第七章 相似理论与量纲分析

第七章相似理论与量纲分析第1页，课件共41页，创作于2023年2月重点：相似概念、相似准则数、相似准则、自模雷诺数、Π定理、因次分析法、相似换算难点：因次分析法

流体力学研究问题的方法有解析、数值和实验的方法。本章介绍实验研究方法的理论基础知识。实验研究既是理论分析的依据（通过探索性的实验，寻找未知的流动规律），同时也是检验理论的准绳（理论计算、数值计算的结果还要实验检验），具有很重要的作用。第七章相似理论与量纲分析2第2页，课件共41页，创作于2023年2月

常用的实验设备介绍、实验研究项目介绍。拖曳水池、风波水池、水槽、水洞、风洞等。船模试验、气泡减阻、粉尘试验、蹼试验、三峡大坝和南水北调包含多方面的研究等等。

那么试验如何设计安排、试验测量哪些数据、试验结果如何换算到原型，这是本章要介绍的基础知识。

模型实验通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象的实验。实际发生的现象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。第七章相似理论与量纲分析3第3页，课件共41页，创作于2023年2月§7-1相似概念

为使模型流动能表现出实型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出实型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。具体来说，两相似流动应几何相似、运动相似、动力相似。第七章相似理论与量纲分析4两流动相似应满足的条件第4页，课件共41页，创作于2023年2月一、几何相似（空间相似）geometrysimilarity

定义：两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。引入尺度比例系数

进而，面积比例系数体积比例系数模型流动用下标m表示model原型流动用下标p表示prototype对应角相等：第七章相似理论与量纲分析5第5页，课件共41页，创作于2023年2月

定义：在几何相似的系统中，对应的瞬时，两流动的对应点上的流体速度矢成同一比例，方向相同。引入速度比例系数由于因此运动相似建立在几何相似基础上，那么运动相似只需确定时间比例系数就可以了。运动相似也就被称之为时间相似。二、运动相似（时间相似）kinematicssimilarity对应角相等：第七章相似理论与量纲分析6第6页，课件共41页，创作于2023年2月

定义：在运动相似的系统中，对应的瞬时，两流动的对应部位上同名力矢成同一比例(大小成同一比例，方向相同)。

引入力比例系数也可写成力学物理量的比例系数可以表示为密度、尺度、速度比例系数的不同组合形式，如：力矩M压强p功率N动力粘度

对应角相等：三、动力相似（受力相似）dynamicsimilarity第七章相似理论与量纲分析7第7页，课件共41页，创作于2023年2月

综上所述，要使模型流动和原型流动相似，需要两者在时空相似的条件下受力相似。动力相似（受力相似）用相似准则（相似准数）的形式来表示，即：要使模型流动和原型流动动力相似，需要这两个流动在时空相似的条件下各相似准则都相等。第七章相似理论与量纲分析8第8页，课件共41页，创作于2023年2月§7-2相似准则Re

数(雷诺数)

低雷诺数粘性流动平板边界层外流速度距前缘距离钝体绕流

来流速度截面宽度圆管流动

平均流速管直径

V

l区分粘性流动层流与湍流态边界层外无粘流边界层内以为界区分层流与湍流态一、相似准则数表示惯性力和粘性力之比第七章相似理论与量纲分析9第9页，课件共41页，创作于2023年2月Fr

数(弗鲁德数)

明渠流

平均流速水深水面船舶

船舶速度船长

V

l

Fr数是描述具有自由液面的液体流动时最重要的无量纲参数。如水面船舶的运动和明渠流中的水流。表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所起的影响程度。第七章相似理论与量纲分析10第10页，课件共41页，创作于2023年2月Eu数(欧拉数)

表示压力和惯性力的比值。p可以是某一点的特征压强，也可以是两点的压强差；V为特征速度，ρ为流体密度。在描述压强差时，Eu数常称为压强系数当在液体流动中局部压强低于当地蒸汽压强pv时，Eu数又称为空泡数或空蚀系数第七章相似理论与量纲分析11第11页，课件共41页，创作于2023年2月4．St数（斯特哈尔数）

l为特征长度，V为特征速度，t为特征时间。表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运动随时间变化的情况。5．Ma数（马赫数）

V为特征速度，c为当地声速。表示弹性力和惯性力之比，c为当地声速，反映了流动的压缩程度。第七章相似理论与量纲分析12第12页，课件共41页，创作于2023年2月粘性力相似重力相似压力相似惯性力相似压缩性相似二、相似准则

综上所述，欲使两个流动相似必须达到动力相似。动力相似可以用相似准则表示，即若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等。第七章相似理论与量纲分析13第13页，课件共41页，创作于2023年2月三、相似准则的几点说明

1.

寻求的是主要动力的相似。如果相似准则全满足则称为完全的动力相似。但是事实上，要使两者达到完全的动力相似，实际上办不到。不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。如果所有的相似准数都相等，意味着各比例系数均等于1，这实际上意味着模型流动和原型流动各对应参数均相等，模型流动和原型流动就成为了相等流动。对于具体的流动，作用于流体上的力不可能同时起主导作用，并非所有的相似准则同等重要。因此，我们抓主要因素（力、相似准则），忽略次要因素（力、相似准则）。第七章相似理论与量纲分析14第14页，课件共41页，创作于2023年2月如：

a.Re数：水下潜艇运动、大气中的物体运动、管道流动

b.Fr数：自由面的水流、具有动边界的自由射流。波浪运动、水面船舶运动、孔口管嘴出流

c.Eu数：水下潜艇运动、大气中的物体运动、管道流动（对于Eu数而言，在其他相似准则相等时，Eu数同时可以满足）d.St数：定常流动，不需考虑。

e.Ma数：高速流动。高音速飞机飞行、火箭、宇宙飞船。不可压缩流动，不必考虑。思考：重力场中，粘性流体不可压缩、定常流动的相似准则。第七章相似理论与量纲分析15第15页，课件共41页，创作于2023年2月

2.Re数和Fr数相似准则不可能同时成立。

要Fr数相等，模型缩小后，试验流速应减小；而要Re数相等，则缩小模型时，要求试验流速增大。

如：在水槽中作船模试验：设lp=100lm，求拖车速度（船模速度）。满足重力相似：满足粘性力相似：书中例9.2讲了如何解决这个问题。第七章相似理论与量纲分析16第16页，课件共41页，创作于2023年2月为保证两数同时相等，应有

由Fr数相等

由Re数相等设Cl

=0.1,νp=0.1cm2/s(空气)，应有νm=0.00032cm2/s。无法找到运动粘度系数如此低的实验流体来实现完全相似。(可以采用不同种类的流体做实验)造船业上的惯常方法是：保证Fr数为主作模型实验，然后根据经验对粘性阻力影响作修正处理，称为近似相似。普遍而言：第七章相似理论与量纲分析17第17页，课件共41页，创作于2023年2月

3.

自模Re数对Re数相似准则，实际流动的Re数往往很大，以至于模型试验不能达到。如：潜艇试验：lp=78m，潜水航速Vp=10节=5.108m/s，比例尺lp:lm=65。在风洞中做试验，确定风速（艇模速度）。满足粘性力相似：目前不可压缩风洞速度最高达100m/s，不能达到。第七章相似理论与量纲分析18第18页，课件共41页，创作于2023年2月计算实际流动的Re数：当Re数很大时，实验出现Re自模规律：即模型实验的Re数不必达到与实际流动相等，只要达到一定Re数——自模Re数（小的），就可以满足粘性力相似的要求。这一现象有利于做实验。不同的实验，自模Re数不同，由实验确定，一般应大于104～105

。对于上述的潜艇实验，当Re=3*106时，已达粘性相似。此时，实验风速为：第七章相似理论与量纲分析19第19页，课件共41页，创作于2023年2月第七章相似理论与量纲分析20管道沿程损失系数自模现象：第20页，课件共41页，创作于2023年2月§7-3量纲分析法

量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分析和实验研究。提议用量纲分析的是瑞利(L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是布金汉(E.Buckingham,1914)第七章相似理论与量纲分析21第21页，课件共41页，创作于2023年2月用[]表示物理量的量纲，用（）表示物理量的单位一、量纲分析的基本概念1.量纲是物理量的单位种类，又称因次，如长度、宽度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），用L表示。2.基本量纲导出量纲基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学领域中有三个基本量纲：长度量纲L、时间量纲T、质量量纲M导出量纲由基本量纲组合表示，如:加速度的量纲：[a]=LT-2

力的量纲：[F]=[ma]=MLT-2任何物理量B的量纲可写成：[B]=MaLbTc第七章相似理论与量纲分析22第22页，课件共41页，创作于2023年2月3.基本量导出量一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本量）和其他物理量（导出量），后者可由前者通过某种关系到除，前者互为独立的物理量。基本量个数取基本量纲个数，所取定的基本量必须包括三个基本量纲在内，这就是选取基本量的原则。如、v、l可以构成一组基本量，包含了L、M、T这三个基本量纲，而a、v、l就不能构成基本量，因为不包含基本量纲M。第七章相似理论与量纲分析23第23页，课件共41页，创作于2023年2月4.无量纲数dimensionlessparameter(number)指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量，如前面讲过的相似准数:第七章相似理论与量纲分析24第24页，课件共41页，创作于2023年2月量纲齐次性原理又被称为量纲一致性原理，也叫量纲齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程中每项的量纲应该是和谐的、一致的、齐次的。一个正确的物理方程，式中的每项的量纲应该一样，以伯努利方程为例

方程左边各项的量纲从左到右依次为：二、量纲齐次性原理第七章相似理论与量纲分析25第25页，课件共41页，创作于2023年2月三、布金汉（Buckingham）

定理对于某个物理现象或过程，如果存在有

n个变量互为函数关系，

f(a1,a2,…an)=0而这些变量含有m个基本量纲，可把这

n个变量转换成为有(n-m)=i

个无量纲量的函数关系式

F(

1,2,…

n-m)=0这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程中的变量数减少了m个，更为概括集中表示物理过程或物理现象的内在关系。第七章相似理论与量纲分析26第26页，课件共41页，创作于2023年2月例：不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流动，分析压强降低与相关物理量的关系。

解：1.列举物理量。Δp，V，d，ε，ρ，μ，l，共7个2.选择基本量：ρ、V、d

四、量纲分析法量纲分析法就是应用定理，通过分析所要研究问题中有关物理量的量纲，利用量纲齐次性原理导出无量纲的数，建立无量关系式，无量纲数包含相似准则数。下面举例说明其过程。第七章相似理论与量纲分析27第27页，课件共41页，创作于2023年2月解得：a=-1,b=-2,c=0（欧拉数、压力系数，1/2是人为加上去的）

②

2=ρabbccμ

M0

L

0

T

0=(ML–3)a(LT–1)b

L

c(ML–1T–1)

3.列

表达式求解

数①

1=ρaVbdcΔp

M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLc(ML–1T

–2)第七章相似理论与量纲分析28第28页，课件共41页，创作于2023年2月解得：a=b=c=-1

(雷诺数)③

3=ρaVbdcεM0

L

0

T

0=(ML–3)a(LT–1)b

L

cL

解得：a=b=0，c=-1

第七章相似理论与量纲分析29第29页，课件共41页，创作于2023年2月（相对粗糙度）④

4=ρaVbdcl(同上)

（几何比数）4.列

数方程即或第七章相似理论与量纲分析30第30页，课件共41页，创作于2023年2月由实验知道压力降p与l/d成正比，则上式可改写为：这就是达西公式，为沿程阻力系数，表示了等直圆管中流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成正比，与管径成反比。从该例题看出，利用

定理，可以在仅知与物理过程有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的基本结构形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还带有待定的系数，这个系数要通过实验来确定。而量纲分析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。因此，量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。第七章相似理论与量纲分析31第31页，课件共41页，创作于2023年2月运动物体在流体中产生的阻力、升力、力矩和（动力机械的）功率等等的无量纲数：阻力系数升力系数

力矩系数

动力系数（D

为动力机械旋转部件的直径，n

为转速。）

第七章相似理论与量纲分析32第32页，课件共41页，创作于2023年2月§7-4相似理论的应用根据相似理论安排实验和整理实验数据的主要步骤zh：1.用基本方程或量纲分析法导出所研究问题的相似准则数：基本方程已知，充分利用；未知，量纲分析法，基本量选取要恰当。2.在相似的条件下设计实验、安排实验和进行实验：在几何相似的条件下，根据相似准则以及实验设备的条件设计和安排实验。相似准则的应用要考虑主次、自模Re数现象等等。3.实验结果的换h算：实验过程中要测量量纲分析中无量纲数中包含的物理量。第七章相似理论与量纲分析33第33页，课件共41页，创作于2023年2月模型流动设计设计模型流动，要使之成为原型流动的相似流动，原则上要满足几何相似、运动相似和主要动力相似。具体设计时，首先要考虑该流动性质选择决定性相似准数，此外还要考虑实验规模和实验室的条件以及实验时所采用的流体是否与原型流动中的流体相同且是否同一温度等因素。数据换算从模型流动实验中测定的各个数据不能直接用到原型流动中去，需要用到数据换算。由模型流动中已确定的一些比例系数以及物理量之间的关系来确定其他一些比例系数，这样，原型流动中所要获得的数据就等于模型流动中的相应数据除以对应的比例系数。第七章相似理论与量纲分析34第34页，课件共41页，创作于2023年2月最后得到风洞实验段内的气流速度应该是45m/s。例1有一轿车，高h=1.5m，在公路上行驶，设计时速v=108km/h，拟通过风洞中模型实验来确定此轿车在公路上以此速行驶时的空气阻力。已知该风洞系低速全尺寸风洞(lm/lp=2/3)，并假定风洞试验段内气流温度与轿车在公路上行驶时的温度相同，试求：风洞实验时，风洞实验段内的气流速度应安排多大？解：首先根据流动性质确定决定性相似准数，这里选取Re作为决定性相似准数第七章相似理论与量纲分析35第35页，课件共41页，创作于2023年2月例2在例1中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在风洞实验段中的风速为45m/s时，空气阻力为1000N，问：此轿车以108km/h的速度在公路上行驶时，所受的空气阻力有多大？解：在设计模型时，定下