相垂直

的

平分一半轴对称相等平行四边形平行四边形

知识点2:菱形的性质与判定名称性质定义与判定正方形1.四条边都相等,四个角都

是

2.对角线相等且互相___________.

每条对角线平分一组对角

3.面积等于边长的_______1.有一个角是直角,一组邻边

相等的

2.一组邻边相等的_______3.一个角是直角的_______4.对角线相等____________

的平行四边形

直角垂直平分平方平行四边形矩形菱形互相垂直平分知识点3:正方形的性质与判定【总结】平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系重难点突破五多边形的变化与证明矩形、菱形、平行四边形与轴对称及动点的综合已知,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.(1)如图①所示,连接AF、CE.求证:四边形AFCE为菱形,并求AF的长.(2)如图②所示,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周,即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.三角形的中位线与特殊四边形之间的关系第六章圆第一节圆的有关性质圆是平面内到定点的距离等于

的点的集合.1.圆是

图形,其对称轴是

.

2.圆是中心对称图形,对称中心为

.

3.圆具有旋转不变性,即圆绕着它的圆心旋转

角度,都能与原来的图形重合.

定长轴对称任意一条过圆心的直线圆心任意一个

知识点1:圆的概念:

知识点2:圆的性质:半径的长度无数不在同一直线上1.垂径定理:垂直于弦的直径

这条弦,并且平分弦所对的两条弧.

2.推论:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.(2)弦的垂直平分线经过

,并且平分弦所对的两条弧.

(3)平分弦所对的一条弧的直径

弦,并且平分弦所对的另一条弧.

平分圆心垂直于圆的位置由圆心确定,圆的大小由

确定.

(1)过一点和两点均可作

个圆.

(2)过

的三点确定一个圆,“确定”指的是有且只有的意思.

(3)过四点或四点以上作圆:当各点中每两点连线的垂直平分线相交于一点时,过各点的圆有一个,圆心为各垂直平分线的交点,否则过各点的圆不存在.

知识点4:垂径定理及推论

知识点3:圆的确定条件3.垂径定理与推论的延伸:知识点5:圆心角与圆周角_________________________.∠ACB=90°知识点6:圆内接四边形及其性质_________∠D1.定理:

或

中,相等的圆心角所对的弧

,所对的弦

.

2.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弦和两条弧(同是优弧或劣弧)中有一组量相等,那么它们对应的其余各组量也分别

.

同圆等圆相等相等相等知识点7:弦、弧、圆心角的关系

【注意】(1)有关半径、弦、弦心距、弓形高的计算一般应通过构造由半径、弦长一半、弦心距所组成的直角三角形来解决.具体方法是用三边关系、锐角关系、边角关系来求解.(2)常见辅助线作法:与弦有关的问题,作弦心距;与直径有关的问题,常常依据直径所对的圆周角为直角构造直角三角形;反之有90°的圆周角考虑作它所对的弦得到直径.第二节与圆有关的位置关系1.三角形的外心:三角形外接圆的圆心,是三角形

的交点,到

的距离相等.2.三角形的内心:三角形内切圆的圆心,是三角形

的交点,到

的距离相等.

点P在☉O上⇔

;

点P在☉O外⇔

;

点P在☉O内⇔

.(r为☉O半径,d=OP)

三边垂直平分线三角形三个顶点三条角平分线三角形三边d=rd>rd<r知识点1:三角形的外心和内心知识点2:点与圆的位置关系1.设r是☉O的半径,d是圆心O到直线l的距离.直线与圆的位置公共点个数d与r的关系图形相交2d<r相切1d=r相离0d>r知识点3:直线与圆的位置关系2.切线的性质.(1)切线的性质定理:圆的切线

经过切点的半径.

(2)推论1:经过切点且垂直于切线的直线必经过

.

(3)推论2:经过圆心且垂直于切线的直线必经过

.

3.切线的判定定理:经过半径的外端并且

这条半径的直线是圆的切线.4.证明直线和圆相切的方法:(1)当已知直线与圆有公共点时,连半径,证

.

(2)当不知道直线与圆是否有公共点时,过圆心作直线的垂线,证圆心到直线的距离等于

.

垂直圆心切点垂直垂直半径

图1PA=PB∠APO=∠BPO5.切线长定理.

,

.

____________pr2.直角三角形的内切圆(如图2)设AB=c,BC=a,AC=b,∠C=90°,内切圆半径为r,则r=

.

圆与圆的位置关系有下列5种情况: